高中数学新课 三角函数 教案(37)

课 题：小结与复习（4）

知识目标：

1任意角的三角函数、任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式；

2两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数； 3三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角 教学目的：

1理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算； 2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；

3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

4能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明； 5会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋?)的简图，理解A、ω、?的物

理意义；

6会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示 教学重点：三角函数的知识网络结构及各部分知识 教学难点：熟练掌握各部分知识，并能灵活应用其解决相关问题 德育目标：

1渗透“变换”思想、“化归”思想； 2培养逻辑推理能力； 3培养学生探求精神 教学方法：

讲练结合法

通过讲解强化训练题目，加深对三角函数知识的理解，提高对三角函数知识的应用能力 授课类型：复习课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、讲解范例：

53?,x?(?,)中的角x 627?)中的角x 2?用反三角函数表示tanx?5,x?(3?,23?? 解：1? ∵??x? ∴????x?0

2255 又由sinx?? 得sin(??x)??

6655n() ∴x???arcsi?n() ∴??x?arcsi?667?? 2? ∵3??x? ∴0?x?3??

22例1 1?用反三角函数表示sinx?? 又由tanx?5 得tan(x?3?)?5

n ∴x?3??arcta5n ∴x?3??arcta5x?1?)??，求角x的集合 232x?1x?2?(k?Z) 解：∵cos(?)?? ∴??2k??232233x?2?2?(k?Z) 由??2k?? 得 x?4k??2333x?2?由??2k?? 得 x?4k??2?(k?Z) 2332?或x?4k??2?,k?Z} 故角x的集合为{x|x?4k??3例3 求arctan1?arctan2?arctan3的值 例2 已知cos(解：arctan2 = ?, arctan3 = ? 则tan? = 2， tan? = 3 且

???????， ??? 4242???)?∴tan(而

tan??tan?2?3???1

1?tan?tan?1?2?3?3??????? ∴? + ? = 24?又arctan1 = ∴arctan1?arctan2?arctan3= ?

4?2?例4求y = arccos(sinx), (??x?)的值域

33

解：设u = sin x ∵?∴0?arccos(sinx)?例5设x?[0,

?2?3?x? ∴??u?1 3325?5?] ∴所求函数的值域为[0,66?], f (x)=sin(cosx), g (x)=cos(sinx) 求f (x)和g (x)的最大值和最2小值，并将它们按大小顺序排列起来 ?]上y=cosx单调递减, 且cosx?[0,1] 在此区间内y=sinx单调递增2且sinx?[0,1] ∴f (x)=sin(cosx)?[0,sin1] 最小值为0, 最大值为sin1 g (x)=cos(sinx)?[cos1,1] 最小值为cos1, 最大值为1 解：∵在[0,

??1)

1?试写出△ABC面积的表达式；

2?当?C变化时，求△AABC面积的最大值 解：1? 如图：设AC边上的高h=asinC ∵cos1=sin(

S?1absinC 22?当C=90?时[sinC]max=1 1∴[S△ABC]max=ab

2例7 求函数y?cosx?3的最大值和最小值 cosx?3解：（部分分式） y?1?6

cosx?31当cosx=1时 ymax=；当cosx=-1时 ymin= -2

2??2?例8求函数y?2cos(x?) (≤x≤)的最大值和最小值 363解：∵x?[

?2????,] ∴x-?[-,] 63363??=0 即x=时 ymax=2 33∴当x-当x-

??2?= 即x=时 ymin=1 3331?例9求函数f (x)=log1cos(x?)的单调递增区间 342

1?解：∵f (x)=log1cos(x?)

