2010年部分省市中考数学试题分类汇编 综合型问题(含答案)

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2010年部分省市中考数学试题分类汇编 综合型问题

20、（2010年浙江省东阳县）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.

（1）求证: ABE～ ABD；

(2) 求tan ADB的值； （3）延长BC至F，连接FD，使

BDF的面积等于 求 EDF的度数.

【关键词】圆、相似三角形、三角形函数问题

【答案】（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ 又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ

２

（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２3

在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝

236

33

（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝６０°

20．（2010年山东省青岛市）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．

（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；

（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 【关键词】不等式与方程问题

【答案】解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：

35x 55(x 1) 45,

解得：x 5.

∴35x 35 5 175（人）.

答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人． ········ 3分 （2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4 y）辆，由题意得：

35y 55(4 y)≥175

， ········ 6分

320y 400(4 y)≤1500

解这个不等式组，得1≤y≤2

4

114

．

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∵y取正整数， ∴y = 2.

∴4－y = 4－2 = 2.

∴320×2＋400×2 = 1440（元）.

所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元． (2010年安徽省B卷)23.（本小题满分１２分）

如图， Rt△ABC内接于⊙O，AC BC， BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连结

OG．

（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE BF； （3

）若OG DE 3(2

【关键词】圆 等腰三角形 三角形全等 三角形相似 勾股定理

【答案】（1）猜想：OG⊥CD． 证明：如图，连结OC、OD． ∵OC OD，G是CD的中点，

∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． 而∠CAE＝∠CBF（同弧所对的圆周角相等）． 在Rt△ACE和Rt△BCF中，

∵∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF， ∴Rt△ACE≌Rt△BCF （ASA） ∴ AE BF．

（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H．则H为BD的中点．

∴OH＝

12

，求⊙O的面积．

B AD，即AD=2OH．

B 又∠CAD＝∠BAD CD=BD，∴OH=OG． 在Rt△BDE和Rt△ADB中， ∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD， ∴Rt△BDE∽Rt△ADB ∴

BDAD

DEDB

，即BD2 AD·DE

2

·DE 2OG·

DE 6(2 ∴BD AD

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又BD FD，∴BF 2BD．

∴BF2 4BD2 24(2

… ①

设AC x，则BC x，

AB=∵AD是∠BAC的平分线， ∴ FAD BAD．

．

在Rt△ABD和Rt△AFD中， ∵∠ADB=∠ADF＝90°，AD=AD，∠FAD＝∠BAD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）． ∴AF=AB

，BD=FD． ∴CF=AF-AC

= x 1)x 在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BF

2

BC CF

22

x 1)x] 2(2 x 24(2

2

22

x …②

2

由①、②，得2(2 ．

∴x2

12．解得x

．

∴AB

∴⊙O

的半径长为．

∴S⊙O π ＝6π

(2010年安徽省B卷)24.（本小题满分12分）

已知：抛物线y ax bx c a 0 的对称轴为x 1，

2

2

0 、与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A 3，

C 0， 2 ．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最

小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

【关键词】二次函数解析式 对称点 相似三角形 三角形面积

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b

2a 1

【答案】（1）由题意得 9a 3b c 0

c 2

2

a 3

4

解得 b

3

c 2

∴此抛物线的解析式为y

23

x

2

43

x 2

（2）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使

PC PB最小.B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x 1的交点即为所求的

点P.

设直线AC的表达式为y kx b

3k b 0，则

b 2

2

k 解得 3

b 2

∴此直线的表达式为y 把x 1代入得y

43

23

x 2．

∴P点的坐标为 1， （3）S存在最大值

4 3

理由：∵DE∥PC，即DE∥AC． ∴△OED∽△OAC． ∴

ODOC

OEOA

，即

2 m2

OE3．

∴OE 3 连结OP

32

m，

S S△OAC S△OED S△AEP S△PCD

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= 3 2

234

2

11

3 1341

3 m 2 m m m 1 2 2 2232

34

= m 0

32

m

m 1

2

34

∵

34

∴当m 1时，S最大

34

（2010年福建省晋江市）已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC 3，

BC 2，取AB的中点M，连结MC，把 MBC沿x轴的负方向平移OC的长度

后得到 DAO.

