考研数学经典题目

1.

知识点：函数和极限

题：lim1?cos??cos2??3cos3????2005cos2005???0?2

解：本题看起来比较麻烦，无从下手，但是如果对下面的一道证明题熟悉的话，就很容易找到突破点。例题：

??0lim?1?ncosn??2?n2（大家可以自己证明一下）。故原式

=lim[??01?cos??2?cos??cos??cos2??2?cos??cos2??cos??cos2??3cos3??2

???cos??cos2????2004cos2005??cos??cos2????2005cos2005??1?cos2?1?20052]

=lim[??01?cos??222??2??cos2005??2]

=

12????20052=1005507.5

变化：题中的2005可以是任意自然数n 2.

知识点：导数与中值定理

题A：设在[0,1]上，

f??(x)?M, 且

f(x)在（0,1）内取得最大值，试证：f?(0)?f?(1)?M

解：本题考查的是中值定理，题目难度不大，关键是能够利用所给条件选择合适的定理来证明。 设

上可导，故f?(c)?0。对于函数y=f?(x)，因f?(x)在f(x)在x?c?(0,1)取最大值，f(x)在（0,1）

（0,1）上可导，在区间[0,

c]与[c，1]上分别用拉格朗日中值定理：存在?1?(0,c),?2?(c,1)，使得

f?(c)?f?(0)?f??(?1)c，f?(1)?f?(c)?f??(?2)(1?c) ?f?(0)??f??(?1)c,f?(1)?f??(?2)(1?c) ?|f?(0)|?|f?(1)|?|f??(?1)|c?|f??(?2)|(1?c)

?Mc?M(1?c)?M类似：设函数

f(x)在[a,b]上可导，f(a)?0,f(b)?1,求证：存在?,??(a,b)，且???，使得

121f?(?)?1f?(?)?2(b?a) [提示，取f(c)?,c?(a,b)]

题B：设

f(x)?a0?a1cosx?a2cos2x??ancosnx,且an?|a0|?|a1|??|an?1|，求证：

f(n)(x)在[0，2?]内至少有n个零点。

解：由n个零点，很快联想到可以将区间进行划分，之后再来看f(x)，反复用罗尔定理。

ik?nf(k?nn?1)?ancosk???i?0aicosik?nn?1?(?1)an?k?i?0aicos,k?0,1,?,2n.

n?1n?1由于：an??|ai|?i?0?|aicosi?0ik?n|，所以f(k?n)与(?1)an同号，而f(x)在[0，2?]上连续，根

k据零点定理：f记为xi（i=1,2,…,2n）,不妨设0?x1?x2???x2n?2?。 (x)在(0，2?)内至少有2n个零点，

又

f(x)在(0，2?)上可导，根据罗尔定理，存在?i?(xi,xi?1)，使得f?(?i)?0, i=1,2,…,2n-1

，再应用罗尔定理，存在?i?(?i,?i?1)，使得f??(?i)?0，f?(x)在(0，2?)上可导（即f(x)二阶可导）

由

i=1,2,…,2n—2；如此继续，反复应用罗尔定理，最后可得题C：已知e?xf(n)(x)在[0，2?]内至少有n个零点。

1?ax1?bx对于x是3阶无穷小，求常数a, b之值。

解：常考题型，大多出现在填空题中，可采用麦克劳林展开式。

e?x1?ax1?bx?[1?x?12x?121212216x?o(x)]?[(1?ax)(1?bx?bx?bx?o(x)]

223322333 =(1?a?b)x?(?ab?b)x?(?ab?b?0,

216?b?ab)x?o(x)

323233?1?a?b?0,?a?3.

16?b?ab?0

12,b??知识点：不定积分与定积分

?题A：求

?4?11?sinx?4dx

a?aa解：在解答题目之前，先看一道证明题：

a?a?f(x)dx??0[f(x)?f(?x)]dx

12简单的证明：

?f(x)dx?1212?a0a?a[f(x)?f(?x)]dx?a?a?a[f(x)?f(?x)]dx

=

??2?[f(x)?f(?x)]dx=?[f(x)?f(?x)]dx

0?