342令t?1?x? ∴y=log1cost ，t是x的增函数 3421<1 22又∵0<

∴当y=log1cost为单调递增时 cost为单调递减 且cost>0 ∴2k?≤t<2k?+

? (k?Z) 2?3?3?1?∴2k?≤x?<2k?+ (k?Z) 6k?-≤x<6k?+ (k?Z)

244343?3?1?∴f (x)=log1cos(x?)的单调递减区间是[6k?-,6k?+) (k?Z) 44342二、小结

三、课后作业：

35，sinB =，则cosC的值为????（A）

5131656165616或 D ?A B C

65656565651．在△ABC中，已知cosA =

解：∵C = ? ? (A + B) ∴cosC = ? cos(A + B)

312 而sinB = 显然sinA > sinB

5134∴A > B 即B必为锐角 ∴ cosB =

51235416????∴cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB = 13513565又∵A?(0, ?) ∴sinA =

2．在△ABC中，?C>90?，则tanAtanB与1的关系适合??????（B） A tanAtanB>1 B tanAtanB>1 C tanAtanB =1 D不确定 解：在△ABC中 ∵?C>90? ∴A, B为锐角 即tanA>0, tanB>0

又：tanC<0 于是：tanC = ?tan(A+B) = ?tanA?tanB<0

1?tanAtanB∴1 ? tanAtanB>0 即：tanAtanB<1 又解：在△ABC中 ∵?C>90?

∴C必在以AB为直径的⊙O内（如图） 过C作CD?AB于D，DC交⊙O于C’， 设CD = h，C’D = h’，AD = p，BD = q，

hhh2h'2 则tanAtanB?????1

pqpqpq3．已知

?3?5?3??3??)?， ???，0???，cos(??)??，sin(44134445求sin(? + ?)的值

?3?????? ∴????? 4424?4?3又cos(??)?? ∴sin(??)?

4545?3?3?????? ∵0??? ∴

4443?53?12??)? ∴cos(??)?? 又sin(413413?3???)] ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ?sin[(??)?(44解：∵

?3??3???)cos(??)?cos(??)sin(??)] 44444123563 ??[?(?)??]?

51351365??[sin(4．已知sin? + sin? =

2，求cos? + cos?的范围 212+ t 2解：设cos? + cos? = t，

则(sin? + sin?)2 + (cos? + cos?)2 =

12

+ t 213即 cos(? ? ?) = t2 ?

24∴2 + 2cos(? ? ?) =

又∵?1≤cos(? ? ?)≤1 ∴?1≤

123t ?≤1 24∴?1414≤t≤ 22??2,)，tan?、tan?是一元二次方程x?33x?4?0的两个根，225．设?，??(?

求 ? + ?

?tanα?tanβ??33解：由韦达定理：?

tanα?tanβ?4????)?∴tan(又由?，??(?tan??tan??33??3

1?tan(???)1?4??,)且tan?，tan? < 0 (∵tan?+tan?<0, tan?tan? >0) 222?得? + ?? (??, 0) ∴? + ? = ?

36．已知sin(?+?) =

11tan?，sin(???) =，求的值 210tan?31??sin?cos??sin?cos??cos?sin???10 2??解：由题设：??11?sin?cos??cos?sin???cos?sin??10?5?从而

tan?sin?cos?33???5? tan?cos?sin?102或设：x =

tan?sin(???)?5 ∵

sin(???)tan?sin(???)tan??1x?1cos?cos?tan??tan?tan?????5 ∴

sin(???)tan??tan?tan?x?1?1cos?cos?tan?∴x =

3tan?3 即 = 2tan?2四、板书设计（略） 五、课后记：

求 ? + ?

?tanα?tanβ??33解：由韦达定理：?

tanα?tanβ?4????)?∴tan(又由?，??(?tan??tan??33??3

1?tan(???)1?4??,)且tan?，tan? < 0 (∵tan?+tan?<0, tan?tan? >0) 222?得? + ?? (??, 0) ∴? + ? = ?

36．已知sin(?+?) =

11tan?，sin(???) =，求的值 210tan?31??sin?cos??sin?cos??cos?sin???10 2??解：由题设：??11?sin?cos??cos?sin???cos?sin??10?5?从而

tan?sin?cos?33???5? tan?cos?sin?102或设：x =

tan?sin(???)?5 ∵

sin(???)tan?sin(???)tan??1x?1cos?cos?tan??tan?tan?????5 ∴

sin(???)tan??tan?tan?x?1?1cos?cos?tan?∴x =

3tan?3 即 = 2tan?2四、板书设计（略） 五、课后记：

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