(1)试直接写出点D的坐标； (2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ x轴于点

Q，连结OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与

DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在

一点T，使得TO TB的值最大.

【关键词】二次函数、相似三角形、最值问题

3 答案：解：(1)依题意得：D ,2 ；

2

(2) ① ∵OC 3，BC 2， ∴B 3,2 .

∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为y ax

2

bx a 0

3

又抛物线经过点B 3,2 与点D ,2

2

4 a

, 9a 3b 2, 9

∴ 9 解得： 3

a b 2 b 2

2 4 3

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∴抛物线的解析式为y ∵点P在抛物线上， ∴设点P x,

49x

2

49

x

2

23

x.

2

x . 3

4

1)若 PQO∽ DAO，则

PQDA

QOAO

，

9

x

2

32

23

x

x2

，解得：x1 0(舍去)或

x2

5116

，

51153

, . 1664

∴点P

4

2)若 OQP∽ DAO，则

OQDA

PQAO

，

x32

9

x

2

2

23

x

，解得：x1 0(舍去)或

x2

92

，

9 ,6 . 2

∴点P

②存在点T，使得TO TB的值最大. 抛物线y

3 ,0 . 2

34

49x

2

23

x的对称轴为直线x

34

，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则

点E

∵点O、点E关于直线x ∴TO TE

对称，

要使得TO TB的值最大，即是使得 TB的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、BTE TB的值最大.

设过B、E两点的直线解析式为y kx b k 0 ，

4 3k b 2,

k ,

∴ 3 解得： 3 k b 0 b 2 2

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∴直线BE的解析式为y 当x

34

43

x 2.

时，y

3

43

34

2 1.

∴存在一点T

, 1 使得TO TB最大. 4

2. （2010年福建省晋江市）如图，在等边 ABC中，线段AM为BC边上的中线. 动点D

在直线．．AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边 CDE，连结BE.

(1) 填空： ACB ______度；

(2) 当点D在线段．．AM上(点D不运动到点A)时，试求出

ADBE

的值；

(3)若AB 8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长. B

(2)∵ ABC与 DEC都是等边三角形

∴AC BC，CD CE， ACB DCE 60 ∴ ACD DCB DCB BCE ∴ ACD BCE ∴ ACD≌ BCE∴AD BE，∴

A

B C C

备用图(1) 备用图(2)

SAS

ADBE

1.

(3)①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由(2)可知 ACD≌ BCE，则

CBE CAD 30 ，作CH BE于点H，则PQ 2HQ，连结CQ，则CQ 5.

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在Rt CBH中， CBH 30 ，BC AB 8，则CH BC sin30 8 在Rt CHQ中，由勾股定理得：HQ

CQ

2

12

4.

CH

2

5 4

22

3，则

②当点D在线段AM的延长线上时，∵ ABC与 DEC都是等边三角形 ∴AC BC，CD CE， ACB DCE 60 ∴ ACB DCB ∴ ACD BCE

∴ ACD≌ BCE

∴ CBE CAD ③当点D在线段MA∵ ABC与 DEC∴AC BC，CD ∴ ACD ACE ∴ ACD BCE ∴ ACD≌ BCE

∴ CBE CAD ∵ CAM 30

∴ CBE CAD 150 ∴ CBQ 30 . 同理可得：PQ 6. 综上，PQ的长是6.

