第一章1.3-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

A级 基础巩固

一、选择题

1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )

A．4倍 B．3倍 C.2倍

D．2倍

解析：设轴截面正三角形的边长为2a，

所以S底＝πa2，

S侧＝πa·2a＝2πa2，因此S侧＝2S底． 答案：D

2.如图所示，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )

1A. 32C. 3

1B. 23D. 4

1112

解析：因为VC-A′B′C′＝V柱＝，所以VC-AA′B′B＝1－＝.

3333答案：C

3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )

A．π B．2π C．4π D．8π

解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr·2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2·2r＝2πr3＝2π.

答案：B

4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛

11616

解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆

4π31121256320320

的体积V＝×πrh＝××5＝(立方尺)，所以堆放的米有

434999÷1.62≈22(斛)．

答案：B

5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )

A．1∶2 C．2∶2

B．1∶3 D．3∶6

解析：棱锥B′ -ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边3

三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝.

2

3

三棱锥的表面积S锥＝4×＝23，

2又正方体的表面积S正＝6. 因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶3. 答案：B 二、填空题

6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm，4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.

解析：棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)． 答案：72

7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．

解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何

1

体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×2×3－π×22×3＝8π.

3

2

答案：8π

8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．

解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋2.

（1＋2）则S侧＝8＋22，S底＝2××1＝3.

2故S表＝S侧＋S底＝11＋22. 答案：11＋22 三、解答题

9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．

解：设圆锥的底面半径为r，母线l， 1

则2πr＝πl，得l＝6r.

3

又S锥＝πr＋πr·6r＝7πr＝15π，得r＝

2

2

15， 7

15

＝53， 7

圆锥的高h＝l2－r2＝36r2－r2＝35·r＝35×12115253

体积V＝πrh＝π××53＝π.

3377

10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱

柱的表面积与体积．

解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′2

＝23cm，所以底面边长A′B′＝23×＝4(cm)．

3

1

一个底面的面积为×23×4＝43(cm2)．

2所以表面积S＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm2)， V＝43×2＝83(cm3)．

所以表面积为(24＋83)cm2，体积为83(cm3)．

B级 能力提升

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )

A．7 B．6 C．5 D．3

解析：设圆台较小底面半径为r，较大底面半径为r2，圆台的母线为l.

依题意r2＝3r1，且l＝3，又S侧＝π(r1＋r2)l＝12πr1. 所以12πr1＝84π，则r1＝7. 答案：A

2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新

的底面半径为__________．

解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的196π122

圆柱的总体积为π×5×4＋π×2×8＝.

33

28π1

设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π·r2×4＋π·r2×8＝

33196π

r＝，解得r＝7.

3

2

答案：7

3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．

解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． 128V四棱柱＝2＝8，V四棱锥＝×2×2＝.

33

3

832

故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋ ＝(cm3)．

33

的底面半径为__________．

解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的196π122

圆柱的总体积为π×5×4＋π×2×8＝.

33

28π1

设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π·r2×4＋π·r2×8＝

33196π

r＝，解得r＝7.

3

2

答案：7

3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．

解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． 128V四棱柱＝2＝8，V四棱锥＝×2×2＝.

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3

832

故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋ ＝(cm3)．

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