解决含字母系数的一元二次方程问题的思路
更新时间:2023-10-15 01:45:01 阅读量: 综合文库 文档下载
探究如何解决含字母系数的一元二次方程问题
一元二次方程问题的基础,是方程概念、方程的四种常见解法,以及由公式法引申出来的根与系数的关系,代入法是解决一元二次方程问题的基本方法。
代入法的应用,主要反应在以下几个方面:概念问题,限制二次项系数不能为零,这是容易出现失误的地方;根的合理应用,代入方程,可以保证等式的成立;求根公式的运用,首先是根的判别式的作用,确定方程是否有实数根,然后,决定是否运用求根公式。当我们在无法判断判别式的情况下,求出了某些字母的值,就需要我们反过来代入判别式,以验证字母的值是否符合题意。运用根与系数的关系的关系,同样面临这样的情况,应当引起我们的关注。
有时,一元二次方程会和实际问题相互结合,需要我们验证字母值的合理性。我们应该明确:细心解题,是十分宝贵的学习素质。
以下,我们通过典型例题,体验解决这类问题的方式、方法。
例1.已知关于x的方程x2?(2k?1)x?k2?3?0有实数根,求k的取值范围; 分析:直接运用判别式就可以。
例2、已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x﹣m2﹣2m+3=0有一根是0,求m的值及这个方程的另一个根.
分析:利用根的定义,代入原方程;注意,保证二次项系数不为零。 巩固与变式练习:
1、已知关于x的一元二次方程x2-2x+k-3=0有两个不相等的实数根, 求k的取值范围. 2、已知关于x的方程x?kx?2?0的一个解与方程方程x?kx?2?0的另一个解.
3.已知关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根。
4.k取何值时,方程x?kx?9?0有两个相等的实数根?并求方程的根.
5.已知关于x的方程x?6x?m?3m?5?0的一个根是-1,求m的值与另一个根.
2例2.已知关于x的方程x?(k?2)x?2k?0 (1)求证:无论k取何值时,方程总有实数
22222x?1x?1?3解相同.(1)求k的值;(2)求
根?(2)若等腰?ABC的边a?3,另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求?ABC的周长.
分析:判别式是证明第一问的关键;第二问,涉及等腰三角形问题,我们需要分类讨论,明确3为底边时,另外两条就是腰,相等,如果不是这样,那么a就是一条腰,代入法派上了用途。 变式练习:
1、 关于x的方程kx2?(k?2)x?(1)求k的取值范围。
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。
2、已知关于x的方程x?(m?2)x?2m?1?0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根.
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解. 3.已知关于x的一元二次方程x2?6x?k2?0(k为常数). (1) 求证:方程有两个不相等的实数根;
(2) 设xl,x2为方程的两个实数根,且xl+2x2=14,试求出方程的两个实数根和k的值 例4.已知关于x的方程x2?(2m?1)x?m2?2?0有两个不等实根,试判断直线 ,并说明理由。 y?(2m?3)x?4m?7能否通过A(-2,4)
分析:循序渐进,是学习的规律,也是我们解综合题的规律。即使我们不能够一眼看透题 目的结论,也不要放弃,按照传统思路走下去,你会有新的发现,“山重水复疑无路,柳暗 花明又一村”,这种感受是很好的。 变式练习:
1.已知关于x的两个一元二次方程: 方程①: (1?k2)x?(k?2)x?1?0; 方程②: x?(2k?1)x?2k?3?0.
22k4?0有两个不相等的实数根.
2(1)若方程①有两个相等的实数根,求解方程②;
(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化 简
1?24k?12(k?4)2;(3)若方程①和②有一个公共根a, 求代数式
2(a?4a?2)k?3a?5a的值.
“行到水穷处,坐看云起时”,不断地学习,不断地思考,不断地解决问题,我们一定会进步,对于我们来说,不断地进步,就是我们的成功。
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