网络教育《复变函数》作业及答案

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《复变函数》

一、 判断题

1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。(√ ）

2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在。（ √ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( √ )

4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（× ）

5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ √ ）

6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ × ）

7、若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z )的可去奇点。( √ ) 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。（√ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ √ ）

10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ √ ）

11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（√ ）

12、有界整函数必为常数。（√ ）

13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。( √ )

14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。（√ ）

15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（√ ）

16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。（ √ ）

17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ × ）

18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。（× ）

19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（√ ）

20、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。（ √ ）

21、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件。（√ ）

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在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ 22、若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续。（√ ）

23、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。（ × ）

24、存在整函数)(z f 将复平面映照为单位圆内部。（× ）

1、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ × ）

4、若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠。（ √ ）

7、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。（ × ）

8、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n n

n f 。（ × ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。（ √ ）

二、填空题

1、函数e z 的周期为____i π2_______。

2、幂级数∑+∞=0n n nz 的和函数为__

2)

1(1z -________。 3、设1

1)(2+=z z f ，则)(z f 的定义域为____i z ±≠ 4、∑+∞=0n n nz

的收敛半径为_____1____。

5、???+-≤=0

)!1(200)0,(Res n n i n z e n z

π。 6、

???≠==-?=-1012)(1||00n n i z z dz z z n π 7、设1

1)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有_____i i z -=, _____。 8、若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___整函数________。

9、=+z z 22cos sin ____1_____。

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在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ 10、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的__亚纯函数__。

11、设C iy x y x i xy x z f ∈+?+-++=),sin(1()2()(222，

则)(lim 0z f z z →_=),sin(1()2(2

0200020y x i y x x +-++ 13、幂级数∑∞=0n n nx

的收敛半径为____1______

14、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的__ m-1级___零点。

15、函数||)(z z f =的不解析点之集为__ξ=+++∞→n

z z z n n ...lim 21____。 16、?

??+-≤=0)!1(200)0,(Res n n i n z e n z

π，其中n 为自然数。 17、公式x i x e ix sin cos +=称为____欧拉公式_________.

18、若n n n

i n n z )11(12++-+=，则ie z n n +-=∞→1lim 19、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-?C n dz z z )(1

20、函数z sin 的周期为__π2_________。

21、若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21

。

22、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为_____0___。

23、函数211)(z z f +=

的幂级数展开式为_________。

三、计算题

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在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ 1、.))(9(2||2?=+-z dz i z z z

解：

592.))(9(22||2ππ=-=+--==?i z z z z i dz i z z z

2、求).,1(Res 2i z e iz

+ 3、.62lim n n i ??

? ??-∞→ 解：062lim =??

? ??-∞→n n i 4、求)2)(1(1)(--=

z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。 5、求0154=+-z z ，在|z |<1内根的个数 解：1个。

6、.cos 11||?=z dz z 解：0cos 11||=?=z dz z

7、求).,1(Res 2i z

e iz

-+ 8、求.21212

2??? ??-+??? ??+i i

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在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ 解：4cos cos 2)4sin()4cos(4sin 4cos 2121πππππn

n i n n i n i i n n =-+-++=??? ??-+??

? ??+ 9、求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数。

解：1个。

10、设?-++=C d z

z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 解：)173(2173)(22++=-++=?z z i d z z f C πλλλλ，),76(2)('+=z i z f π .1226()1('-=+i i f π

11、求??==+--+3||1||1

)

4)(1(21sin z z z z z dz i zdz e π。 解：;1)1)0)4)(1(21sin 3||1||1

-=-+=--+

??==+z z z z z dz i zdz e π。 12、设1

)(2-=z e z f z

，求).),((Re ∞z f s 解：0)),((Re =∞z f s

13、求函数z e 1在+∞<<||0z 内的罗朗展式。

14、求复数1

1+-=z z w 的实部与虚部。 解：2222|

1||1|1|||1|)1)(1(11++-++=+--=+-z z z z z z z z z z ；

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在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ 15、设)

2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的洛朗展开式。。 解：∑∑∞=∞=+-=-+--=---=--=1

1221112/11211121)2)(1(1)(n n n n n z z z z z z z z z f 。 16、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式。 解：...)!12()2()1(...!3)2(2)2sin(1233

33

3++-++-=+n z z z z n n ； 17、求函数6

3

sin z z 在+∞<<||0z 内的罗朗展式。 解：...)!12()1(...!31sin 3

63363++-++-=-n z z z

z z n n ； 四、证明题

1、若函数f (z )在z 0处可导，则f (z )在z 0连续。

证明：根据定义可得：若函数f (z )在z 0处可导，则f (z )在z 0连续。

2、若数列}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

证明：利用不等式:

202000|||||||,|y y x x y y x x n n n n -+-≤--

3、设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析。 证明 (必要性) 令

,则. (为实常数). 令

. 则. 即满足, 且

连续, 故在内解析. (充分性) 令, 则

,

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在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ 因为与在

内解析, 所以

, 且.

比较等式两边得

.

从而在

内均为常数,

故

在内为常数.

4、设∞是函数f (z )的可去奇点且C A z f z ∈=∞

→)(lim ，试证： ))((lim )),((Re A z f z z f s z --=∞∞

→。 5、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ，则)(0)(C z z f ∈?≡。

证明：由于整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ，则整函数f(z)是一个有界整函数，由刘维尔定理知道，)(0)(C z z f ∈?≡。

6、证明方程0364

=+-z z 在2||1<<z 内仅有3个根。 证明：在1||=z 上，由

|6||)(|64|3||)(|4z z g z z f ==<≤+=得，0364=+-z z 在单位圆内只有一个根，在利用在2||=z 上，由|36||)(||3||6|15162|||)(|44+-=≥+=>===z z g z z z f 得，0364=+-z z 在2||<z 有4个根，所以方程0364

=+-z z 在2||1<<z 内仅有3个根。

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