2016年中考数学模拟试题汇编：专题13 二次函数1

二次函数

一、选择题

1．(20162浙江镇江2模拟)已知点E（2，1）在二次函数y?x2?8x?m（m为常数）的图

像上，则点A关于图像对称轴的对称点坐标是（ ） A．（4，1） B．（5，1） C．（6，1） D．（7，1） 答案：C

2．(20162浙江金华东区24月诊断检测一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（ ）

A．最大值1 C．最小值2 答案：C

3．(20162浙江杭州萧山区2模拟)设函数y=x2+2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的是（ ）

A．对任意实数k，函数与x轴都没有交点

B．存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小 C．k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上 D．对任意实数k，抛物线y=x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点 【考点】二次函数的性质．

【分析】A、计算出△，根据△的值进行判断； B、根据二次函数的性质即可判断；

C、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y=﹣x2﹣x﹣1，即可判断； D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可； 【解答】解：A、∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）=4k2﹣4k+4=4（k﹣）2+3＞0， ∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误； B、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=﹣

=﹣k，

B．最大值－1 D．最小值－2

∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小， 即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，

当n=﹣k时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误； C、∵y=x2+2kx+k﹣1=（x+k）2﹣k2+k﹣1， ∴抛物线的顶点为（﹣k，﹣k2+k﹣1），

∴，

消去k得，y=﹣x2﹣x﹣1

由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y=﹣x2﹣x﹣1， 即在二次函数y=﹣x2﹣x﹣1的图象上．故C错误；

D、令k=1和k=0，得到方程组：，解得，

将

代入x2+2kx+k﹣1得，﹣k+k﹣1=﹣，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是

经过一个定点（﹣，﹣），故D正确． 故选D．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．

（2016泰安一模）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）4、

A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2

D．y=﹣x2+x+2

C．y=﹣x2﹣x+1

【考点】待定系数法求二次函数解析式． 【专题】压轴题．

【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；

B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，

而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣

=﹣，故此选项错误；

C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；

D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确． 故选D．

5.（2016枣庄41中一模）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）

A．（﹣1，2）

B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）

D．（1，2）

【考点】二次函数的性质． 【专题】压轴题．

【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．

【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）． 故选D．

（2016枣庄41中一模）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）6、

2

+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）

B．y1＞y3＞y2

C．y3＞y2＞y1

D．y3＞y1＞

A．y1＞y2＞y3

y2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．

【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，

∴对称轴是x=﹣1，

∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），

那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小， 于是y1＞y2＞y3． 故选A．

7．（2016·天津北辰区·一摸）已知抛物线y??(x?1)2?m（m是常数），点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1???x2，x1?x2?2，则下列大小比较正确的是（ ）. （A）m?y1?y2 （B）m?y2?y1

（C）y1?y2?m （D）y2?y1?m

答案：A

8．（20162天津南开区2二模）下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ）

A．②③ B．③④ C．①② D．①④

考点：二次函数的图像及其性质反比例函数与一次函数综合 答案：A

试题解析：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；

②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2； ③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；

④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；②③的面积相等，故选：A．

9．（20162天津南开区2二模）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0;②2a+b=0;③当m≠1时，a+b＞am+bm;④a﹣b+c＞0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，

2

2

x1+x2=2．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤

考点：二次函数的图像及其性质 答案：D

试题解析：∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x=﹣

=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，

∴当m≠1时，a+b+c＞am+bm+c，即a+b＞am+bm，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；

∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣， ∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选：D．

10．（20162天津市和平区2一模）将抛物线C：y=x2+3x﹣10，将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（ ） A．将抛物线C向右平移个单位 B．将抛物线C向右平移3个单位 C．将抛物线C向右平移5个单位 D．将抛物线C向右平移6个单位 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】压轴题．

【分析】主要是找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．

2

2

【解答】解：∵抛物线C：y=x2+3x﹣10=∴抛物线对称轴为x=﹣．

∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）． 则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．

，

C′关于直线x=1对称，若将抛物线C平移到C′，并且C，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．

则B点平移后坐标应为（2，﹣10）． 因此将抛物线C向右平移5个单位． 故选C．

【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平

移的规律：左加右减，上加下减．

11．（20162天津市南开区2一模）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1，给出四个结论： ①b2＞4ac；②2a﹣b=0；③a+b+c=0；④5a＜b． 其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=﹣