4?11?sinx??4dx=?4(011?sinx?11?sinx?)dx=2?401cosx2?dx?2tgx|04?2

题B：设

f(x)是周期为T的连续函数，证明：lim1xTx????x0f(t)dt?1T?T0f(t)dt

证明：首先证明对?n?N，有

?nT0f(t)dt?n?f(t)dt

0

?nT0n?1f(t)dt???i?0T0(i?1)TiTf(t)dt（令t?iT?u）

n?1n?1 ???i?0f(iT?u)du???i?0T0f(u)du =n?T0f(t)dt

对任何x?T，总存在n?N,??[0,T)，使得x?nT??，且x???时n??。

1nT??T0故：lim1xx????x0f(t)dt?limn???nT??0f(t)dt?lim1nT??1nT???0n??(n?T0f(t)dt?1T?nT??nTf(t)dt)

=lim

题C：求由y?x和

nnT??n???f(t)dt?limn???f(t)dt??T0f(t)dt

y?4x?x围成的区域绕y?x2旋转所得旋转体的体积。解：本题虽然简单，但却是一个很好的坐标轴转换模型，希望通过本题的练习，能够在一些复杂的题目中熟练使用该方法，从而达到化繁为简的效果。 以y?x为数轴u建立坐标系，坐标原点u=0在点（0，0），方向朝上，曲线y距离为

?4x?x上任一点P到直线y?x的

2??12x?3x，且u?22x??

故du?2dx。曲线y?4x?x与y?x的交点A

2的坐标为A(3,3),于是所求旋转体的体积为

V?? =5.

?320?du??2?3012(x?3x)222du

81202?

知识点：空间解析几何

题目：直线

x?1011解：在空间任取点P(x,y,z),过点P做一平面垂直于z轴，则该平面与z轴的交点M的坐标为（0，0，z）。则该平面

与已知直线的交点Q的坐标为（x0,（1）

由于点Q在已知直线上，所以

222?y?z绕z轴旋转一周，求旋转曲面的方程。

y0,z）。则动点P在旋转曲面上的充要条件为|PM|=|QM|, 即x?y?x0?y0

2222x0?10?y01?z1，由此可得x0?1，y0?z，代入（1）式即得旋转曲面的方

程：x?y?z?1。

6．知识点：多元函数与偏微分 题A：在曲线x?t，y??t，z?t上求与平面x?2y?z?4平行的切线。

23解：题目本身比较简单，这里写出来主要是为了回忆一下1992年的一道题：问该空间曲线的所有切线中与巳知平面平行的切线有几条。无论怎样提出问题，都可以从曲线的切线向量与己知平面的法向量垂直等价于两向量的点积为零出发，求出几个t值，就可推出几条切线。 这里，s???1?22?{1,?2t,3t}，n?{1,2,1}。由s?n?0，即1?4t?3t?0，从而推出t1?1,t2?

3x?11?y?1?2?z?13；

故s1?{1,?2,3},x1?1,y1??1,z1?1?切线方程为?或s2??{1,?21111,},x2?,y2??,z2??切线方程为333927222x?313?y??219?z?1127。

题B：求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0确定的隐函数z?z(x,y)的极值。

解：本题考查了多元函数的两个知识点：隐函数的偏导数求法和多元函数极值的判别方法（具体的大家可以查阅下书本） 根据极值的判别法则, 先求隐函数的驻点。将方程两边分别对x, y求导，则有

?8xz??z??0 4x?2zz??8z?8xz??z??0， 4y?2zz?yyyxxx?解得，z?x令

?4x?8z2z?8x?1?， z?y?4y2z?8x?1

?0 ?y?0,x??2z，代入所给方程，得z1??z??0，z?yx87，z2?1

从而得驻点：(167,0)和(?2,0)

