大学物理作业2014（下）

9-1一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，频率为?，其振动方程用余弦函数表示。若t?0时质点的状态分别是：(1)过平衡位置向正方向运动；(2)过平衡位置向负方向运动；(3) 过x?A处向负方向运动；(4)过x?22A处向正方向运动。用旋转矢量法表示2其相应的位置，并写出振动方程。

分析：根据旋转矢量法画出质点在x轴的位置，计算出初相位，再写出振动方程。 解：根据已知条件，设振动方程为

x?Acos(2??t??)

(1)t?0时，x?0，υ?0，由图（1）得????2，

??2t?振动方程为 x?Acos(?2 )???图(1)

?2(2) t?0时，x?0，υ?0，由图（2）得???2，

??2t?振动方程为 x?Acos((3) t?0时，x??2 )A?，υ?0，由图（3）得??， 23??图(2)

?2??2t?振动方程为 x?Acos((4) t?0时，x??3 )?2A，υ?0，由图（4）得???，

42???2t? )振动方程为 x?Acos(49-4一质点同时参与两个同方向同频率的简谐振动，它们的方程分别为：x1?10cos?2t?动方程。

解：合振幅为

??图(3)

?3????4??cm，x2?6cos?2t???2???cm，求其合振3?图(4) 解8-1图

????42?22A?A1?A2?2A1A2cos(?2??1)?102?62?120cos(??)?12.9cm

34初相位

2?Asin?1?A2sin?243＝3.013 tan??1??2?A1cos?1?A2cos?210cos?6cos4310sin?6sin得

???1.25rad??

因此，合振动方程为

25

2x?12.9cos(2t??)

59-5一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m，如果弹簧的劲度系数k=2.0N/m，所系物

体的质量m=0.5kg，

(1) 当动能和势能相等时，物体的位移是多少?

(2) 设t=0时，物体正在最大位移处，则达到动能和势能相等处所需的时间是多少(在一个周期内) ?

分析：根据简谐振动的动能、势能计算公式求解。 解：（1）设振子的振动方程为

x?Acos??t???

其动能为

Ek?其势能为

121mυ?mA2?2sin2??t??? 22121kx?mA2?2cos2??t??? 22Ep?动能和势能相等时，有tan2??t????1 即?t???n??? （n?0、1、2······） 24此时振子的位移为 x?Acos??t?????2A 2（2）依题意有t?0时，x0?A，则??0，且角频率??故简谐振动的表达式为x?Acos?t

k?2s?1 mn??? (n?0、1、2······) 24n????2t 即 ?t?24n??? (n?0、1、2·得 t?·····) 48由于动能和势能相等时的相位?t???在一个周期内只能取0、1、2、3，因此振子从运动开始到动能和势能相等处所需要的时间为

t1??8?0.39s t2?3?5?7??1.2s t3??2.0s t4??2.7s 8889-6有两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2 m，相位与第一个振动的相位差为

?3，已知第一个振动的振幅为m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两个振610动的相位差。

分析：根据题意画出矢量合成图，由三角学定理求得。

解：设两振动的振动方程为：

x1?A1cos(? t?? 1) (其中：A1?103cm)x2?A2cos(? t?? 2)而合振动方程为x?0.2cos(? t?? 1?如图所示，由余弦定理得

A2 A2 A 30 A1 X o?6 )

A2?A2?A12?2AA1cos(? ?? 1)?0.22?(0.13)2?2?0.2?0.13??0.1 m3 2解8-6图

A12?A22?A2?????2 ?? 1?arccos()?arccos0??

2A1A22

10-1一简谐横波以0.8ms的速度沿一长弦线传播。在x=0.1 m处，弦线质点的位移随时间的变化关系为y?0.05sin(1.0?4.0t)。试写出其波函数。

分析：采用比较法，将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得波动方程。

解：将题给的振动方程改写为y?0.05cos(4.0t?4.0?与y?Acos(?t???1?10.1??0.5?)m 0.82x??0)比较得振幅A＝0.05m u角频率 ??4.0s， 因此波动方程为

?u

?5，?0??0.5??2?1.07

y?0.05cos(4.0t?5x?1.07)m

10-2有一沿x轴正方向传播的平面简谐波，其波速为u = 1.0ms，波长λ＝0.04 m，振幅A = 0.03 m。若坐标原点恰在平衡位置并向负方向运动时开始计时，求：

(1) 此平面波的波函数；

(2) 与原点相距x1 = 0.05 m处质点的振动方程及初相位。

分析：根据旋转矢量可求得原点振动的初相位，代入波函数的一般形式后可得波函数。将具体x代入波函数即得x处质点的振动方程及初相位。

解：（1）依题给条件可得???12?2??u?50? T?根据旋转矢量可求得原点振动的初相位?0?此平面波的波函数为

?2

x???0)?0.03cos(50?t?50?x?)m u2（2）将x1 = 0.05 m代入波函数得y?0.03cos50?t

y?Acos(?t??

