中国海洋大学资料物理习题答案习题3

习题三

3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O?重合时，t=t?=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：

x2?y2?z2?(ct)2 x?2?y?2?z?2?(ct?)2

题3-1图

3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．

l?(l,)，在车站(S)系：

culu?lu??2x1?)??(?2l)?(1?) t1??(t1cccccl?,t2?)?(?l,)，在车站(S)系： 光信号到达后门为事件2，则在车厢(S?)系坐标为(x2cu?lu??2x2?)?(1?) t2??(t2ccc?lu于是 t2?t1??22

c?,t1?)解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S?)系时空坐标为(x1或者 ?t??0,?t ?t??x2??2l ?t1?t2,?x??x1uu??x)??(2l)

c2c2??(?t??3-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6×10m,t1=2×10s，以及x2=12×10m,t2=1×10s．已知在S′系

4

-4

4

-4

中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) S?系中测得的两事件的空间间隔是多少?

解: 设(S?)相对S的速度为v，

?(1) t1??(t1?vx) 21c???(t2?t2vx2) c2?由题意 t2则 t2??0 ?t1v(x2?x1) 2c?t1?故 v?c2t2?t1c????1.5?108m?s?1

x2?x12???(x2?vt2) ??(x1?vt1),x2?(2)由洛仑兹变换 x1?代入数值， x23-4 长度l0=1 m

观测者测得米尺与x轴夹角为???5.2?104m ?x1′

S′系中，与x轴的夹角?'= 30°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系中

?45?． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．

解: (1)米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：

??L0cos???0.866m，L??Lxy?L0sin??0.5m

米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而变，即

y方向的长度不

v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxy

c故 tan??LyLx?L?yLx?L?y?1?Lxvc22

把??,L??45ο及Lxy代入

v20.5 1?2?0.866c?0.816c

则得

故 v(2)在S系中测得米尺长度为L?Lysin45??0.707m

3-5 一门宽为a，今有一固有长度l0(l0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?

解: 门外观测者测得杆长为运动长度，lu?l01?()2c，当1?a时，可认为能被拉进门，则

ua?l01?()2c

解得杆的运动速率至少为：ua?c1?()2l0

题3-6图

3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为?t

?t?O? 测得的是固有时?t?

L020? v0.6cL01??2∴ ?t????v?t ?8.89?10?8

s，

??v?0.6 ， c1?? ，

0.8Lv

或者，O?测得长度收缩，

L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t???t??0.8L00.8?20??8.89?10?8s 80.6c0.6?3?103-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S?相对于S的运动速度．

(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离． 解: 甲测得?t??x1?′ ?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为?x??x2(1)∴ ?t???(?t?v?x)???t2c1v1?()2c?t

?

v2?t41?2??

?t?5c?t243)?c1?()2?c ?t?55解出 v?c1?(?1.8?108 m?s?1

(2) ?x?????x?v?t?,???t?5?,?x?0 ?t4∴ ?x?53???v?t???c?4??3c??9?108m

45?负号表示x2??0． ?x13-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解: l?3?3?l01??2?51??2,则?1??25

∴ v?1?94c?c 255

3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时． 证: 设在S系

A、B事件在a,b处同时发生，则?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测得

?t???t?B?tA??(?t?v?x) 2c? ?t?0,?x?0，

∴

即不同时发生． 3-10 试证明：

(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．

(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．

解: (1)如果在S?系中，两事件仅当v?t??0

A、B在同一地点发生，则?x??0，在S系中，?t???t???t?，

?0时，等式成立，∴?t?最短．

(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x???x?，仅当v?0时等式成立，∴

S?系中?x?最短．

3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期?t???0.地球为S系，则有运动时?t1???t?，这里?t1不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传

递时间，

v?t1c

∴ ?tv?t1v???t????t′ ccv???t?(1?)

c??t1???1?(?tv?(1?)c?10.8c2)c?1 0.6则 ?0??t???0.50.8c(1?)?c

?0.5(1?0.8)10.60.3?0.1666s 1.83-12 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测

-6

者来判断?介子能否到达地球． 解: ?介子在其自身静止系中的寿命?t0?2?10?6s是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨

胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为

?t??t0v21?2c?3.16?10?5s

这段时间飞行距离为d因d?v?t?9470m

?6000m，故该?介子能到达地球．

或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在?t0时间内，地球接近的距离为

d??v?t0?599m

d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：

??d0d0?，故?介子能到达地球． d??d0v21?2?379m

c3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少? 解: 根据速度合成定理，u?0.8c,v?x?0.8c

∴ vx?v?0.8c?0.8cx?u??0.98c

uv?0.8c?0.8c1?2x1?c2cA以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞

船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的

3-14 飞船时间间隔为多少?

解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则

?A对S?系的速度v?x?0.8c，S系对

S系的速度为u?0.6c，则A对S

系(B船)的速度为

vx?v?0.8c?0.6cx?u??0.946c

uv?1?0.481?2xc发射弹是从

A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t??2s，

题3-14图

∴B中测得的时间间隔为：

?t??t?1?vc2x2?21?0.9462?6.17s

3-15 (1)火箭

A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度．

速度．(2)若火箭

解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速度u?0.6c，火箭A相对S的速度

vx?0.8c，则A相对S?(B)的速度为：

v?x?vx?u0.8c?(?0.6c)??0.946c u(?0.6c)(0.8c)1?2vx1?cc2系的速度vx或者取

A为S?系，则u?0.8c，B相对S??0.6c，于是B相对A的速度为：

v?x?vx?u?0.6c?0.8c???0.946c u(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2??0.6c，A对

(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度uS系的速度为,vx?0,vy?0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为：

v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6c u1?01?2vxcu21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64c y?u1?2vxc∴

A相对B的速度大小为

2?2v??v?x?vy?0.88c

速度与x?轴的夹角??为

tan???v?yv?x?1.07

???46.8ο

题3-15图

3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的

x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?

