(福建卷)2010年高考试题-数学理(Word有答案)

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）

数学试题（理工农医类）

第I 卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于 A．

1

B.

C.

D. 2

2.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为

A. x2+y2+2x=0 B. x2+y2+x=0 C. x2+y2-x=0 D. x2+y2-2x=0

3.设等差数列｛an｝前n项和为Sn . 若a1= -11,a4+a6= -6 ,则当Sn 取最小值时，n等于 A.6 B. 7 C.8 D.9

4.函数f（x）

= 的零点个数为

A. 0 B. 1 C.2 D.3

5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B.3 C.4 D.5

6.如图，若 是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何

体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是

A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台

x22

7.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线2 y 1（a>0）的中心和左

a

焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则opfp的取值范围为 A. [3-

） B.

[3+ , ） C. [

77

, ） D. [, ）

44

8.设不等式组

所表示的平面区域是 1，平面区域 2与 1关于直线3x-4y-9对

称。对于 1中的任意点A与 2中的任意点B，∣AB∣的最小值等于 A.

2812 B. 4 C. D. 2 55

9.对于复数a,b,c,d，若集合S=｛a,b,c,d｝具有性质“对任意x,y S，必有x,y S”，则当

时，b+c+d等于

A. 1 B. -1 C. 0 D. i

10.对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k,b为常数），

对任给的正数m，存在相应的x0 D，使得当x D且x>x0时，总有

则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为D=xx 1的四组函数如下： ①f（x）=x,g(x)=

2

; ②f(x)=10-x+2，g(x)=

2x 3

; x

x2 12x2xlnx 1

③f(x)= ,g(x)= ; ④f(x)= f(x) ，g(x)=2(x-1-e-x).

xx 1lnx

其中，曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是

A．①④ B.②③ C. ②④ D. ③④

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.在等比数列{an}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an（ ）

12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（ ）。

13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）。 14.已知函数f(x)=3sin( x-

6

)(

>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图像的对称轴完全相同。若

x 0,

,则f(x)的取值范围是（ ）。 2

15．已知定义域为（0，+ ）的函数f(x)满足：（1）对任意x (0, + ),恒有f(2x)=2f(x)成

立；（2）当x (1,2]时，f(x)=2-x。给出结论如下：

①对任意m Z,有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为[0，+ ）;③存在n Z,使得f(2n+1)=9;④“函数f(x)在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在k Z,使得

(a,b) (2k,2k+1)”. 其中所有正确结论的序号是（ ）。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分13分）

2

设S是不等式x-x-6 0的解集，整数m,n S。 （Ⅰ）记“使得m+n=0成立的有序数组（m,n）”为事件A，试列举A包含的基本事件； （Ⅱ）设 =m2,求 的分布列及其数学期望E 。

17.（本小题满分13分）

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点。 （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。 18.（本小题满分13分）

如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，

三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。 （Ⅰ）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）设AB=AA1。在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于 三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P。

（i） 当点C在圆周上运动时，求P的最大值；

（ii） 记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为 （0°< 90°）。当P取最

大值时，求cos 的值。 19.（本小题满分13分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 20.（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线C.

（i） 求函数f(x)的单调区间；

（ii） 证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1 （x1,f(x1)））处的切线

交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3

（x3,f(x3)），线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则

S1

为定值； S2

（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分

14

分。如果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=

，N=

，且MN=

。

（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程。 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为 （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为

。 （Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线L交于点A,B。若点P的坐标为（3

，求∣PA∣+∣PB∣。 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-a∣.

（Ⅰ）若不等式f(x) 3的解集为x 1 x 5，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

数学试题（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。 11. 4

n 1

12. 6 23 13. 0.128 14.

