数学建模 - 微分方程之减肥问题

摘要：在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果，对于第一问，利用微分方程反解出时间t（天），从而得到每个人达到自己理想目标的天数，同理，对于第二和第三问 ，利用以上方法，加上运动所消耗的能量，也可得出确切的时间，和所要保持体重所消耗的能量。

【关键字】：微分方程 转化 能量转换系数

1. 问题重述

现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 人数 身高 体重 BMI 理想目标 1 1.7 100 34.6 75 2 1.68 112 33.5 80 表一 3 1.64 113 35.2 80 4 1.72 114 34.8 85 5 1.71 124 35.6 90 题目要求如下：

（1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标；

（2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过调差资料得到以下各项运动每小时每kg体重的消耗的热量入下表二所示：

表二 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速) 2.5 游泳 （50m/min） 7.9 热量消耗/k 7.0 3.0 4.4 （3）给出达到目标后维持体重的方案。

2. 问题的背景与分析

随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改

善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题，为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI）：体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常,大于25为超重,超过30则为肥胖,据悉我国有关机构针对东方人的特点,拟将上述规定中的25改为24.,30改为29。无论从健康的角度,是从审美的角度,人们越来越重视减肥,大量的减肥机构和商品出现.不少自感肥胖的人加入了减肥的行列,盲目的减肥,使得人们感到不理想,如何对待减肥问题,不妨通过组建模型,从数学的角度,对有关的规律作一些探讨和分析。

根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限?1，当?*??1时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需，这是减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称?1为减肥的临界指标，另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为0

3. 模型的假设与符号说明

3.1模型假设：

（1）人体的脂肪是能量的主要储存和提供方式，而且也是减肥的主要目标，因为对于一个成年人来说体重主要由四部分组成，包括骨骼、肌肉、水和脂肪。骨骼，肌肉和水大体上可以认为是不变的，所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重的标志，已知脂肪的转化率为100%，每千克的脂肪可以转化为8000kcal的能量（kcal为非际单位制单位）。

（2）忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响，人体的体重仅仅看成时间t的函数w（t）

（3）由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以w（t）是连续而且是光

滑的；

（4）运动引起的体重减少成正比于体重；

（5）正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为28.75~45.71kcal，且因人而异

（6）人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于1429kcal

3.2符号说明：

D；脂肪的能量转化系数

W（t）：人体的体重关于时间的t的函数。

r：每千克体重每小时运动所消耗的能量（kcal/kg）/h b：每千克体重每小时所消耗的能量（kcal/kg）/h

A0：每天摄入的能量

W1： 五个人理想的体重目标向量 A ：五个人每天分别摄入的能量 W：五个人减肥前的体重

B：每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗

4．问题分析

如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应为B=24b（kcal/d）,由于人的某种运动一般不会是全天候的,不妨假设每天运动h小时,则每天由于运动所消耗的能量应为R=rh(kcal/d),在时间段(t,t+?t)内能量的变化基本规律为:

[?(t??t)-?(t)]D?[A（-B?R）?（t）]?t

取?t?0,可得

?d??a?d?，? (1) ?dt?（0）=?0??其中a=A/D,d=(B+R)/D,t=0(模型开始考察时刻),即减肥问题的数学模型

模型求解有

ad利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数。

5．模型的建立

?（t）=?0e?dt+（1-e?dt） (2)

（1）首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗B，因为没有运动，所以有R=0，根据式（2）式，得

B?A W从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗。

从假设（5）可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，有没有运动，所以会长胖，进一步，由W(t)(五人的理想体重)，W（五人减肥前的体重），D=8000kcal/kg（脂肪的能量转换系数）根据式（2）式有

1??a/dD?B?A t??ln??lnd?0?a/dB?0B?A将A（五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表所示

表三 人 天数 （2）为加快进程，增加运动，结合调查资料得到以下各项运动每小时每kg体重消耗的热量表： 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速) 2.5 游泳 （50m/min） 7.9 1 194 2 372 3 313 4 266 5 298 热量消耗/k 7.0 3.0 4.4 由假设（4）可知，表中热量消耗为r，取h=1h，R=rh=r，根据式（2）式有

t??1??a/dD?(B?R)?Aln??ln d?0?a/dB?R?0(B?R)?A将A（五个人每天分别摄入的能量）的值代入时，取不同的r，得到一组数据， 在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同运动强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表所示：

表四 运动 时间/天 跑步 122 187 173 148 163 跳舞 155 261 232 198 220 乒乓 141 229 207 177 196 自行车 160 274 243 206 230 游泳 116 176 164 140 154

（3）要使体重稳定在一个定值，则有

A?*?