=﹣1可以判定②；由图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣

=﹣1，与y轴的交

点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，即可判定①；由x=1时y=0，即可判定③．把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理即可判定④．

【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣轴上，

又∵二次函数的图象是抛物线， ∴与x轴有两个交点，

=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半

∴b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac，正确； ②∵对称轴为x=﹣∴2a=b，

∴2a﹣b=0，正确；

③∵抛物线的一个交点为（﹣3，））对称轴为x=﹣1， ∴另一个交点为（1，0）， ∴当x=1时，y=a+b+c=0，正确；

④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得 5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b，正确． 故正确的为①②③④， 故选D．

【点评】解答本题关键是掌握二次函数y=ax+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

12．（20162天津五区县2一模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＜0；③a=c﹣2；④方程ax2+bx+c=0的根为﹣1． 其中正确的结论为（ ）

2

=﹣1，

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】①根据二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，据此判断即可．

0）②根据二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，和（﹣2，0）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．

③首先根据x=﹣，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是

=2，据此判断即可．

④根据x=﹣1时，y≠0，所以方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，据此判断即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点， ∴△＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴结论①正确；

∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间， ∴x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴结论②正确； ∵x=﹣∴b=2a， ∴顶点的纵坐标是∴a=c﹣2， ∴结论③正确；

∵x=﹣1时，y≠0，

∴方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确， ∴结论④不正确．

∴正确的结论为：①②③． 故选：A．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要

明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a

=2，

，

与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 13.(20162四川峨眉 2二模）已知二次函数

y x?1 y?ax2?bx?c（a?0，a、b、c为常数）的图象如图6所

示，下列5个结论：①abc?0；②b?a?c；③4a?2b?c?0；④c?4b；⑤a?b?k(ka?b)（k为常数,且k?1）.其中正确的结论有

?1o

1 2 3 x (A)2个 (B)3个

(C)4个 (D)5个 答案：B

14．(20162重庆巴蜀 2一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜﹣；⑤x=﹣5和x=7时函数值相等．其中错误的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，所以ac＜0；由于抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0；根据抛物线的对称轴为直线x=1，则x=1时，y最大，所以a+b+c＞2，即a+c＞2﹣b；由于x=﹣2时，y＜0，所以4a﹣2b+c＜0，由于﹣

=1，

c=2，则4a+4a+2＜0，所以a＜﹣；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称性得到x=﹣5和x=7时函数值相等． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，

∴ac＜0，所以①错误；

∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴x=1时，y最大，即a+b+c＞2， ∴a+c＞2﹣b，所以③错误； ∵x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0， 而﹣

=1，c=2，

∴4a+4a+2＜0，

∴a＜﹣，所以④正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴x=﹣5和x=7时函数值相等，所以⑤正确． 所以①③两个， 故选B．

15．(20162新疆乌鲁木齐九十八中2一模)若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（ ） A．0 5 B．0 1 C．﹣4 5

D．﹣4 1

【考点】二次函数的三种形式．

【分析】把y=（x﹣2）2+k化为一般式，根据对应相等得出b，k的值． 【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k， ∴x2+bx+5=x2﹣4x+4+k， ∴b=﹣4，4+k=5， ∴k=1． 故选D．

【点评】本题考查了二次函数的三种形式，把一般式化为顶点式，或把顶点式化为一般式是解题的关键．

16．(20162云南省曲靖市罗平县2二模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：

①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0 其中正确结论的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确； 把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；

把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；

由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确； 故选：B．

【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．

17．(20162云南省2二模)已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（ ） A．开口方向向上，y有最小值是﹣2 B．抛物线与x轴有两个交点 C．顶点坐标是（﹣1，﹣2） D．当x＜1时，y随x增大而增大 【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可．

【解答】解：y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，

a=﹣1，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣2），△=4﹣12=﹣8＜0，抛物线与x轴没有交点，当x＜1时，y随x的增大而增大． 故选：D．

【点评】此题考查二次函数的性质，正确判定开口方向，求得对称轴与顶点坐标是解决问题的关键．

二、填空题

1．(20162浙江杭州萧山区2模拟)已知二次函数y=x2+bx+c（其中b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数y=2x和y=的其中一个交点．则当a2+ab+c＞2a＞时，a的取值范围是 ﹣1＜a＜0或a＞3 ．

