方法论试题库(章节) - 图文
更新时间:2023-03-14 01:21:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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方法论试题库(章节)
第一章 绪论
名词解释:1。方法论:是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科,是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。
简答:1。数学方法论的研究对象:关于数学功能的研究;关于数学内容辩证性质的研究;关于数学中常用方法的研究;关于数学思想方法的研究;关于数学思维的研究;关于数学推理的研究;关于数学语言的研究;关于数学人才成长规律的研究 2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究
答。一。关于数学中矛盾的研究,即数学中有哪些重要的矛盾,它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析,包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等
3。试举四种数学中的一般科学认识方法
答:观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等 4。试举四种数学中的特有的科学认识方法
答:抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等 论述:1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。 答:宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识,侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法,即着眼于数学的思想、观念,数学研究的方法,数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。
2。数学方法论的数学功能。
一。科学功能,即数学作为一种科学语言和科学方法,它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能,即数学作为一种思维工具,是思维的体操,是进行思维活动的载体。三。社会功能,即数学作为认识世界、改造世界的工具,它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四,心理功能,即数学是人类一种宝贵的文化财富,他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面,具有特殊的意义与作用
3。论述数学思想方法形成和发展的规律:一。从整体上研究数学思想方法的系统进化,如从算术到代数,从综合几何到几何代数化,从常量数学到变量数学,从必然数学到或然数学,从明晰数学到模糊数学,从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。二。研究数学思想方法的个体发育,即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。
第二章 化归
填空:1。化归的方向或原则也可简述为:把实际问题化为数学问题,把数学问题化为代数问题,把代数问题化为解方程的问题。
名词解释:1。数学中的化归方法:将数学问题进行规范化,将一个新的、有待解决的或未能解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去,从而最终求得解答的一种手段或方法。
简答:1。化归的三个方向:由未知化为已知,由困难化为容易,由繁琐化为简洁。 2。化归的三个原则:熟悉性原则,简单性原则,直观性原则。 3。请举出至少三个多维化归方法的例子。 答:变换法,反证法,MM方法
证明题:1。求证:1?12?131n???1n?2(n?1?1)
证明:1?12?13????2(2?1)?2(3?2)?2(4?3)???2(n?1
?n)?2(n?1?1)
2。在单位正方形周界上任意两点连一曲线 ,将正方形分成面积相等的两部分。 求证:该曲线长不小于1。
分析:1。最理想情形:垂线或对角线
2。若端点在对边的线段------------------------------斜线〉垂线段 3。若端点在对边的曲线--------------------两点间线段最短 4。若端点在临边的曲线-----------------将SP以CA反射
5。若端点在同边的曲线--------将SP以CA反射 (图略)
nnkkn3 求证:C?C?C???C0n1n2nnn?2, 并由此计算(1)?2Ck?0n(2)?(?1)k3kCnk
k?1n0n1n?12n?22nnn证明:由于(a?b)?Cna?Cnab?Cnab???Cnb?2,
n012na=b=1时,(1?1)?Cn?Cn?Cn???Cn,
na=2,b=1时, (2?1)?n?2k?0kCn?3,
knna=1,b=-3时, (?2)?(1?3)?nn?(?1)k?0k3Cn?3。
kkn4。证明托勒密定理:已知:AB,CD为圆内接四边形ABCD的对角线, 求证:AB*CD+AD*BC=AC*BD
证明:在BD上取点E,使∠BEA=∠DEC,则△ABE∽△ACD,△ABC∽△AED,故AB*CD=AC*BE, AD*BC=AC*ED,所以AB*CD+AD*BC= AC*BE+ AC*ED=AC*BD
第三章 类比与归纳
填空:类比是由特殊到特殊的思维过程,归纳是由特殊到一般的思维过程,演绎是由一般到特殊的思维过程。
简答: 1。各举出一个平面与空间类比,形与数类比,有限与无限类比的例子。 平面与空间类比:几何中两条直线被三条平行线所截得的线段成比例。
立体几何中两条直线被三个平行平面所截得的线段成比例 形与数类比:解析几何
有限与无限类比:三角形面积等于底与高相乘积的一半,
圆内接正多边形面积等于周长与边心距乘积的一半 圆面积等于周长与半径乘积的一半 2。各举出一个简单类比,复杂类比的例子。
答:简单类比:几何中两条直线被三条平行线所截得的线段成比例。
立体几何中两条直线被三个平行平面所截得的线段成比例。
复杂类比:解方程步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为一(不变号)
解不等式步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为一(可能变号)
2。试举出三个关于归纳的生活谚语的例子。
答:农业谚语“有收无收在于水,收多收少在于肥”“发尽桃花水,必有旱黄梅”
气象谚语“热在三伏,冷在三九”“东虹日出西虹雨”
养身之道“饭后百步走,活到九十九”“饭前喝汤,有利健康;饭后喝汤,身体发胖”
n证明题:设n∈N,求证:?r?1r(r?1)2[a?(n?r)b]?124n(n?1)(n?2)[nb?(4a?b)]
证明:(1)n=1时,左边=a=右边 (2)n=k若成立,n=k+1时,
k?1?r?1r(r?1)21k[a?(k?1?r)b]??r?1r(r?1)2k[a?(k?r)b]??r?1r(r?1)2b?(k?1)(k?2)2a
?24(k?1)((k?1)?1)((k?1)?2)[(k?1)b?(4a?b)]
故对n∈N成立。
第4章 联想与直觉
填空:1。联想的三个基本法则为:类似联想法则,相反联想法则,接近联想法则。
2。数学联想是以观察为基础,根据所研究的对象或问题的特点,联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。
3。直觉思维的主要特征有整体性,或然性,简约性,创造性,直接性,不可解释性等。 4。数学联想是一种再现性想象,是进行类比、归纳、模拟、猜想等似真推理的基础。 5。按照数学直觉思维的智力品质分类,小高斯凭直觉判断1+2+3+?+100=5050是一种十分娴熟的思维技能,属于再现性数学直觉思维,哈密尔顿发现四元数属于创造性数学直觉思维 名词解释:数学联想:是以观察为基础,根据所研究的对象或问题的特点,联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。
求解题:一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成,且地板的两条对角线上的瓷砖是黑色的,其余瓷砖是白色。如果有101块黑色瓷砖,那么瓷砖总数是多少呢?