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1.（2010年浙江省东阳市）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：

（1）C的坐标为 ▲ ； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式；

并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。

关键词：相似三角形、动态问题、二次函数 答案：（1）Ｃ（４，１）

（2）当∠MDR＝45时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0） 当∠DRM＝45时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0） （３）Ｓ＝－

12

０

０

12

ｔ2＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；Ｓ＝

134

9213

ｔ2

当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝

， Ｓ＝

393

2

98

， Ｓ＝， Ｓ＝

1118

1、（2010年宁波市）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y

⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为___________。 【关键词】直线与圆的位置关系，二次函数 【答案】 （6，2）或（

6，2）（对珍一个得2分）

12

x 1上运动，当

2

x

2、（2010年宁波市）如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的

坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G。

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（1）求 DCB的度数;

（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF ，记直线EF 与射线DC的交点为H。

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE; ②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标。

（图1）

（图3）

（图2）

【关键词】平行四边形，相似 【答案】 解：（1）60

（2）（2，23）

（3）①略

②过点

E作EM⊥直线CD于点M

∵CD∥AB

∴ EDM DAB 60

∴Em DE sin60 2 ∵S EGH

12

GH ME

12

32

3 3 33

（图3）

GH

∴GH 6

∵△DHE∽△DEG ∴

DEDG

DHDE

即DE

2

DG DH

当点H在点G的右侧时，设DG x，DH x 6 ∴4 x(x 6) 解：x1 3 2

1

∴点F的坐标为（ 1，0）

当点H在点Ｇ的左侧时，设DG x，DH x 6 ∴4 x(x 6) 解：x1 3

，x1 3

（舍）

∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ∴AF DG 3

∵OF AO AF 3 2 ∴点Ｆ的坐标为（ 5，0）

综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是F1（ 1，0），F2（ 5，0）

5

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（2010辽宁省丹东市）．如图，已知在⊙O中，AB

=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

【关键词】圆锥侧面积 【答案】

解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，

12

第22题图

则AE=AB=23． ······························································································ 1分 在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=

AEOA

．

∴OA=

AEcos30

=

2332

=4． …………………………3分

又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．

C D． ∵AC⊥BD，∴BC

∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°． ····························································· 5分 ∴S阴影=nπ OA=120

360

360

2

π 4

2

163

π

． ··········································································· 6分

法二：连结AD． ················································································ 1分

∵AC⊥BD，AC是直径，

∴AC垂直平分BD． ……………………2分

C D． ∴AB=AD，BF=FD，BC

∴∠BAD=2∠BAC=60°，

∴∠BOD=120°． ……………………3分 ∵BF=

12

AB=23，sin60°=

3

AFAB

，

AF=AB·sin60°=4×

32

=6．

222

∴OB2=BF2+OF2

．即 (6 OB) OB．

∴OB=4． ·················································································· 5分 ∴S阴影=S圆=

31

163

················································································· 6分 π．

法三：连结BC．………………………………………………………………………………1分

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∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°． ∵AB=43，

∴

AC

ABcos30

2

8

． ……………………3分

∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°， ∴∠BOD=120°． ∴S阴影=120π·OA=

2

13

×4·π=

2

163

360

π．……………………6分

以下同法一．

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， ∴2πr ∴r

43120180

π 4．

．

（2010辽宁省丹东市）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，

0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点

M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积

S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若

存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG

此时m

【关键词】旋转抛物线的表达式；存在性问题

∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ·································································· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）

【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ······

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y

O M

D

E C x

N (－6，－4)

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y ax2 bx c， ∵抛物线过点A（0，4），

∴c 4．则抛物线关系式为y ax2 bx 4． ················································· 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

36a 6b 4 4，

································································································· 5分

64a 8b 4 0．

1

a ， 4解得 ····································································································· 6分

b 3． 2

所求抛物线关系式为：y

14

x

2

32

x 4．······················································ 7分

（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ················································· 8分 ∴S四边形EFGB S梯形ABCO S△AGF S△EOF S△BEC

12

12

OA（AB+OC）

4 （6 8）

2

12

AF·AG

12

12

OE·OF

12

12

CE·OA

12

m(4 m) m(8 m)

