西南大学试题

西南师范大学2002年高等代数

一、（15）设f(x)为有理数域上的n(n?2)次不可约多项式，f的某根a的倒数也是f的根，证明：f的每个根的倒数都是f的根。

?1x?A?二、（20）设?x1?1y?使PAP?B。

?11??000????y?与B??010?相似，（1）求x,y的值；（2）求一正交阵P，

?002?1????三、（20）设?为数域F上n维线性空间V的线性变换。（1）证明dim?(V)?dimker??n；（2）举例说明在一般情况下?(V)?ker??{0}；（3）证明若?(V)?ker??{0}，则

V??(V)?ker?。

nn四、（15）设A为n阶实对称阵，V?X?RX'AX?0，证明V是R的子空间的充要

??条件是A为半正定或半负定矩阵。又当V是R的子空间时，V的维数是多少？ 五、（15）设A为n阶方阵，证明A?E的充要条件是秩（A-E）+秩（A+E）=n. 六、（15）设A为数域F上的n阶方阵，f(?)?2n?E?A为A的特征多项式，g(?)?F([?]，

?f(?),g(?)??1. 证明g(A)可逆的充要条件是七、（15）设A，B都是n阶正定矩阵，证明：A+B也正定。 八、（15）设A为R上的s?n矩阵，证明：秩(A'A)?秩(A)。

九、（15）设整系数线性方程组证其系数行列式必为1或-1.

?aj?1nijxj?bj,i?1,2,?,n，对任bi?Z均有唯一整数解，

西南师范大学2002年数学分析

一、

填空（4?8）1.lim(n??111????2)?； 2.设函数f(x)有连续导4289n?3n?2(?x)?f(x)?2ln1,x?0?数，F(x)?? 在x=0连续，则f'(0)? ；x??1,x?03.f连续,方

向

的

ddx圆

2?x0tf(x2?t2)dt?； 4.?102x?x2dx?；5.设L为取顺时针

2周

x2?y2?9f(x)dx，则

，则

?(2xy?2y)dx?(xL?4x)dy?；

6.f(x)?3x?28.二、

?10?21f(x)dx?； 7.设t?esinxy,则dt?；

?20dx?e?ydy?；

x22（10）若f(x)对一切正实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在x=1处连续，则

f在(0,??)上连续。 三、

（10）设在[0,??)f(x)有连续导数，且f'(x)?k?0,f(0)?0，证明f在(0,??)内有且仅有一个零点。 四、 五、

（10）设f在[0，1]上连续且单减，证明当0???1时，?d(x)dx???f(x)dx.

00?1（10）设f在[0，2]上二次可导，且在该区间上有f'(x)?1,f'(x)?1，证明对

?x?[0,2],均有f'(x)?2。

六、

（10）设x0?0,xn??2(1?xn?1)(n?1,2,?)，证明lim存在，并求之。

n??2?xn?1?七、

?an1（10）an??4tanxdx， 1）求?(an?an?2)；2）证对???0,??收敛。

0nn?1n?1nn八、

?(x)??f(xt)dt且lim（8）设f(x)连续，

0x?01f(x)?A(常数),求?'(x),讨论?'(x)x在x=0处的连续性。 九、

（10）设0?x?1,证明:231?x?e?2x。 1?x2x22十、

?z?2z（10）设z?u?v,u?esiny,v?x?y.求,。

?x?x?y十一、 （8）正项数列?an?单减，

?(?1)an发散，问?nn?1?1是否收敛？说明理由。 nn?1(an?1)?

西南师范大学2003年高等代数

1. （15）设多顶式f(x)被x-1,x-2,x-3除后，余式分别为4，5，16，试求f(x)被

(x-1)(x-2)(x-3)除后的余式。 2. （20）计算元素为aij?i?j的n阶行列式D的值。

3. （15）设A，B，C为n阶实方阵，且BAA?CAA，证明BA=CA。 4. （20）求实二次型

TT1?j?k?n?xxjk在正交相似变换下的标准形。

n5. （15）设F为一数域，W为F的非零子空间，对于W中任何向量(a1,a2,?,an),或者

a1?a2??an?0，或者a1,a2,?,an全不为零，证明dimW=1.