初相位?0?0

10-4 已知某平面简谐波的波源的振动方程为y?0.06sin?2t。设波速为2ms?1，试

求：离波源5 m处质点的振动方程。这点的相位所表示的运动状态相当于波源哪一时刻的运动状态?

分析：将题给的振动方程改写成振动方程的余弦形式，与振动方程的一般形式相比较可得振动方程的特征量。

解：波源的振动方程可写成

y?0.06cos(则离波源5 m处质点的振动方程为

?2t??2)

???5?7?y?0.06cos(t???)?0.06cos(t?)

222224?7?此点相位??t?

24在原点处t?时刻的相位

????2t???2??2t?7?5? ? t??t? 42?110-11已知一平面简谐波在介质中以速度u=10ms沿x负方向传播，若波线x上某点A的振动方程为yA?2cos(2?t??4)，另一点B位于A前方0.10 m处(波先到A后到B)。

试分别以A、B为坐标原点列出波函数。

解：（1）由于平面波沿x负方向传播，根据A点的振动表达式，以A为坐标原点时的波函数为

y?2cos(2?t??4?2?x??)?2cos(2?t??x) 1045（2）B在A前方0.10 m处，将xB??0.10m代入上述波函数，得到B点的振动规律为

uBAxyB?2cos(2?t??4?0.1?23?)?2cos(2?t?) 51000.1m习题9-11用图

以B点为坐标原点时的波函数为

y?2cos(2?t?23???x) 100510-17 S1和S2是两相干波源，相距d??4，S1的相位比S2超前

?。设两波在S1 S2连2线方向上的强度相同为I0且不随距离变化，问：

(1) S1 S2连线上在S1外侧各点处合成波的强度多大? (2) 在S2外侧各点处波的强度多大?

解：对S1外侧的点，两波传播出去的振动到该点位相差为：

1?r1?r2??d?4????1??2?2???2???2??? ?2?2?说明两振动方向相反，合振幅A?0，强度I?0。

对S2外侧的点，两波源传播出去的振动到该点的位相差为：

1?r1?r2?d?4????1??2?2???2???2??0 ?2?2?说明两振动方向相同，故合振幅A?A1?A2?2A0

则合成波的强度I?4I0

11-2用白光入射到d=0.25 mm的双缝，距缝50 cm处放置屏幕，问观察到第一级明纹彩色带有多宽?第五级彩色带有多宽?

分析：白光入射双缝产生的干涉条纹中央是白光，其余处出现彩色带，每个彩色带由同一级次不同波长的明纹依次排列而成。第一级彩色带是指入射光中最小波长（取

?min?400nm）和最大波长（取?max?760nm）的第一级明纹在屏上的间距。要注意的是，

较高级次的彩色带会出现交错重叠。

解：双缝干涉明纹中心的位置x?k彩色带宽度

D? d?x?k所以第一级明纹彩色带宽度

D?maxD?minD???k?k dddD??0.5?360?10?9?x???0.72mm ?3d0.25?10第五级明纹彩色带宽度

D??5?0.5?360?10?9?x?k??3.6mm ?3d0.25?1011-5空气中的水平均匀肥皂膜(n=1.33)，厚度d=0.32 μm，如果用白光垂直入射，肥皂

膜正反两面各是什么颜色?

分析：薄膜呈现的颜色是由于干涉加强引起的由于干涉相消则有些颜色会缺失，可以根据薄膜进一步的条件来求解。求解时要注意是否考虑半波损失。

解: 由反射干涉相长公式有2ne??2?k? (k?1,2,???)

4ne4?1.33?320?10?91702.4??nm 得 ??2k?12k?12k?1k?2, ?2?567.5nm 绿色

所以肥皂膜正面呈现绿色。

由透射干涉相长公式2ne?k?(k?1,2,???)

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