概率论 5.2-5.3矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解

5.2 矩阵对角化

一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵. 1

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.证明A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P

P 1 A E P

P 1 A E P A E .

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.

B E A E .推论 若 n 阶方阵A与对角阵 1 2 n

相似, 则 1 , 2 , , n即是A的n个特征值.

三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵 A对角化 .定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .

推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似.

如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化.

例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2 解 1 2 2

(1) 由 A E 2 2

2 42

4 2 0

2 7

得 1 2 2, 3 7.

将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组

x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3解之得基础解系

2 0 1 0 , 2 1 . 1 1 1 , 2 线性无关 .

同理 , 对 3 7,由 A E x 0,

求得基础解系 3 1,2,2

T

2 0 1 由于 0 1 2 0, 1 1 2

所以 1 , 2 , 3线性无关.即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.

2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0

23 3 1 2

所以A的特征值为 1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1, 1) ,故A 不能化为对角矩阵.

6 0 4 例2 设A 3 5 0

3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.解

4

6

0

A E 3 3

5 6 1

0 1 2 2

所以A的全部特征值为 1 2 1, 3 2.

将 1 2 1代入 A E x 0得方程组

3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2解之得基础解系

2 1 1 , 0 1 , 2 线性无关 .

0 2 0 . 1

将 3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系

3 1,1,1 T .所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2

由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0 则有

1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0

注意

2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1

即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应.

2 1 2 ( 2) A 5 3 3 能 否 对 角 化 ？ 1 0 2 2 1 2

A E

5 1

3 0

3 1 2

3

所以A的特征值为 1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 (1,1, 1)T , 故A 不能化为对角矩阵.

作业 P200 P203 8,9,10 13

6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解(即对角化)

一、对称矩阵的性质A为对称阵 , 即A AT .

说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵.

12 6 1 例如 A 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.定理1 对称矩阵的特征值为实数.

定理2 设 1 , 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量, 若 1 2 , 则p1与p2正交.证明 1 p1 Ap1 , 2 p2 Ap2 , 1 2 ,

A对称, A AT , 1 p1 1 p1 Ap1 p1 T AT p1 T A,T T T

于是 1 p p2 p Ap2 p T 1 T

T 1

T 1

T 1

2 p2 2 p1T p2 ,

1 2 p p2 0. 1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.

由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交 .

定 理3 设A为n阶 对 称 矩 阵 ,则 必 有 正 交 矩 阵 P, 使 P 1 AP , 其 中 是 以A的 n 个 特 征 值 为 对 角 元 素的对角矩阵 . (此定理不证)

推论： 设 A为 n阶 对 称 矩 阵 , 是A的 特 征 方 程 的 r 重 根, 则 矩 阵 A E 的 秩 R( A E ) n r , 从 而 对应特征值 恰 有 r 个

线 性 无 关 的 特 征 向 .量

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