3

,3 15.①②④ 2

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。满分13分。 解：（I）由x2 x 6 0得 2 x 3，即S x| 2 x 3

由于m,n Z，m,n S且m n 0，所以A包含的基本事件为： ( 2,2)，(2, 2)，( 1,1)，(1, 1)，(0,0) （II）由于m的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3， 所以 m的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P 0

2

121211

，P 1 ，P 4 ，P 9 663636

故 的分布列为：

所以E 0 1 4 9

63366

17.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。满分13分。 解法一：

x2y2

（I）依题意，可设椭圆C的方程为2 2 1（a>b>0），且可知左焦点为F ( 2,0)

ab

从而有

c 2 解得

2a |AF| |AF | 3 5 8

2

2

c 2

， a 4

x2y2

又a b c，所以b 12，故椭圆C的方程为 1

1612

2

2

（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y 由

3

x t 2

y

3

x t 得3x2 3tx t2 12 0 2

x2y2

1 1612

因为直线l与椭圆C有公共点，所以 3t

4 3 t

2

2

12 0，

解得 43 t 43

另一方面，由直线OA与l的距离d 4可得

|t|9 14

4，从而t 2。

由于 2 43,43，所以符合题意的直线l不存在。 解法二：

x2y2

（I）依题意，可设椭圆C的方程为2 2 1（a>b>0），且有：

ab

49

。从而a2 16 1 ， 解得b2 12或b2 3（舍去）22

aba2 b2 4

（II）同解法一

18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。 解法一 ：

（I） A1A 平面ABC，BC 平面ABC， A1A BC

AB是圆O的直径， BC AC

又AC A1A A， BC 平面A1ACC1 而BC 平面B1BCC1，

所以平面A1ACC1 平面B1BCC1。

（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB AA1 2r 故三棱柱ABC_A1B1C1的体积 V1

1

AC BC 2r AC BC r 2

又 AC2 BC2 AB2 4r2

AC2 BC2

2r2 AC BC

2

当且仅当AC BC

2r时等号成立。

从而，V1 2r

而圆柱的体积V r2 2r 2 r3，

3

V12r31故p ，当且仅当

V22 r3

AC BC 2r，即OC AB时等号成立。

所以，p的最大值等于

1

（ii）由（i）可知，p取最大值时，OC AB

于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz（如图）， 则C(r,0,0)，B(0,r,0)，B1(0,r,2r)

BC 平面A1ACC1，

设平面B1OC的法向量n (x,y,z)，

是平面A1ACC1的一个法向量

取z 1，得平面B1OC的一个法向量为n (0, 2,1)

0 90 ，

解法二：

（I）同解法一

（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB AA1 2r， 故三棱柱ABC_A1B1C1的体积V1 设 BAC (0 90)，

则AC ABcos 2rcos ，BC ABsin 2rsin ，

由于AC BC 4r2sin cos 2r2sin2 2r2，当且仅当sin2 1即 45

1

AC BC 2r AC BC r 2

时等号成立，故V1 2r

而圆柱的体积V r2 2r 2 r3，

3

V12r31

故p ，当且仅当sin2 1即 45 时等号成立。 3

V22 r

所以，p的最大值等于 （ii）同解法一

解法三：

（I）同解法一

（II）（i）设圆柱的底面半径r，则AB AA1 2r，故圆柱的体积V r2 2r 2 r3 因为p

1

V1

，所以当V1取得最大值时，p取得最大值。 V

又因为点C在圆周上运动，所以当OC AB时， ABC的面积最大。进而，三棱柱

1

ABC_A1B1C1的体积最大，且其最大值为 2r r 2r 2r3

2

1

故p的最大值等于

（ii）同解法一

19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一：

（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S

900t2 400 2 30t 20 cos(90 30 )

2

=900t 600t 400 =900(t ) 300

13

2

故当t

1031

303 时，Smin 103，此时v 13

3

即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （II）设小艇与轮船在B出相遇，则

v2t2 400 900t2 2 20 30t cos(90 30 )

