重庆专升本高等数学模拟试题一（各种题精心整理）

重庆市专升本高等数学模拟试卷（一）

一．选择题（本大题共5小题，每小题4分,共20分,每项只有一个正确答案，

请把所选项前的字母填在括号内）

1.limxsinx??2??(x)

(A) 0 (B) 1 (C) ? (D) 2?

2.设F(x)是f(x)在???,???上的一个原函数，且F(x)为奇函数，则f(x)是（ ）

(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 不能确定

3.tanxdx?(?)

(A) lncosx?c (B) ?lncosx?c (C) ?lnsinx?c (D) lnsinx?c

4.设y?f(x)为?a,b?上的连续函数，则曲线y?f(x)，x?a，x?b及x轴所围成的曲边梯形面积为（ ） (A) (C)

???babaf(x)dx (B)

?baf(x)dx

bf(x)dx (D) ??f(x)dx

a

5.下列级数发散的是（ ）

?3?4n21nA．?(?1) B．?(?1)

n?1(n?1)(n?2)n?1n?1nC．

?(?1)n?1?n?1?1 D．?3nn?11(2n?1)32

二．填空题（本大题共5小题，每小题4分,共20分，请把正确结果填在划

1

线上）

1.方程 x3?y3?3axy?0 所确定的隐函数y?y(x)的导数为 2.y??1tan2(x?3y)的通解为 33..若limnun?k（k?0），则正项级数

n???un?1?n的敛散性为 ．

4.积分

?211dx＝ 2x?15.二次积分

?dx?031x204xdy＝

三．计算题（本大题共10题，1-8题每题8分, 9题9分,10题7分） 1、求极限limx?1x?1 x?1

2、已知ln(x?y)?xy?xsinx，求 3.

4、求方程y???y??2y?x的通解

2

222dy

dxx?0?10xarctanxdx

(x?2)n5、求幂级数?的收敛域．

n?1n?0?

6、.求二重积分

??Dx2d?，其中D是由直线x?2，y?x及直线xy?1所2y围成的闭合区域.

7、求函数z?arctanx?lnx2?y2的全微分． y 3

?x1?4x2?x3??1?8、对于非齐次线性方程组??x2?3x3?3，?为何值时，（1）有

?x?3x?(??1)x?023?1唯一值；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。

9、过点M(3, 0)作曲线y?ln(x?3)的切线，该切线与此曲线及x轴围成一平面图形D．试求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

4

10.设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内二阶可导，且f(a)?f(b)?0，且存在点c??a,b?使得f(c)?0，试证明至少存在一点???a,b?，使

f??(?)?0

参考答案

一．选择题

1. D 2. B 3. B 4. C 5. A

二．填空题

1ay?x21．y??2 2． 2y?x?sin[2(x?3y)]?c 3．发散

3y?ax

5

4．

1ln3 5．1 2三．计算题

1．解：用洛必塔法则

x3?23limx?12x?1=lim31=

3x?1x?1?2x22．解：ln(x2?y)?xy2?xsinx

两边同对x求导 得

2x?y?2?y?2xyy??sinx?xcosx 2x?y当x?0时由原方程式可得y?1 于是解得y??0??1 3．解：

?10xarctanxdx=

1112111122arctanxdx=xarctanx??xdx ?20020221?x??1?1??111x2?1?1?11?dx =??=+=?+=? arctanx8201?x2822082842?24．解：对应的齐次方程的特征方程为????2?0 得?1??2,?2?1

于是对应的齐次方程的通解为y?c1e常数）

?2x?c2ex（其中c1,c2是任意

因为??0不是特征根，所以设特解为y?Ax?Bx?C 代入原方程，得A?0,B????2x故原方程的通解为y?y?y?c1e?21111,C??，y???x? 242411?c2ex??x?（其中c1,c2是任

24意常数）

6

5．解：因为??limn??an?1?limn??an1n?2?limn?1?1

n??1n?2n?1所以原级数的收敛半径为 R?1??1

也就是，当?1?x?2?1，即1?x?3时，原级数收敛．

当x?1时，原级数为

?n?0?(?1)n是交错级数且满足n?1un?111?0，所以它是收敛的；??un?1，limun?lim

n??n??n?1n?1n?2当x?3时，原级数为以它是发散的；

?n?0?11，这是一个p??1的p?级数，所

2n?1所以，原级数的收敛域为[1, 3)．

6．解：

??D22xxx2d?=?dx?12dy 21yxy=

x??dx ?21x?1y21x=

9= ???x?xdx?4231

7、解：由于

?zyxx?y?2?? ?xx?y2x2?y2x2?y2?zxyy?x??2?? 22222?yx?yx?yx?y所以

7

dz??z?zx?yy?xdx?dy?2dx?dy． 222?x?yx?yx?y

8、解：增广矩阵

?1?1?r?r?14?1?1??14?1?1??14??r3?r1??r32??r32??B??0??33??????0??33??????0?1??21??13??10??0?1??21??00(??3)(??1)??3???????

（1）要使方程组有唯一解必有R(A)?R(B)?3则(??3)(??1)?0即

???3且??1

（2）要使方程组无解必有R(A)?R(B)则??(??3)(??1)?0即??1

???3?0?(??3)(??1)?0即

??3?0?矩

阵

（3）要使方程组有无穷多解必有R(A)?R(B)?3则????3

此

时

增

广

?14?1?1??14?1?1?r?4r?10?53?????r12?(?21)??B??0??33???0?1?11??????011?1?

?13??10??00?00000?0????????x1??3??5????????x1?3?5x3同解方程组?令x3?k则通解为?x2????1??k??1?

?x2??1?x3?x??0??1??3?????9、解：设切线与曲线相切于点M0?x0,ln(x0?3)?（如第9题图所示），

8

y 1 M(3, 0) M0 O 4 3?e x y?ln(x?3) 第9题图

由于

y'1x?x?0x 0?3则切线方程为 y?ln(x10?3)?x(x?x0) 0?3因为切线经过点M(3, 0)，

所以将x?3, y?0代入上式得切点坐标为M0?e?3, 1? 从而切线方程为

y?1e(x?3)

因此，所求旋转体的体积为

V?13π?12?e?π?3?e24?ln(x?3)?dx

?πe3?π??x?lnx?2e?2?elnxdx??11?

??πe3?πe?2π??xlnxe??1?e11dx???2π?e????1?3??．

10．证明：?f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内二阶可导，且

f(a)?f(b)?0，f(c)?0

9

?由拉格朗日定理知：

f(c)?f(a)?f?(?1)?0，?a??1?c?

c?af(b)?f(c)?f?(?2)?0，?c??2?b?

b?c再在??1,?2?上应用拉格朗日定理：则至少存在一点????1,?2? 使f?(?2)?f?(?1)即至少存在一点???a,b?，使f??(?)?0 ?f??(?)?0，

?2??1

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1vj8.html