4m

m 8m 28 （ 0＜m＜4） ···············································10分

2

∵S (m 4) 12． ∴当m 4时，S的取最小值．

又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ···········································12分 （4

）当m 2 时，GB=GF，当m 2时，BE=BG． ··································14分

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（2010江苏宿迁）（本题满分12分）已知抛物线y x2 bx c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；

（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．

求证：四边形ODBE是等腰梯形；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的

求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【关键词】抛物线关系式及图形的存在性问题

【答案】（1）求出：b 4，c 3，抛物线的对称轴为：x=2 ………………3分

(2) 抛物线的解析式为y x2 4x 3，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）

设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE ∵ OBC是等腰直角三角形， DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE∥BD

∴四边形ODBE是梯形 ………………5分 在Rt ODF和Rt EBF中， OD=OF

2

13

？若存在，

DF

2

2 1

22

5 ，BE=EF

2

FB

2

2 1

22

5

∴OD= BE

∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分

(3) 存在， ………………8分 由题意得：S四边形

ODBE

12

OB DE

12

3 3

92

………………9分

设点Q坐标为（x，y）， 由题意得：S三角形∴y

1

OBQ

12

OB y

32

y=

13

S四边形

ODBE

13

92

32

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当y=1时，即x2 4x 3 1，∴ x1 2 2， x2 2

2，

∴Q点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分 当y=-1时，即x2 4x 3 1， ∴x=2， ∴Q点坐标为（2，-1）

综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1），Q2 (2-2，1) ，Q3（2，-1） 使得S三角形

OBQ

=

13

S四边形

ODBE

． ………………12分

E

F

1Q3

(2010年浙江省绍兴市)如图,设抛物线C1:y a x 1 5,

2

C2:y a x 1 5,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2.

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,

在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为l,且l与x轴交于点N. ① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为

(1, 2)，求点N的横坐标；

② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.

2

【答案】解：（1）∵ 点A(2,4)在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入y a x 1 5得 a=1.

2

∴ 抛物线C1的解析式为y x 2x 4,

设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . （2）①如图1，

第24题图

∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. 过点G作GE⊥DH,垂足为E, 由△DHG是正三角形,可得EG=3, EH=1， ∴ ME＝4.

2

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设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1, 由△MEG∽△MHN,得 ∴

45

3x 1

, ∴ x

MEMH54

EGHN

,

3 1,

∴ 点N的横坐标为

54

3 1．

第24题图

1

② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，

直线l与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ（x，0）， ∵ A (2, 4), ∴ G (2 23, 2),

∴ NQ=x 2 23，ＮF =x 1, GQ=2, MF =5. ∵ △NGQ∽△NMF， ∴ ∴

NQNF

GQMF

,

25

x 2 23

x 110

3

,

第24题图2

∴ x

3 8

.

当点D移到与点B重合时,如图3， 直线l与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小.

∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4), 设N（x，0）， ∵ △BHN∽△MFN， ∴

NH

FNMF

x 242

, ∴ x . ∴

1 x53

BH

，

∴ 点N横坐标的范围为

23

≤x≤

103 83

.

第24题图3

图4

（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，

AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

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⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

【答案】解：⑴ x，D点；

⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝②分两种情况：

Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6. 由于在Rt△NMG中，∠G＝60°， 所以，此时 y＝

34

34

x2；

x2－

38

（3x－6）2＝

738

x

2

932

x

932

.

Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP， ∵EC＝6－x, ∴y＝

38

（6－x）2＝

38

x

2

332

x

932

.

⑶当0＜x≤2时，∵y＝

34

x2在x＞0时，y随x增大而增大，

∴x＝2时，y最大＝3； 当2＜x＜3时，∵y＝ 当3≤x≤6时，∵y＝∴x＝3时，y最大＝综上所述：当x＝

938

73838

2

x

2

932x

x

932

在x＝

187

时，y最大＝

937

；

x

332

92

在x＜6时，y随x增大而减小，

.