再求z对x, y的二阶偏导数：

?2zz???8z??8z??8xz???z???0 4?2z?xxxxxxxxxz??2zz???8z??8xz???z???0 2z?yxxyyxyxy

24?2z??2zz???8xz???z???0 yyyyyyy?2z?z??8z?yxy2z?8x?1?4?2z?y22?z???xx对驻点(2?4?2z??16z?xx2z?8x?1,0)，A=z????xx2，z??xy?，z??yy?2z?8x?1

167415?0, C=z????, B=z??xyyy415

?B?AC?0,A?0, 故函数z在点(?对驻点(?2,0)，A=z??xx2167,0)处取得极大值z(415

167,0)??87

415?0, C=z???, B=z??xyyy?B?AC?0,A?0，故函数z在点(?2,0)处取得极小值z(?2,0)?1

[补充] 关于极值的求法，考试中常考查的是拉格朗日条件极值。这里，给出一道题目，大家可以自己做一下：原题：已知三角形周长为2p, 求出这样的三角形，当它绕着自己的一边旋转时所构成的体积最大。（答案：三角形三边分别为

12p，

34p，

34p，且绕边长为

12p的一边旋转时，旋转体体积取最大值）

7． 知识点：重积分

题A：计算二重积分一连续函数。 解：因为

??x[1?yf(xD23?y)]dxdy，其中D是由y?x，y?1，x??1所围的区域，f是

2f连续，所以必可积，不妨令?f(x)dx?F(x).

02x则原式=

??xdxdy???xyf(xDD31?1?y)dxdy?2?1?1dx?3xdy?x1?1?1dx?3xyf(x?y)dy

x122

??1?1x(1?x)dx??12xF(x?y)|x3dx??2?xdx??1221141?21?1x[F(x?1)?F(x?y)]dx226=?25 (这里用了奇函数在对称区间上的定积分等于零的结论)

题B：设f(x)，g(x)皆是单调递增的连续函数. 1求证：

b?a?baf(x)g(x)dx?1b?a?baf(x)dx?1b?a?bag(x)dx.

证：因取Df(x)，g(x)皆单调递增，故?x,y?[a,b]有[f(x)?f(y)][g(x)?g(y)]?0。

?{(x,y)|a?x?b,a?y?b}，则??[f(x)?f(y)][g(x)?g(y)]dxdy?0

D即

??[f(x)g(x)?Df(y)g(y)]dxdy???[f(x)g(y)?DDf(y)g(x)]dxdy （*）

由于定积分与积分变量无关，所以（*）推出

b??f(x)g(x)dxdy?bab??Df(x)g(y)dxdy

bab两边化为二次积分，(b两边除以(b2?a)?f(x)g(x)dx?a?f(x)dx??g(y)dy?a?f(x)dx??g(x)dx

a?a)，故得证。

9. 知识点：常微分方程

题：设函数?(x)有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求?(x)。

2x??[3??(x)?2?(x)?xe]ydx???(x)dy

2x解：记P=y[3??(x)?即???(x)2?(x)?xe??Py?， ]，Q=??(x)，由条件路径无关推出：Qx （*），特征方程为?x2x?3??(x)?2?(x)?xe2x2?3??2?0，特征值：?=1, 2

从而，（*）对应的齐次方程的通解为

?(x)?C1e?C2e2x

又（*）有特解

y?*1(D?1)(D?2)xe?1D?1e2x?xee2x?2xdx?12e2x(x?2x?2)（本

2结果可以根据课本给出的公式直接运用，该方法中间过程省略了一些）

所以，所以函数为?(x)?C1e?C2e10. 知识点：高等数学的应用问题

x2x?12e2x(x?2x?2).