600400

2 tt

600400

0 v 30， 900 2 900

tt

232

即2 0，解得t

t3t2

又t 时，v 30

3

2

故v 30时，t取最小值，且最小值等于

3

此时，在 OAB中，有OA OB AB 20，故可设计寒星方案如下：

故v2 900

航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 解法二：

（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北

方向。

设小艇与轮船在C处相遇。

在Rt OAC中，OC 20cos30 103，AC 20sin30 10 又AC 30t，OC vt

此时，轮船航行时间t

101

，

303

v

103

303 13

即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

（II）猜想v 30时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时AD DO 30t 又 OAD 60 ，所以AD DO OA 20，解得t 据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 证明如下：

如图，由（I）得OC 103，AC 10，

故OC AC，且对于线段AC上任意点P,

有OP OC AC 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，

2 3

故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。

设 COD (0 90 )，则在Rt COD中，CD 103tan ，OD 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 t

103

cos

10 103tan 103

和t

30vcos 10 103tan 103

30vcos

所以，

由此可得，v

153

sin( 30)

3 2

又v 30，故sin( 30 ) 从而，30 90

由于 30 时，tan 取得最小值，且最小值为

3 3

于是，当 30 时，t

10 103tan 2

取得最小值，且最小值为

303

解法三：

（I）同解法一或解法二

（II）设小艇与轮船在B处相遇。依据题意得： vt 400 900t 2 20 30t cos(90 30)， （(v 900)t 600t 400 0

（1） 若0 v 30，则由

2

2

22

2

360000 1600(v2 900)

=1600(v 675) 0 得v 153

2

300 20v2 675

从而，t ，v [153,30)

v2 900 300 20v2 675

① 当t 时， 2

v 900

v 153时等号成立。

300 20v2 67524

②当t 时，同理可得 t

33v2 900

由①、②得，当v [153,30)时，t （2） 若v 30，则t

2 3

2 3

2

3

综合（1）、（2）可知，当

v 30时，t取最小值，且最小值等于

此时，在 OAB中，OA OB AB 20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东

30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分

14分。 解法一：

（Ⅰ）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2

当x

( ,和， )时，f’(x)>0; 当x ()时，f’(x)<0。

（ⅱ）曲线C在点P1

处的切线方程为

y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1， 即y=(3x12-1)x-2 x13.

由

得x3-x=(3x12-1)x-2 x13 即（x-x1）2(x+2x1)=0, 解得 x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1.

进而有

用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=又x2=-2x1 0，所以S2=

274

x2。 4

s27 1641

x1 0,因此有1 。 4s216

b

的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点3a

（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a 0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于

P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则证明如下：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心

平移至

S1

为定值。 S2

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0)的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于

b

的实数x1,曲线C’与其在点P（处的切线交于另一点P（1x1, g(x1)）2x2, 3a

g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则证明如下：

S1

为定值。 S2

(3ax2 b)4b

用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 2x和S2 。

12a3a

又x2=

bb

2x1且x1 , a3a

(3ax2 b)( 6ax1 2b)416(3ax1 b)4

0, 所以S2

12a312a312a3

故

S11 . S216

21．（1）选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。 解法一：

（Ⅰ）由题设得：

（Ⅱ）因为矩阵M为对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两点（0，0），（1，3）， 由

点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（0，0），（-2，2）. 从而，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x。 解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设直线y=3x上的任意点（x,y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（x’,y’），由

由（x,y）的任意性可知，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y= -x。 （2）选修4-4：坐标系与参数方程

本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。 解法一：

故由上式及t的几何意义得解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）因为圆C的圆心为（0

，半径

直线l的普通方程为：

由解得：或

不妨设A（1，

，B（2，

，又点P的坐标为（3

，

又已知不等式f(x) 3的解集为x 1 x 5，所以（Ⅱ）当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5)，于是

解得a=2.

综上可得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)+f(x+5)≥m即g(x) ≥m 对一切实数x 恒成立，则m的取值范围为(- ，5]. 解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5). 由∣x-2∣+∣x+3∣≥∣(x-2)-(x+3)∣=5 （当且仅当-3 x 2时等号成立）得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)+f(x+5) ≥m 即 g(x) ≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(- ，5].

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1wy4.html