937

187

时，y最大＝

.

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24．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，

21

交y轴于点B．

（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

【关键词】一元二次方程、一次函数、二次函数、

【答案】

（1）令y 0，得

12x

2

x 4 0，即x

2

2x 8 0

，

解得x1 2，x2 4，所以A(4,0)．令x 0，得y 4，所以B(0,4)． 设直线AB的解析式为y kx b，则

4k b 0

b 4

，解得

k 1 b 4

，

所以直线AB的解析式为y x 4． …5分

（2）当点P(x,x)在直线AB上时，x x 4，解得x 2， 当点Q(,)在直线AB上时，

22xx

x2

x2 4

，解得x 4．

所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则2 x 4． …4分 （3）当点E(x,)在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）

2

x2

x 4，解得x

83

83

x

．

①当2 x 时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，

此时，PC x ( x 4) 2x 4， 又PD PC，

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所以S PCD 从而，S

7474x

2

12x

2

PC

2

2(x 2)

2

2

，

yB

14

2(x 2)

F

D

P

C

8x 8 167

2

(x )

87

．

167

Q

87

O

E

A

因为2 ②当

83

167

83

，所以当x

时，Smax

．

x

（第24题）

x 4

时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，

x2 4)

x2

x 4

此时，QN ( ，

yB

又QM QN， 所以S QMN 即S

12

12

2

QN

2

12

F

(x 4)

2

P

，

N

(x 4)83

．

89

QME

其中当x

时，Smax

167

．

87

O

Ax

（第24题 备用）

综合①②得，当x

时，Smax

． …5分

23(2010年浙江省金华). (本题10分）

已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y =

2x

的图像上.小明对上述问题进行了探究，

发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四．．象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限. （1）如图所示，若反比例函数解析式为y=

2x

，P点坐标为（1， 0），图中已画

出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形

PQ1M1N1，并写出点M1的坐标；

（温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！） M1的坐标是 ▲

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（2） 请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得 k﹦ 若点P的坐标为（m，0）时，则b；

（3） 依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标．

【关键词】反比例函数、坐标、一次函数 【答案】解：（1）如图；M1 的坐标为（－1，2） （2）k 1，b m

（3）由（2）知，直线M1 M的解析式为y x 6 则M(x，y)满足x ( x 6) 2 解得x1 3 ，x2 3 ∴ y1 3 ，y2 3

∴M1，M的坐标分别为（3 ，3 ），（

3

24．（2010年浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点

P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B

以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设

BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

【关键词】相似三角形、二次函数、等腰三角形

【答案】（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， ∴ HQD C=90°，HD=HA， ∴ HDQ A，

（第24题）

∴△DHQ∽△ABC．

C

（图2）

（图1） （2）①如图1，当0 x 2.5时，

ED=10 4x，QH=AQtan A

34x，

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此时y 当x

54

12

(10 4x)

34

x 7532

32

x

2

154

x．

时，最大值y

．

②如图2，当2.5 x 5时， ED=4x 10，QH=AQtan A 此时y

12

(4x 10)

34x

32

2

34

x， 154

x．当x 5时，最大值y

x

754

．

3215

2x 4x(0 x 2.5),

∴y与x之间的函数解析式为y

3215 x x(2.5 x 5).

4 2

y的最大值是

754

．

（3）①如图1，当0 x 2.5时，

若DE=DH，∵DH=AH=

54

4021

QAcos A

54

x， DE=10 4x，

∴10 4x=

x，x ．

显然ED=EH，HD=HE不可能； 若DE=DH，4x 10=

54x，x

4011

；

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x 5；

若ED=EH，则△EDH∽△HDA，

EDDH

DHAD

∴

，

4x 1054x

x

3204，x ．

1032x

5

∴当x的值为

4040320

时，△HDE是等腰三角形. ,,5,

2111103

（其他解法相应给分）

20. （2010年益阳市）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别

为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；

(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1u0m.html