第二讲极限

第二讲 极限

《数学分析》是以极限概念为基础，以极限理论为工具对函数进行研究的一门学科，研究了函数的连续性、可微性、可积性等性质。 一、极限思想

极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想是《数学分析》的基本思想，《数学分析》中一系列重要概念，如函数的连续、导数、以及定积分等都借助于极限来定义的，可以这样说“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 （1） 极限思想的萌芽

刘徽的割圆术、古希腊人的穷竭法，16世纪荷兰数学家斯泰文借助集合直观，改进了古希腊人的穷结法，大胆应用极限思想思考问题。 （2） 极限思想的发展

极限思想的发展是与微积分的建立密切联系。社会背景：16世纪，资本主义萌芽，需要解决实际生产和技术问题，初等数学无法解决，要求数学提供一种新工具，用以描述和研究运动和变化的过程。

牛顿用极限思想研究瞬时速度：路程的改变量?S与时间的改变量?t之比表示运动物体的平均速度，让?t无限趋近于0，得到物体的瞬时速度。 莱布尼茨用极限的思想研究曲线的切线：（这在数学分析书介绍很详细）因此有这样一说：切线是割线的极限。

他们运用的极限概念，接近于极限的直观的语言描述：如果当n无限增大时，an无限地接近于常数a，称数列{an}以a为极限。

这个描述，容易接受，但没有量化，就不能作为科学论证的逻辑基础，正因为如此，才受到了英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的激烈攻击。 （3） 极限思想的完善

极限思想的完善与微积分的严格化联系在一起。解决“无穷小”在“零”与“非零”之间的转化经过了大约一个世纪的完善。

18世纪，罗宾斯、达朗贝尔、波尔查诺等人先后明确表示必须将极限作为微积分的基础，并各自对极限作出定义。

19世纪，法国数学家苛西在前人的基础上，比较完整地阐述了极限概念和极限理论，他在《分析教程》中把无穷小视为以“0”为极限的变量。这就澄清了无穷小“似0非0”的模糊认识。

魏尔斯特拉斯提出了极限的静态概念，即我们现在数学分析书上严格的极限概念：如果对任何??0，总存在正整数N，当n?N时，不等式|an?a|??成立，则称数列{an}以

a为极限，记作liman?a.

n??这个定义，借助不等式，通过?与N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个无限过程“n??,an?a”之间的联系。这个定义也体现哲学中“静态”与“动态”有机地结合在一起。因此，这个定义是严格的，可以作为科学论证的基础。 （4） 极限思想的思维功能

极限思想在许多学科中有着广泛的应用，因为它揭示了变量与常量（动态与静态）、无限与有限的对立统一关系。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从量变认识质变，从近似到精确。

无限与有限有本质的区别，比如对求和而言，有限个数的和是一般的代数和，而无限个数的和不是一般的代数和，而是将其定义为“部分和”的极限。 二、极限的概念与性质 1、数列极限liman?a

n??定义1（??N定义）——各类变形 定义2（邻域定义）

定义3（从集合角度）???0，集合{n|an?(a??,a??)}是有限集。 注意：1、定义3对理解上、下极限，子列的极限等概念非常有用；

2、定义3不能叙述为：集合{n|an?(a??,a??)}是无限集。 2、数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、四则运算性质 3、函数极限limf(x)?A

x?a自变量x?a，a可为x0,x0,x0,?,??,?? 函数f(x)?A，A可为定常数，?,??,?? 两类定义（1、???定义；2、邻域定义）

注意：1、函数f(x)（当x?a时）的极限与函数是否在x?a有函数值无关，换句话说，考虑函数f(x)（当x?a时）的极限时不用考虑函数在这点的值，在考虑函数连续时才考虑函数在该点的值。

2、与数列极限有类似的性质，只不过（局部）有界、（局部）保号 三、极限的存在条件

一个函数或一个数列，其极限是否存在，它存在需要什么条件？在数学分析的研究中占有非常重要的地位，同时，也只有极限存在了，与极限有关的问题才能得以进一步讨论。 1、 迫敛性（数列、函数） 2、 单调有界性（数列）

3、 苛西准则（数列、函数）——由对偶原则：不收敛 4、 归结原理——数列极限与函数极限之间的联系 例1证明数列{(1?注意：lim(1?n????1n)}收敛。 n1n)?e，这是一个重要极限，证明该数列收敛的方法很多。 n?n?1n?1n证法1 先证明：设b?a?0，?n?N，有b?a?(n?1)b(b?a).（1）

