随机变量及其分布列 版块四 事件的独立性1.教师版 普通高中数学

独立事件的判断

知识内容

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X,Y,表示．

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X所有可能的取值xi与该取值对应的概率pi(i?1,2,,n)列表表示：

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 1 0 P p q 其中0?p?1，q?1?p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布．

X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称0?1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布 一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

n?mCmMCN?MP(X?m)?(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)．

CnN我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，

M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X?m)，从而列出X的分布列．

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

kn?kPn(k)?Ck(k?0,1,2,,n)． np(1?p)2．二项分布

若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q?1?p，那么在n次独立重复

kn?k试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X?k)?Ck，其中k?0,1,2,npq是得到X的分布列 ,n．于

X P 0 0nC0npq 1 1n?1C1 npq… … 二行1?k kn?kCk npq… … 二n n0Cnnpq 由

(q?于n表p?)0n中0nC?p的n第恰好k是项展开q式

nknqCpn pn各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作X~B(n,p)．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则

q?1?Cn?1pqn?kCE(X)?np，D(x)?npq(q?1?p)．

⑷正态分布

1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数a，b之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的y随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． x=μ服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)?12π??x?R，其中?，?是参数，且??0，???????．

e?(x??)22?2，

式中的参数?和?分别为正态变量的数学期望和标准差．期望

Ox为?、标准差为?的正态分布通常记作N(?,?2)． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：

①正态变量在区间(???,???)，(??2?,??2?)，(??3?,??3?)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．

②正态变量在(??，在区间(??3?，??3?)之外的取值的概率??)内的取值的概率为1，

是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x??三倍标准差之内，这就是正态分布的3?原则．

?2)，f(x)为其概率密度函数，⑷若?~N(?，则称F(x)?P(?≤x)??f(t)dt为概率分布

??x1?t2???2函数，特别的，edt为标准正态分布函数． ~N(0，1)，称?(x)?????2πx??P(??x)??()．

?标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

2x

3．离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(x)?x1p1?x2p2??xnpn，叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的

22p2??(xn?E(x))pn叫概率是p1，p2，…，pn，则D(X)?(x1?E(x))2p1?(x2?E(x))做这个离散型随机变量X的方差．

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

D(X)的算术平方根D(x)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随

机变量波动大小的量．

D(aX?b)?a2D(X)； 3．X为随机变量，a，b为常数，则E(aX?b)?aE(X)?b，4． 典型分布的期望与方差：

⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．

⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)?np，D(x)?npq(q?1?p)．

⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，

n(N?n)(N?M)MnM则E(X)?，D(X)?．

N2(N?1)N

4．事件的独立性

如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)?P(B)，

这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发

An)?P(A1)?P(A2)??P(An)，生的概率的积，即P(A1A2并且上式中任意多个事

件Ai换成其对立事件后等式仍成立．

5．条件概率

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概

率，用符号“P(B|A)”来表示．把由事件A与B的交（或积），记做D?AB（或D?AB）．

典例分析

【例1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件

⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． ⑵一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”．

⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．

【考点】独立事件的判断 【难度】1星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

5【答案】⑴ “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，

8若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率

为

45；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为． 78可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

⑵ 由于把取出的苹果又放回筐子，故对“从中任意取出1个， 取出的是梨”的概率没有影响．所以二者是相互独立事件．

⑶“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生” 这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

【例2】 若A与B相互独立，则下面选项中不是相互独立事件的是（ ）

A．A与A

B．A与B C．A与B

D．A与B

【考点】独立事件的判断 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无

【解析】从直观上讲，事件A,B独立即意味着彼此的发生与否不受对方影响．

而对于事件A,A，其中一个发生即意味着另外一个一定不发生，于是A,A不可能独立．

同理可以理解A与B，A与B，A与B独立． 若需从公式上给予一个严格证明，则需依据： 事件A,B独立?P?AB??P?A??P?B?． 当A与B相互独立，即P?AB??P?A??P?B?时，

????对于B选项：P?AB??P?A??P?AB??P?A??P?A??P?B? ?P?A????1?P?B????P?A??P?B?，

故A,B独立；

C，D的独立证明是类似的，暂不详述．

对于A选项：PAA?0?P?A??PA???P?A??1?P?A???，故A,A不独立；

【答案】A；

【例3】 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记A?{抽到K}， B?{抽到的牌是

黑色的}， 问事件A，B是否独立?

【考点】独立事件的判断 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】事件A,B是独立的，证明如下：

一副扑克牌包含13种4种花色的牌一共52张． 抽到K包含4种情形，P?A??41?； 5213261?； 52221； B???5226抽到的牌是黑色的包含26种情形，P?B??抽到黑色的K包含2种情形，于是P?A于是P?AB??P?A??P?B?． 于是事件A,B是独立的．

【例4】 已知甲，乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个球． 今从甲，乙两袋中各

取出一球， 设A?{从甲袋中取出的是偶数号球}， B?{从乙袋中取出的是奇数号球}， C?{从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}， 试证A,B,C任意两个都是独立的．

【考点】独立事件的判断

【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】仅证明A,C的独立性，其余的证明是类似的．

依据基本事件空间可以计算出P?A?,P?C?,P?AC?．

P?A??21814?，P?C???，P?AC???P?A??P?B? 4216216于是A,C是独立的．

【例5】 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站

中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第j站停车的概率，并判断“第i站停车”与“第j站停车”两个事件是否独立．

【考点】独立事件的判断 【难度】5星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】不妨记事件Ai：交通车在第i站停车（i?1,2,3,4,...,9）

我们考虑事件Ai的对立情形，即所有25名乘客都在其余的8个站下车，

?8??8?其概率为??．于是P?Ai??1???．

?9??9?2525在第i站不停车的条件下在第j站停车的概率PAjAi?PAi?PAiAji??PAiAjPAi????

????P?A???? ??25?8??8??7?而PAi???,PAj???,PAjAi???，

?9??9??9?25??25?7?代入有PAjAi?1???

?8???25?7?由PAjAi?1????P?Aj?，说明事件Aj与Ai不独立，于是事件Aj与Ai不独

8????25立．

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