【考点】二次函数与不等式（组）． 【专题】数形结合．

【分析】只需先求出抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与直线y=2x的交点，然后结合函数图象就可解决问题． 【解答】解：解方程组

，得

，．

①当抛物线y=x2+bx+c顶点为（1，2）时， 抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2=x2﹣2x+3． 解方程组

，得

，

结合图象可得：

．

当a2+ab+c＞2a＞时，a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＞3； ②当抛物线y=x2+bx+c顶点为（﹣1，﹣2）时， 抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1． ∴c=﹣1＜0，与条件c＞0矛盾，故舍去． 故答案为﹣1＜a＜0或a＞3．

【点评】本题主要考查了直线与反比例函数图象的交点、抛物线的顶点坐标公式、直线与抛物线的交点等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键． 2．（20162绍兴市浣纱初中等六校25月联考模拟）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为

33y?x2?，则图中CD的长为 ▲ ．

232答案：?

2

3. （20162绍兴市浣纱初中等六校25月联考模拟）已知二次函数y?x?bx?c（其中

2b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数y?2x和y?22的其中一个交点。则当a?ab?c ＞x22a＞时，a的取值范围是 ▲ 。

a答案：a ＞3或-1＜a＜0;

4、（2016枣庄41中一模）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是 5 ．

【考点】二次函数的最值． 【专题】计算题．

【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．

【解答】解：y=x2﹣2x+6=x2﹣2x+1+5 =（x﹣1）2+5，

可见，二次函数的最小值为5． 故答案为：5．

2016枣庄41中一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c5、

＜0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．

【考点】二次函数与不等式（组）．

【分析】直接根据二次函数的图象即可得出结论．

【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3．

6.（20162天津市和平区2一模）某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行 600 米才能停止． 【考点】二次函数的应用．

【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值． 【解答】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． 当t=﹣

=20时，

s最大值==600，

即飞机着陆后滑行600米才能停止． 故答案为：600．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．

7.（20162天津市南开区2一模）若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣2x+5 ． 【考点】二次函数的性质． 【专题】开放型．

【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（2，﹣3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一．

【解答】解：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点， ∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求． 答案不唯一． 例如：y=﹣x2﹣2x+5．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数．

8．(20162四川峨眉 2二模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标相等的点称为 “影子点”．例如点(1,1)，(2,2)，(?3,?3)等． （1）若点p(?2,m)是反比例函数y?则k? ▲ ．

2（2）若二次函数y?ax?bx?1（a、b是常数，a?0）图象上存在两个不同的“影子2点”，A(x1,y1)、B(x2,y2)，且满足?2?x1?2，x1?x2?2，令t?b?2b，则的取值

k

（k为常数，k?0）图象上的“影子点”， x

范围是： ▲ ． 答案：4,t??7. 169．(20162云南省2一模)在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2﹣4ac＜0；②

＞0；③abc＞0；④a﹣b﹣c＞0，说法正确的是 ②③④ （填序号）．

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】①根据抛物线与x轴交点个数可判断；

②根据抛物线对称轴位置可判断；

③根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断； ④由③知a＞0，b＜0，c＜0，根据实数运算可判断．

【解答】解：由图可知，抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故①错误； 对称轴在y轴右侧，则x=﹣抛物线开口向上，则a＞0，

而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＜0， 其与y轴的交点（0，c）位于y轴的负半轴，则c＜0， 所以abc＞0，故③正确；

∵a＞0，b＜0，c＜0，∴a﹣b﹣c＞0，故④正确； 故答案为：②③④．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴 右．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

三、解答题

1．(20162y满足方程组浙江杭州萧山区2模拟)已知y是关于x的函数，且x，（1）求函数y的表达式；

（2）若点P的坐标为（m，0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围．

【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）把a作为已知数，分别得到x、y和a的数量关系即可求出函数y的表达式；（2）易求点A和点B的坐标，当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，求出此时P的横坐标即可得到函数y的图象有交点时，m的取值范围． 【解答】解：（1）

