复变函数论第三版课后习题答案

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第一章习题解答

（一）

1．设z?1?3i，求z及Arcz。

2?解：由于z?1?3i?e?3i

2所以z?1，Arcz????2k?,k?0,?1,?。

32．设z1?1?i,z2?3?1，试用指数形式表示z1z2及z1。

2z2???ii1?i?e4,z2?3?i?2e6 解：由于z1?2?所以z1z2?e42e?ii?i6??2e(?)i46????2e12i

?5??)iiz1e41(?14612??e?e。 ??iz2222e63．解二项方程z?a?0,(a?0)。 解：z44??a?(ae)?ae2224414?i4??2k?4i,k?0,1,2,3。

4．证明 ，并说明其几何意义。 证明：由于z1?z2 z1?z22?z1?z2?2Re(z1z2)

22?z1?z2?2Re(z1z2)

2 所以z1?z2?z1?z22?2(z1?z2)2

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方的二倍。 5．设z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆证 由于

z1?z2?z3?0,z1?z2?z3?1。证明z，z，z是内

123

z?1的一个正三角形的顶点。

，知

z1?z2?z3?13?z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。

因为

1?z3?z3z3

????z1?z2?????z1?z2???z1z1?z2z2?z3z2?z1z2

?2?z1z2?z1z2

zz所以， 12又

?z1z2??1，

2z1?z2?(z1?z2)(z1?z2)?z1z1?z2z2?(z1z2?z2z1)

?2??z1z2?z1z2??3

z故 1同理

?z2?3，

，知

z1?z3?z2?z3?3?z1z2z3是内接于单位圆z?1的一个正三角形。

6．下列关系表示点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域。 （1） z?z1?z?z2,(z1?z2)； 解：点

z的轨迹是z与z12两点连线的中垂线，不是区域。

（2）z?z?4； 解：令z?x?yi

由x?yi?(x?4)?yi，即x2?y2?(x?4)2?y2，得x?2 故点

z的轨迹是以直线x?2为边界的左半平面（包括直线x?2）；不是区域。

z?1?1 z?1解：令z?x?yi，

（3）

由z?1?z?1，得(x?1)2?(x?1)2，即x?0； 故点

z的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。

?4,且2?Rez?3；

（4）0?arg(z?1)?解：令z?x?yi

y??????0?y?x?1?0?arg?0?arg(z?1)?由? x?14，即?4，得?2?x?3???2?x?3?2?Rez?3?故点

z的轨迹是以直线x?2,x?3,y?0,y?x?1为边界的梯形（包括直线x?2,x?3；

不包括直线y?0,y?x?1）；不是区域。 （5）z?2,且z-3?1； 解：点

z的轨迹是以原点为心，2为半径，及以z?3为心，以1为半径的两闭圆外部，

是区域。

（6）Imz?1,且z?2； 解：点

z的轨迹是位于直线Imz?1的上方（不包 括直线Imz?1），且在以原点

为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。

（7）z?2,且0?argz??4；

解：点

z的轨迹是以正实轴、射线argz??及圆弧Z=2为边界的扇形（不包括边界），

4i131?,且z?i? 2222是区域。 （8）z?解：令z?x?yi

?i11?2z??x?(y?)???22??2由?，得?31?z?i??x2?(y?3)????222?故点

14 14z的轨迹是两个闭圆x21131?(y?)?,x2?(y?)?的外部，是区域。

24247．证明：z平面上的直线方程可以写成az?az?C（a是非零复常数，C是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为

Ax?By?C将

11x?Rez?(z?z),y?Imz?(z?z)代入，得

22i11(A?iB)z?(A?iB)z?C22

a?11(A?iB)a?(A?iB)22，则，上式即为az?az?C。

令

反之：将z?x?yi,z?x?yi，代入az?az?C得(a?a)x?(ia?ia)y?c 则有

Ax?By?C；即为一般直线方程。

8．证明：

z平面上的圆周可以写成

2Azz??z??z?c?0.

其中A、C为实数，A?0,?为复数，且?证明：设圆方程为

?AC。

A(x2?y2)?Bx?Dy?C?0

其中A?0,当B?D?4AC时表实圆；

2211(z?z),y?(z?z)代入，得 将x?y?zz,x?22i2211Azz?(B?Di)z?(B?Di)z?c?0

22即Azz??z??z?c?0. 其中??且?211(B?Di),??(B?Di) 2211?(B2?D2)??4AC?AC； 44(??AC)

2反之：令z?x?yi,??a?bi代入Azz??z??z?c?0得A(x?y)?Bx?Dy?C?0,其中B?2a,B?2b 即为圆方程。

10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。 （1）

22z?(1?i)t； （2）z?acost?ibsint；

z?t?（3）

iiz?t2?2t； （4）t，

?x?tz?x?iy?(1?i)t??,???t??y?t?解（1）。即直线y?x。

?x?acostz?x?iy?acost?ibsint??,?y?bsint（2）

0?t?2?x2y2?2?12ab，即为椭圆；

t?i?x?1z?x?iy?t???y?t?t，即为双曲线xy?1； ?（3）

2?x?ti?1z?x?iy?t2?2??y?t2?t?（4），即为双曲线xy?1中位于第一象限中的一支。

11．函数

w?1z将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线?z?x?iy,w?u?iv?？

2（1）y?x； （2）?x?1??y?1

2w?解

x?y11xyu?,v???2?ix2?y2x2?y2，可得 zx?iyx?y2x2?y2，

u?（1）

xy???y?????vx2?y2x2?y2x2?y2是w平面上一直线；

?x?1?2?y2?1?x2?y2?2x?（2）

于是

x1?x2?y22，

u?12，是w平面上一平行与v轴的直线。

13．试证argz(???argz??)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。

证 设f(z)?argz，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。 当z0为负实轴上的点时，即z0?x0(x0?0)，有 ?y???arctan????xlim?x0?x?????y?0?limargz????yz?z0????lim??arctan?????x?x0?x???y?0?

所以

z?z0limargz不存在，即argz在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性

显然。

14． 设

? xy 3 ? , ? f ?z 2 ? y 6 ? z?0x ?

? 0 , z?0 ?

求证f?z?在原点处不连接。 证 由于

x4x2limf?z??lim2?lim?0z?0x?0x?x6x?01?x4y?x

y61limf?z??lim6?z?0y?0y?y623x?y

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