2题A：设生产某种产品x (百台)时的边际成本为 C?(x)?4?x4（万元/百台），边际收益为R?(x)?8?x（万元

/百台）。求：（1）产量由1百台增加到5百台的总成本与总收入各增加多少？ (2) 产量为多少时，才能获得最大利润？ （3）若固定成本C0=1（万元），分别求总成本、总利润与产量的关系。 解：本题为经济类应用题，理工类考生可参考。 （1）C??5151C?(x)dx??51(4?x4 )dx?19(万元）

R=?(8?x)dx?20(万元）（2）P?R(x)?C(x),P?(x)?(8?x)?(4?x4)?4?54x,P??(x)??54?0

当P?=0,即x=x0165(百台)能获得最大利润.

(3)

C(x)??(4?t4)dt?1?58x282?4x?1, R(x)??x0(8?t)dt??x22?8x

P(x)?R(x)?C(x)??x?4x?1

题B：当陨石穿过大气层向地面告诉坠落时，陨石表面与空气磨擦所产生的高热使陨石的质量不断挥发，试验表明，陨石挥发的速度与陨石的表面积成正比，如假设陨石是质量均匀的球体，试求出陨石的质量m关于时间t的函数表达式。 解：设t时刻，陨石的半径为r(t)，质量为m(t), 表面积为S(t)，则S(t)?4?r(t)2，m(t)??43?r(t)，

3消去t后得S(t)?4?[?3m(t)4??2]3. 由题意，得

dm(t)dt??kS(t)??4?k(34??232323)m(t)??d(m(t))，其中d?4?k(34??2)3

即m(t)满足微分方程

dm(t)dt321??d(m(t))3，分离变量得3(m(t))3??dt?C，

即m(t)?(C?dt3)（*）

1若陨石到达地面的时刻为t0，质量为m0，代入（*），得C1?3m02?dt0

故：m(t)?m02?d3(t0?t)

所以，所以函数为?(x)?C1e?C2e10. 知识点：高等数学的应用问题

x2x?12e2x(x?2x?2).

2题A：设生产某种产品x (百台)时的边际成本为 C?(x)?4?x4（万元/百台），边际收益为R?(x)?8?x（万元

/百台）。求：（1）产量由1百台增加到5百台的总成本与总收入各增加多少？ (2) 产量为多少时，才能获得最大利润？ （3）若固定成本C0=1（万元），分别求总成本、总利润与产量的关系。 解：本题为经济类应用题，理工类考生可参考。 （1）C??5151C?(x)dx??51(4?x4 )dx?19(万元）

R=?(8?x)dx?20(万元）（2）P?R(x)?C(x),P?(x)?(8?x)?(4?x4)?4?54x,P??(x)??54?0

当P?=0,即x=x0165(百台)能获得最大利润.

(3)

C(x)??(4?t4)dt?1?58x282?4x?1, R(x)??x0(8?t)dt??x22?8x

P(x)?R(x)?C(x)??x?4x?1

题B：当陨石穿过大气层向地面告诉坠落时，陨石表面与空气磨擦所产生的高热使陨石的质量不断挥发，试验表明，陨石挥发的速度与陨石的表面积成正比，如假设陨石是质量均匀的球体，试求出陨石的质量m关于时间t的函数表达式。 解：设t时刻，陨石的半径为r(t)，质量为m(t), 表面积为S(t)，则S(t)?4?r(t)2，m(t)??43?r(t)，

3消去t后得S(t)?4?[?3m(t)4??2]3. 由题意，得

dm(t)dt??kS(t)??4?k(34??232323)m(t)??d(m(t))，其中d?4?k(34??2)3

即m(t)满足微分方程

dm(t)dt321??d(m(t))3，分离变量得3(m(t))3??dt?C，

即m(t)?(C?dt3)（*）

1若陨石到达地面的时刻为t0，质量为m0，代入（*），得C1?3m02?dt0

故：m(t)?m02?d3(t0?t)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1vkp.html