答:地板只有两条对角线上的瓷砖是黑色的,共有101块黑色瓷砖,故正方形有51列,瓷砖总数有512=2601块。 已知:
a?b1?ab?b?c1?bc?c?a1?ca?0,求证:三数a,b,c之中至少有两个相等。
证明:令a=tanα,b=tanβ,c=tanγ,则原题条件变为:
tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=0.由(α-β)+(β-γ)+(γ-α)=0,
上式又可化为tan(α-β)*tan(β-γ)*tan(γ-α)=0,
则tan(α-β),tan(β-γ),tan(γ-α)中至少有一个为零,故原题得证。
第5章 数学的论证方法
填空:1。数学证明必须遵循的规则有:论题必须明确,论题应当保持同一,论据必须可靠,论据不能依赖于论题,证明必须遵守推理规则。
2。间接证法主要有反证法与同一法。
3。根据推理方向,数学证明分为分析法与综合法。 证明题1。求证: cos100为无理数
00
证明:若cos10为有理数,记cos10=p/q(p,q
32?cos300互为质数),则
?4cos1030?3cos10?Q,矛盾。故结论成立。
02。在△ABC中,AK:KC=3:1,BP:PC=2:1,AP和BK相交于M。 求证:
AMAP?911,BMBKBM?811
????2?13证明:设?x,?y,则AM?xAB?xAC?yAC?(1?y)AB,
APBK334AM解之得:x?911,y?811
第6章 数学的抽象方法
名词解释:抽象:透过事物的现象,深入事物的里层,把事物的本质抽取出来的过程和方法。
填空:1。数学有别于其他学科,研究对象的抽象性表现在特殊的抽象形式,特殊的抽象高度。
2。哥尼斯堡七桥问题是数学抽象基本形式的理想化抽象,同余数类是数学抽象基本形式的等价抽象,虚数是存在性抽象。
3。公理化方法中设置公理的三项基本要求为:相容性,独立性,完备性 简答:1。数学抽象的基本形式
答:理想化抽象,等价抽象,强抽象与弱抽象,存在性抽象 2。布尔巴基学派认为,数学研究的三种基本结构是什么?
答:代数结构,序结构,拓扑结构
解答题:1。7只茶杯,杯口朝上,将其中4只翻转过来(杯口朝上的变为杯口朝下,杯口朝下的变为杯口朝上),称为一次“运动”。试问:是否能经过有限多次运动,使得茶杯的杯口全部朝下?
解:赋予一只茶杯杯口朝上:+1,朝下:-1,一只茶杯一次运动:*(-1)
则初始状态:(+1)*?*(+1)=+1,(-1)*?*(-1)=(-1)=-1,经过运算(-1), 故不可能。
2。“七桥问题”德国哥尼斯堡市内有一条布勒尔河,在这条河上有两个支流,在城中心汇成大河,河中间是岛区,河上有七座桥,如图:
设计:能否从某点出发,经过每座桥一次且仅一次而回到出发点 解:抽象:岛、岸——A,B,C,D
桥——AB,AC,AD,BC,BD七条曲线
概括:一笔画
解决:A,B,C,D皆为奇异点,
而一笔画图形至多有两个奇异点
具体化:不能从任何一点出发,经过每座桥
一次且仅一次而回到出发点
7
4n
第9章 数学的美学方法
填空1。怀特海德说:“只有音乐堪与数学裨美” 2。罗素说:“数学,如果正确的看待他,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,它可以纯净到崇高的地步,?”
3。天体中蕴藏的数学定律之行星运动的第三定律是由伽利略揭示的。 4。数学美的简单性与易懂性、严格性是辩证相关的。
5。著名德国数学家克莱因于1872年用群的观点统一几何,被誉为几何理论的“伟大的综合” 6。弗兰西斯·培根说:“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异” 7。数列
3253n?2 ,,,,?的通项公式为:an?43852(n?1)简答1。数学美的基本特征
答:简单性、对称性、统一性、奇异性
2。培养数学审美能力的四个层次 答:美观、美好、美妙、完美
求解题:1。求(2x-y)100展开式中各项系数之和
100100i答:(2x?y)100??ai?0xyi100?i,令x=y=1,则?ai?1
i?02。设a,b,c,d是互不相等的实数,试作出下列函数的图像
f(x)?(x?b)(x?c)(x?d)(a?b)(a?c)(a?d)?(x?c)(x?d)(x?a)(b?c)(b?d)(b?a)?(x?d)(x?a)(x?b)(c?d)(c?a)(c?b)?(x?a)(x?b)(x?c)(d?a)(d?b)(d?c)
解:f(x)为x的三次式,x=a,b,c,d时,f(a)=f(b)=f(c)=f(d)≡1,f(x)=1表示一条直线。 3。在已知△ABC中,求证:证明:
cosAacosBbcosCca?b?c2abc222?2cosAa2?2cosBb2?cosCc2
22???1b?c?aa2bc22?1a?c?bb2ac?1a?b?cc2ab?a?b?c2abc222
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