实验 模拟法测绘静电场

实验三 模拟法测绘静电场

随着静电应用、静电防护和静电现象研究的日益深入，常需要确定带电体周围的电场分布情况.用计算方法求解静电场的分布一般比较复杂和困难，而且，直接测量静电场需要复杂的设备，对测量技术的要求也高，所以常常采用模拟法来研究和测量静电场.

【实验目的】

1. 学习用模拟法描述和测绘静电场分布的概念和方法. 2. 测量等位线、描绘电力线.

3. 加深对静电场强度、电位和电位差概念的理解.

【实验仪器】

静电场测绘仪一套，静电场描绘仪专用电源（10 V，1 A）一台，导线等.

【实验原理】

1. 用电流场模拟静电场带电体在其周围空间所产生的电场，可用电场强度E和电位U的空间分布来描述.为了形象地表示电场的分布情况，常采用等位面和电力线来描述电场.电力线是按空间各点电场强度的方向顺次连成的曲线，等位面是电场中电位相等的各点所构成的曲面.电力线与等位面是相互正交的，有了等位面的图形就可以画出电力线.反之亦然.我们所说的静电场测量就是指测绘出静电场中等位面和电力线的分布图形.它是了解电场中的一些物理现象或控制带电粒子在电磁场中的运动所必须解决的问题，它对科研和生产都是十分有用的，例如用测量电子管、示波管、显像管和电子显微镜等多种电子束管内部电场的分布来研究其电极的形状等.

用电流场来模拟静电场是研究静电场的一种方法.由电磁学理论可知电解质中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性.在电流场的无源区域中，电流密度矢量j满足

?????lsj?ds?0

j?dl?0 (8-1)

在静电场的无源区域中，电场强度矢量E满足 ???E?ds?0

s??E?dl?0 (8-2)

l由式（8-1）（8-2）可看出电流场中的电流密度矢量j和静电场中的电场强度矢量E所

遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性.在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们解的表达式具有相同的数学形式.如果把连接电源的两个电极放在不良导体的溶液（水液或导电纸）中，在溶液中将产生电流场.电流场中有许多电位相同的点，测出这些电位相同的点，描绘成面就是等位面.这些面也是静电场中的等位面.通常电场的分布是在三维空间中，但在水液（或导电纸）中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布.这样，等位面就成了等位线，根据等位线与电力线正交的关系，即可画出电力线.这些电力线上每一点的切线方向就是该点电场强度E的方向.这样可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了（如图8-1）.

图8-1用等位线和电力线表示的静电场的分布

为了检测电流场中各等电位点时，不影响电流线的分布，测量支路不能从电流场中取出电流，因此，必须使用高内阻电压表或电位差计进行测绘.

2. 同轴圆柱形导体间的电场分布

现用同轴圆柱形电极具体说明电流场与静电场的相似性.如图8-1（a）所示，将其置于电解质导电纸或水液中，在电极之间加电压U0（A为正，B为负）.由于电极形状是轴对称的，电流自A向B在水液（导电纸）中形成一个径向均匀的稳恒电流场.静电场中带电导体的表面是等位面，模拟场中的电极的良导体的电导率要远远大于水液（导电纸）的电导率，才能认为电极也是等位面.有了“模拟场”，可以分析它与静电场的相似性. （1）静电场.

根据高斯定理，同轴圆柱面间的电场强度E为

E??2??0r (8-3)

式中，?为柱面上电荷密度，r为两柱面间任意一点距轴心的距离，如图8-2所示.设r1为内圆柱面半径，r2为外圆柱面半径，则两柱面间的电位差U0为

U0??r2r1Edr??2??0?r2r1drr??2??0lnr2r1 (8-4)

半径为r的任意点与外柱面间的电位差为

Ur??r2rEdr??2??0?r2r?2??0lnr2r (8-5)

由式（8-4）和（8-5）得

lnUr?U0r2lnr2r或Ur?r (8-6) rrU0ln2ln2r1r1

图8-2同轴圆柱面两柱面间任意一点轴心的距离

(2)电流场.

为了计算电流场的电位分布，先计算两柱面间的电阻，后计算电流，最后计算任意两点间的电位差.设不良导电介质薄层（水液或导电纸的石墨）厚度为l，电阻率为?,则任意半径r到r+dr的圆周之间的电阻是

dR??drs??dr2?rl??2?l?drr (8-7)

将式（8-7）积分得到半径r到半径r2之间总电阻

Rrr2??2?l?r2rdrr??2?llnr2r (8-8)

同理可得半径r到半径r2之间的总电阻

Rr1r2??2?l?r2r1drr??2?llnr2r1 (8-9)

因此，从内柱面到外柱面的电流为

I12?U0Rr1r2?2?lU0 (8-10)

?lnr2r1则外柱面U2=0至半径r处的电位

Ur?I12Rrr2?Rrr2Rr1r2U0 (8-11)

将式（8-8）和式（8-9）代入（8-11）得

lnUr?U0r2lnr2r或Ur?r (8-12) rrU0ln2ln2r1r1比较式（8-12）和式（8-6)可知，静电场与模拟场的电位分布是相同的.