，

＞0，故②正确；

，

①×3，得3x+9y=12﹣3a③， ②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3， 得，

；

（2）当y=0时，x=3，即函数y的图象与x轴交于点A（3，0）， 当x=0时，y=，即函数y的图象与y轴交于点B（0，）， 当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y， 此时∠PCA=90° ∴∠PCA=∠BOA， 且∠BAO=∠PAC， ∴△ABO∽△APC， ∴

，即

，

∴AC=2， ∴PA=

或3+

， ≤m≤3+

．

此时，P的横坐标为3﹣

∴当圆P与直线y有交点时，3﹣

【点评】本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题． 2．(20162浙江杭州萧山区2模拟)设函数y=（kx﹣3）（x+1）（其中k为常数）． （1）当k=﹣2时，函数y存在最值吗？若存在，请求出这个最值． （2）在x＞0时，要使函数y的值随x的增大而减小，求k应满足的条件．

（3）若函数y的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求能使△ABC为等腰三角形的k的值．（分母保留根号，不必化简）

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．

【分析】（1）把k=﹣2代入抛物线解析式得到y=﹣2x2﹣5x﹣3，根据顶点坐标公式即可解决．

（2）分两种情形讨论当k=0时，y=﹣3x﹣3为一次函数，k=﹣3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；当k≠0时，y=（kx﹣3）（x+1）=kx2+（k﹣3）x﹣3为二次函数，由不等式组

解决．

（3）分三种情形讨论：当k＞0时①AC=BC，②AC=AB，③AB=BC分别列出方程解决；当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB列出方程解决，当k=0时，不合题意． 【解答】解：（1）当k=﹣2时，函数y=（﹣2x﹣3）（x+1）=﹣（2x+3）（x+1）=﹣2x2﹣5x﹣3，

函数为二次函数，且二次项系数小于0，故函数存在最大值， 当x=﹣

=

时，y最大=

=，

（2）当k=0时，y=﹣3x﹣3为一次函数， k=﹣3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；

y==kx2+x﹣3为二次函数，当k≠0时，（kx﹣3）（x+1）（k﹣3）其对称轴为直线

要使当x＞0时，y随x的增大而减小，则抛物线的开口必定朝下，且对称轴不在y轴的右边， 故得，

，

解得k＜0 综上所述，k应满足的条件是：k≤0． （3）由题意得，k≠0，函数为二次函数，

C为定值A0）C由所给的抛物线解析式可得A，（﹣1，，（0，﹣3）则

，而

，

当k＞0时①AC=BC，则有，可得k=3，

②AC=AB，则有，可得，

③AB=BC，则有，可得，

当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB，则有当k=0时函数为一次函数，不合题意．

综上所述，使△ABC为等腰三角形的k的值为3或或

或﹣

，可得，

．

【点评】本题考查二次函数的有关知识、一次函数的有关知识，掌握函数的性质是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．

3．(20162△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF浙江杭州萧山区2模拟)如图，DE始终分别交△ABC△DEF绕点D旋转，的顶点D为△ABC的一边BC的中点，且边DF、G，HG、的边AB、AC于点H、图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称．连结HH′、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J． （1）求证：△DHB∽△GDC；

（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y， ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围． ②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）由等边三角形的特点得到相等关系，即可； （2）由相似三角形得到为y求出即可．

【解答】证明：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠BHD+∠BDH=120°， 在正△DEF中，∠EDF=60°， ∴∠GDC+∠BDH=120°， ∴∠BHD=∠GDC，

，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HH′G′G的面积

∴△DHB∽△GDC， （2）①∵D为BC的中点， ∴BD=CD=2， 由△DHB∽△GDC， ∴即：∴BH=，

∵H，H′和G，G′关于BC对称， ∴HH′⊥BC，GG′⊥BC， ∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=∴HH′=2HI=∴y=（

+

，GG’=2GJ=

BH=CG=

， ，

， ，

x，IJ=4﹣﹣，

x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）

（+x）2+2a2+2，

a，

（+x），

②由①得，y=﹣设

=a，得y=﹣

当a=4时，y最大=4此时

=4，解得x=2．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的性质和判定以及对称的性质，用x表示线段是解决本题的关键，也是难点． 4. (20162浙江丽水2模拟)（本题10分）

如图，足球运动员在O处抛出一球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求篮球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地距守门员多少米？（取43?7） （3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少

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