解: S系中光子运动速度的分量为

vx?ccos60ο?0.500c

vy?csin60ο?0.866c

由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为

v?x?vx?u0.5c?0.6c???0.143c u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2u21?2vy1?0.62?0.866ccv?y???0.990c

u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2光子运动方向与x?轴的夹角??满足

tan???v?yv?x??0.692

??在第二象限为???98.2ο

在S?系中，光子的运动速度为

2?2v??v?x?vy?c 正是光速不变．

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?

解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(11?vc22?1)

?9.1?10?31?(3?108)2(11?0.12?1)

?4.12?10?16J=2.57?103eV

?(2) ?Ek?Ek2?Ek1?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)

?m2c2?m1c2?m0c2(11?vc222?11?vc212))

?9.1?10?31?32?1016(11?0.92?11?0.82)

?5.14?10?14J?3.21?105eV

3-18 ?子静止质量是电子静止质量的 207倍，静止时的平均寿命?0=2×10s，若它在实验室参考系中的

-6

平均寿命?= 7×10s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?

-6

解: 设?子静止质量为m0，相对实验室参考系的速度为v因?相应质量为m，电子静止质量为m0e，??c，

??01??2,即11??2??7? ?02m01??2由质速关系，在实验室参考系中质量为：

m??207m0e1??2

故

m2077??207??725 m0e21??23-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为m0，运动质量为m，

由题设

m?m0?0.10

m0m?m01??2

由此二式得

11??2?1?0.10

1 1.10∴

1??2?在运动方向上的长度和静长分别为l和l0，则相对收缩量为：

?ll0?l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1% l01.10-31

3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10kg． 解: 由质能关系

?m?E0.4?? m0m0c21000.4m0c2?0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100 ∴ ?E?100?3.28?10?163.28?10?16eV ?2.0?103eV J＝??191.6?10所需电势差为2.0?10伏特 由质速公式有：

31??2?m0m0??mm0??m111 ???m0.41.0041?1?m0100

∴ ?2v12?()2?1?()?7.95?10?3c1.004故电子速度为 v??c?2.7?107m?s-1

9

3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能EK＝2.8×10eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为E0＝0.511×10eV)

6

解: Ek?m0c2v21?2c?m0c2

所以 由上式，

m0c2v211?2??2c1?Ek/m0cEk?m0c2m0c22v?c1?()m0c2?Ek

?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)2?2.9979245?108m?s-1

c?v?2.997924580?108m?s-1?2.9979245?108?8 m?s-1

由动量能量关系E224?p2c2?m0c可得

24(Ek?m0c2)2?m0cp?24E2?m0cc218?c9?6Ek2?2Ekm0c2c21?382

?[(2.8?10?2?2.8?10?0.511?10)?1.6?10?1.49?10?18kg?m?s?1]/3?108

43-22 氢原子的同位素氘(1H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(2He)原子核和一个中子(0n)，并释放出大量能量，其反应方程为1H + 1H

-27

2312342He + 0n

12.0135原子质

量单位(1原子质量单位＝1.600×10kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子

质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290反应后总质量为4.0015质量亏损

amu

?1.0087?5.0102amu

?m?5.0290?5.0102?0.0188amu

?3.12?10?29kg

?E??mc2?3.12?10?29??3?108??2.81?10?21J?1.75?107eV

2

3-23 一静止质量为m0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．

解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为m10和m20，其相应的速度v1?0.6c,v2?0.8c

由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有

??m1v1?m2v2?m10v121?2cm101?vc212?v1?m202v21?2c?v2?0

m1?m2??m201?vc222?m0

注意

m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以

v1?0.6c,v2?0.8 c代入，将上二方程化为：

mm68m10?m20，10?20?m0 860.80.6上二式联立求解可得：

m10?0.459m0, m20?0.257m0

故静质量亏损?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放

?Ek??mc2?0.284m0c2

3-24 有

A，B两个静止质量都是m0的粒子，分别以v1=v,v2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹

性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．

解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于

是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：

m1v1?m2v2?MV ① m1?m2?M ②

由于 m1v1?m2v2?m0vv1?()2c?0

?m0(?v)1?(?v2)c?0

代入①式得 VM?m1?m22m0v1?()2c，即为碰撞后静止质量．

3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径． 解: 史瓦西半径 rs地球： M?2GMc2

?6?1024kg

2?6.7?10?11?6?1024则： rs??8.9?10?3m 82(3?10)太阳： M?2?1030kg

2?6.7?10?11?2?1030则： rs??3?103 m 82(3?10)3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙

＝2×10kg

-15

30

10km．若进一步坍缩为黑洞，

其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量级? 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，rs(2) rs?3?103m

?10?15cm ?10?17m

?2GMc2

由 rsrsc210?17?(3?108)2??6.7?109kg 得 M??112G2?6.7?103-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．

解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．

等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．

广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．

广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．

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