3. 模拟条件的讨论

模拟方法的使用有一定的条件和范围，不能随意推广，否则将会得到荒谬的结论，用稳恒电流场模拟静电场的条件可以归纳为下列三点：

（1）稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同.

（2）稳恒电流场中的导电介质应是不良导体且电导率分布均匀，并满足?电极??导电质才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等位面. （3）模拟所用电极系统与被模拟电极系统的边界条件相同.

4. 静电场的测绘方法

由静电场理论可知，在同轴圆柱形的静电场中距轴心r处场强为：Er?dUr/dr，场强E是矢量，而电位U是标量，从实验测量来讲，测定电位比测定场强容易实现；所以可先测绘等位线，然后根据电力线与等位线正交的原理，画出电力线.这样就可由等位线的间距确定电力线的疏密和指向，将抽象的电场形象地反映出来.

EQL-2型电场描绘仪（包括导电玻璃、双层固定支架、同步探针等），如图8-3所示，支架采用双层式结构，上层放记录纸，下层放导电玻璃.电极已直接制作在导电玻璃上，并将电极引线接出到外接线柱上，电极间制作有电导率远小于电极且各向均匀的导电介质.接通直流电源（10 V）就可进行实验.在导电玻璃和记录纸上方各有一探针，通过金属探针臂把两探针固定在同一手柄座上，两探针始终保持在同一铅垂线上.移动手柄座时，可保证两探针找到等电位待测点后，按一下记录纸上方的探针，在记录纸上留下一个对应的标记，移动同步探针在导电玻璃上找出若干电位相同的点，由此即可描绘出等位线.

图8-3 EQL-2型电场描绘仪

【实验内容与步骤】

1. 测绘同轴电缆的静电场分布

（1） 将白纸放在描绘仪上层，用磁条压牢.

（2）按照图8-4，将导电玻璃上内外两电极分别与静电场描仪专用电源左侧的正、负极相连，将同步探针与右侧外接“正极”相连.

（3）接通专用电源，“指示选择”开关置于“内”，电压表测量电源输出电压.调节“电压调节”旋钮，使电压表指示为10.00±0.01 V；然后将“指示选择”开关置于“外”，电压表测量探针电位.

（4）移动同步探针，测绘同轴电缆的等位线簇.要求相邻两等位线间的电位差为1 V，共6条等位线，推荐测量1 V,2 V,3 V,4 V,5 V,6 V电位的等位线.每条等位线各测量点间距取1 cm左右.

图8-4 模拟装置电路

2. 描绘聚焦电极的电场分布

利用图8-5所示模拟模型，测绘阴极射线示波管内聚焦电极间的电场分布.要求测出 5条等位线，电位差的取值分别为1.00 V,3.00 V,5.00 V,7.00 V,9.00 V，该场为非均匀电场，等位线是一簇互不相交的曲线，每条等位线的测量点应取得密一些.画出电力线，可了解静电透镜聚焦场的分布特点和作用，加深对阴极射线示波管电聚焦原理的理解.

图8-5静电透镜聚焦场的模拟模型

【数据记录与处理】

1. 对同轴电极，用圆规画出各等位线.

2. 根据等位线与电力线正交原理，画出电力线（至少8条），并指出电场强度方向. 3. 用直尺测量各等位线的半径r，并在坐标纸上作lnr和Ur函数关系图.验证其线性关系.

4. 由式r?(r2r2r1)Ur/U0计算各等位线半径的理论值r理,并与测量值r比较，求出百分误

差.

U0=______V, r1=________cm，r2=_________cm.

表8-1 等位线半径的测量

Ur(V) Ur/U0 r(cm) lnr r理（cm） 百分误差 【注意事项】

由于导电玻璃边缘处电流只能沿边缘流动，因此等位线必然与边缘垂直，使该处的等位线和电力线严重畸变，这就是用有限大的模拟模型去模拟无限大的空间电场时必然会受到的“边缘效应”的影响.如要减小这种影响，则要使用“无限大”的导电玻璃进行实验，或者人为地将导电玻璃的边缘切割成电力线的形状.

【思考题】

1. 如果电源电压U0增加一倍，等位线和电力线的形状是否发生变化？电场强度和电位分布是否发生变化？为什么？

2. 试举出一对带等量异号的线电荷的长平行导线的静电场的“模拟模型”.这种模型是否是惟一的？

3. 根据测绘所得等位线和电力线的分布，分析哪些地方场强E较强，哪些地方场强E较弱？

4. 从实验结果能否说明电极的电导率远大于电介质的电导率？如不满足这条件会出现什么现象？

5. 在描绘同轴电缆的等位线族时，如何正确确定圆形等位线簇的圆心，如何正确描绘圆形等位线？

6. 由（8-6）式可导出圆形等位线半径r的表达式为：

r?(r2r2r1)Ur/U0

试讨论Ur及Er与r的关系，说明电力线的疏或密随r值的不同如何变化.

附：EQL-2型电场描绘仪参数r1=0.50 cm, r2=7.50 cm.

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