B?R根据自己的不同理想目标和B（每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗），在不同小时下的能量消耗表：

（1） 在h=1的情况下运动所消耗的能量，如下表：

表五 运动 消耗能量(kcal) 跑步 2667.00 2376.400 2495.600 2600.000 2644.800 跳舞 2367.800 2056.400 2175.600 2260.000 2284.800 乒乓 2472.800 2168.400 2287.600 2379.000 2410.800 自行车 2330.200 2016.400 2135.600 2217.500 2239.800 游泳 2735.300 2448.400 2567.600 2676.500 2725.800 （2） 在h=2的情况下运动所消耗的能量，如下表：

表六 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 3198.00 2592.800 2802.800 2517.700 2936.400 2296.400 2520.400 2216.400 消耗能量3055.600 2415.600 2639.600 2335.600 (kcal) 3195.000 2515.000 2753.000 2430.000 3274.800 2554.800 2806.800 2464.800

6．模型的分析与讨论

游泳 3327.800 3080.400 3199.600 3348.000 3436.800 （1） 从上几个表可知，普遍观察得出结论，游泳是减肥的最佳方法，无论

是在长时间还是短时间内，从结果来看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥的最佳方法，也可从下图可知，图一表示每个人的能量消耗图，都是离散的，并且都是递增的，表明了游泳时能量消耗最快的，选此方法减肥是最合理有效的。

图一

第一个人30002500200030002500200030002500200020003000250020002500第二个人246824第四个人68第三个人24682468第五个人2468

（2）在式（2）中假设a=0，即假设停止进食，无任何能量摄入。于是有

?（t）??0e-dt 或

?（t）?dt?e ?0这表明在t时刻保存的体重占初始体重的百分率由e?dt给出，称为（0，t）时间内的体重保存率，特别当t=1时，e?d给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在（0，t）时间内体重的消耗率，它表明在（0，t）内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由

lim?（t）?0，即体重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危险

t??的。

（3）a/d是模型中的一个重要的参数，由于a=A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，而d=（B+R）/D表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是a/d就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知,t时刻的体重由两部分构成,一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分.另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直观上理解也是合理的. (4)由式(1.1)

d??0即a/d??,体重从?0递减,这是减肥产生效果,另外由式(1.2)可dt以看到t??时?(t)??*?a/d?A/(B?R),也就是说式(1.1)的解渐进稳定于

?*?a/d,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称?*为减肥效果指标,由

?*?A/(B?R)，因为B是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每

个人的意愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数（非常数，即通过调整新城代谢的方法来减肥），于是就有如下结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识。

人体体重的变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值。

7．参考文献

[1] 王敏生 王庚, 现代数学建模方法, 北京,科学出版社 2006

[2] 罗万成，大学生数学建模案例精选，成都，西南交通大学出版社，2007年。 [3] 戴朝寿等，数学建模简明教程，北京，高等教育出版社，2007年。 [4] 江世宏，MATLAB语言与数学实验，北京，科学出版社，2007年。 [5]胡良剑 孙晓君 matlab数学实验, 北京, 高等教育出版社, 附录：Matlab程序

%（1）在不运动的情况下 clear

R=0;

D=8000;%能量转换系数

A0=1429; %每天吸收热量的下限

W1=[75 80 80 85 90]; %理想的体重目标

A=[2857 2543 2734 2689 2776];%每人每天摄入的能量 W=[100 112 113 114 124];%每人的体重 n=length(W);

B=A./W %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 a=A./D %系数 d=(B+R)./D %系数 for i=1:n

t(i)=-(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0)); %减肥所需要的时间 end t

%（2）在做适当的运动的情况下 h=1;

r=[7.0 3.0 4.4 2.5 7.9]; R=h.*r;

n1=length(R);

D=8000;%能量转换系数

A0=1429; %每天吸收热量的下限

W1=[75 80 80 85 90]; %理想的体重目标

A=[2857 2543 2734 2689 2776];%每人每天摄入的能量 W=[100 112 113 114 124];%每人的体重 n=length(W);

B=A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j=1:n1 for i=1:n

t(i,j)=-(D./(B(i)+R(j))*log((W1(i).*(B(i)+R(j))-A0)./(W(i).*(B(i)+R(j))-A0)));%减肥所需要的时间 end end

t %每行所代表的是每个人所对应的不同运动所需的天数

%（3）在体重稳定的情况下 h=[1 2]';

r=[7.0 3.0 4.4 2.5 7.9]; R=h*r;

[m,n]=size(R);

D=8000;%能量转换系数

A0=1429; %每天吸收热量的下限

W1=[75 80 80 85 90]; %理想的体重目标

A=[2857 2543 2734 2689 2776];%每人每天摄入的能量 W=[100 112 113 114 124];%每人的体重 n1=length(W);

B=A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j=1:n

for i=1:n1

A1(i,j)=W1(i).*(B(i)+R(1,j)); % 在体重稳定的情况下 A2(i,j)=W1(i).*(B(i)+R(2,j)); end end

A1 %在h=1的时间下运动所消耗的能量 A2 %在h=2的时间下运动所消耗的能量

%图形程序

x=[7.0 3.0 4.4 2.5 7.9];

y=[2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2376.400 2056.400 2168.400 2016.400 2495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 subplot(3,2,1); plot(x,y(1,:),'g*'); title('第一个人'); subplot(3,2,2); plot(x,y(2,:),'ro'); title('第二个人'); subplot(3,2,3); plot(x,y(3,:),'g.'); title('第三个人'); subplot(3,2,4); plot(x,y(4,:),'c+'); title('第四个人'); subplot(3,2,5); plot(x,y(5,:),'go'); title('第五个人');

2735.300 2448.400 2567.600 2676.500 2725.800];

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