（用拉格朗日中值定理）

由（1）有 an?1?bn[(n?1)a?nb]， （2）

令a?1?故数列{(1?111n?11,b?1?，代入（2）得(1?)?(1?)n. n?1nn?1n1n)}为单调增加数列。 n11n11).?(1?)2n?4. 又令a?1,b?1?，代入（2）得1?(1?2n2n22n1n1n从而数列{(1?)}有界，由单调有界原理知数列{(1?)}收敛。

nn证法2（利用均值不等式：

a1?a2???ann?a1a2?an，ai?0,i?1,2,?,n

n等号成立的充分必要条件是a1?a2???an.）

对任意的正整数n，由均值不等式

1n(1?)?11(n?1)?11n1????n?1(1?)n.1 n?1n?1n?1n1n?11)?(1?)n. n?1n1n故数列{(1?)}为单调增加数列。

n从而(1?11n(1?)?2.1n12n2?1

又n?2(1?).()?n2n?2于是(1?1n11)?4，故数列{(1?)n}有界，由单调有界原理知数列{(1?)n}收敛。 nnnn?证法3（用Bernoulli不等式：(1?h)?1?nh,(h??1,n?N)，等号成立的充分必要条件是h?0.）令an?(1?1n)，则 nn?1an?1?n?2????ann?1??1?(n?1)2?1??n?.?)???(1??(n?1)2?? n?1n?1????nn?(1?故数列{(1?111n1n)(1?)?(1?)(1?)?1??1 n?1n?1(n?1)2(n?1)2(n?1)21n)}为单调增加数列。 n2n1?2n?又???a2n?1?2n??[(1?1n2n211)]?(1?)?()2? 2n?12n?1241n1)}有界，由单调有界原理知数列{(1?)n}收敛。 nn1n1k?1?证法4（利用确界原理）先证不等式?k,n?N,(1?)?(1?).

nk从而a2n?4，故数列{(1?事实上，由均值不等式，n?k?1(1?1nkk?1)()nk?11kn(1?)?(k?1)nk?1?1. ?n?k?1固定不等式中的一个k，表明数列{(1?于是，(1?1n)}有上界，由确界定理，有上确界?. n1n1)???(1?)n?1 nn1n1n?11n11n??0(n??). 故0???(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?nnnnnn1n由迫敛性lim(1?)??.

n??n证法5（用初等方法）

将(1?1n1n?11),(1?)展开逐项比较，可证得数列{(1?)n}单调有界。 nn?1n例2证明数列{xn}收敛，其中x0?0,xn?1?2xn(xn?3a)3xn?a22,(a?0).

思路：分x0?a(?a,?a)三种情形讨论。 例3设a?0，数列{xn}满足x0?0,xn?1?1a(xn?),n?0,1,2,?，证明 2xnlimxn?a.

n??例4设x1?2,xn?1?2?1,(n?1,2,?)，证明数列的极限存在，并求极限。 xn说明：对于数列{xn}，如果满足|xn?1?A|?k|xn?A|,(0?k?1,n?1,2,?)，则必有xn?A(n??)，此时称满足这个条件的数列为压缩变差数列。

例5（作业）设数列{xn}满足xn?1?sinxn,n?1,2,?，证明数列{xn}收敛，并求该极限。 例6设??(0,1),x0?a,xn?1?a??sinxn(n?0,1,2,?)，证明数列{xn}收敛。（第二届全国大学生数学竞赛第1题部分）

例7（作业）若x1?a?0,y1?b?0,(a?b),xn?1?xnyn,yn?1?xn?yn，证明数列 2{xn},{yn}都存在，且它们相等。

例8数列{xn}收敛?其子列{x2k},{x2k?1}都收敛于同一极限。 回顾：数列与子列的关系

（1） 数列收敛?任一子列都收敛（一定收敛于同一个数）。 （2） 数列有界，必有收敛的子列。（致密性定理） 例9设xn?(?1)n?1123n(?????(?1)n?1),(n?1,2,?)，证明数列{xn}收敛，并求nnnn极限。

思路：用例8的结论。 例10证明limsinn不存在。

n??法1：思路，用例8反证

法2：用苛西准则的否定形式证明。 例11（作业）设a?1,x1?a,xn?1a?xna?xn证明： ??xn?1?xn1?xnn??2（1）x1?x3?x5??； （2）x2?x4?x6??； （3）limxn?a.

?n5?例11（作业）用单调有界原理证明数列?n?收敛，并求其极限。

?2?例12（作业）对每个自然数n，方程x?x???x?1在闭区间[0,1]中有唯一根xn（怎么证明？），求limxn.

n??2n例13证明函数f(x)?sin1在x?0处不收敛。 x证法1：思路，归结原理 证法2：思路，苛西收敛准则

例14设A为有限数，limf(x)?A的充分必要条件是对每个严格增加的正无穷大数列

x???{xn}，都有limf(xn)?A.

n??例15（类似于单调有界原理）证明：在区间(a,??)上单调有界函数f一定存在极限

x???limf(x).

证法1：思路，用单调有界原理与例14； 证法2：确界原理 作业：

1?2???nn?1. 1、证明limn??n

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