6. （15）设A为数域F上的n阶方阵，则a为A的特征值的充要条件是a是A的最小多顶

式在F中的根。

27. （25）设A为数域P上的n阶方阵，且A?A，如果V1,V2分别为方程组AX?0及

(A?E)X?0的解空间，则Fn为V1,V2的直和。

8. （25）设A，B为n阶方阵。（1）若B可逆，且A?AB?B?0，试证A可逆；（2）若AB=A+B，试证AB=BA。 9. （25）设A为实数域上n阶反对称阵。（1）证明A的任意复特征值都是零或纯虚数；（2）

证明A?0。

10. （25）设A，C为n阶正定阵，若矩阵方程AX+XA=C有唯一解B，则B也是正定矩阵。

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西南师范大学2003年数学分析

?e2x?x?1,x?0;?dx?3xlimf(x).计算（10?4）1.f(x)??求 2. ?1?sinx。2x?0xsint?dt,x?0.3??0x?一、

n?x3sin(lnx),x?0;1sinxdx。 3.f(x)??求f'(0). 4.lim?n??01?cos2x?0,x?0.二、

（20）x1?0,xn?1?2xn?2,n?1,2,?,求limxn.

n??xn?2三、

（20）设f在[a,b]上二阶可导，且存在c?(a,b),f(a)?f(b)?0,f(c)?0，

求证存在一点?四、

?(a,b),?f\(?)?0.

?n?111n?1?,x2n??dx,n?1,2,?，试证级数?(?1)xn收敛。

nnxn?1（20）设x2n?1五、 （15）若f在[a,b)上非负连续且

2?baf(x)dx?1，则对任意自然数k都有

bb???f(x)coskxdx???a???af(x)sinkxdx???1. ????2六、

（20）设f1(x)在[a,b]上连续，fn?1(x)??xafn(t)dt,n?1,2,?，证明函数序

列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于零。 七、

（15）设f(x)在[a,b]上连续，则m(x)?inff(t)是[a,b]上的连续函数。

a?t?x八、 九、

（15）求f(x)?x?(x?1)在[-2，2]上的最大最小值。

23213x?x2n?1（20）讨论f(x)?lim的连续性。

n??1?x2n（15）设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)f(b)?0,f'(x)?0,?x?[a,b]，

十、

则方程f(x)?0在(a,b)内有唯一实根。

西南师范大学2004年高等代数

xa?ax1. （20）计算Dn????a?a2. （20）设整系数线性方程组

?a?a.

???x?aj?1nijxj?bi,i?1,2,?,n对任整数b1,b2,?,bn均有唯

一整数解，证其系数行列式的值必为1或-1.

2223. （20）把二次型Q(x1,x2,x3)?3x1?4x2?5x3?4x1x2?4x2x3化为标准型，写出所

做的可逆线性替换，并判别其是否正定。

4. （20）设f(x)为数域F上的多项式，且f(x)?f1(x)f2(x),(f1(x),f2(x))?1，又设V

是数域

F

上的

n

维线性空间，T

为

V

的一个线性变换，

K?Ker(f(T)),W1?Ker(f1(T)).求证:K?W1?W2.

5. （20）设V是复数域上的n维线性空间，?是V的线性变换，i是小于n的正整数，证

明：存在维数为i的?的不变子空间。 6. （20）设F为数域，V??????a??c?b??a,b,c,d?F?为F上二阶方阵构成的线性空间，?d???01?（1）若A??A?V,TA(B)?AB?BA为V的线性变换。证明：?00??，则TA的特征

??值全为零；（2）若A的特征值全为零，则TA的特征值全为零。

7. （15）设A，B为实数域R上s?n与s?m矩阵，证明：（1）秩(AA)=秩(A)；（2）

存在R上的n?m矩阵C，使AAC?AB。

8. （15）设F为数域，f(x)?F[x]，若对?a,b?F均有f(a?b)?f(a)?f(b)，则

TTTf(x)?kx,k?F.

9. （15）设F为数域，f(x)?F[x]，满足xf(x?1)?(x?26)f(x)，证明f(x)?0或

f(x)?ax(x?1)(x?2)?(x?25),a?F.

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