第24章 图形的相似

【单元测验】第24章 图形的相似

一、选择题（共6小题）

1、如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ） A、相似变换 B、平移变换

C、对称变换 D、旋转变换

2、如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由 B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合， 测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（ ） A、4.8m B、6.4m C、8m D、10m 3、（2010?毕节地区）正方形ABCD在平面直角坐标系中的 位置如图，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后， B点到达的位置坐标为（ ）

A、（﹣2，2） B、（4，1） C、（3，1） D、（4，0）

4、在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二 象限，则m的取值范围为（ ）

A、﹣1＜m＜3 B、m＞3 （3题图） C、m＜﹣1 D、m＞﹣1

5、在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ）

A、20米 B、18米 C、16米 D、15米 6、平面直角坐标系内的点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）

A、（3，2） B、（2，-3） C、（2，3） D、（-2，-3）

二、填空题（共5小题）

7、（2008?江西）如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B 在第一象限内，OA=2，AB=1，若将△OAB绕点O按顺时针方 向旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是 _________ 。

8、直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称 点P′的坐标为 _________ 。

9、（2009?枣庄）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、 B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点 B′的坐标是 _________ 。

10、在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm， 则BC= _________ cm。

11、已知梯形的中位线长为6cm，高为4cm，则此梯形的面积为 _________ cm。

2

三、解答填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值）

12、如第一图，将射线OX按逆时针旋转α°角，得到射线OY，如果点P为射线OY上一点，且OP=a，那么我们就规定用（a，α°）表示点P在平面内的位置，并记为P（a，α°）。例如在第二图中，如果OM=6，∠XOM=200°，那么点M在平面内的位置记为M（6，200°）。 根据上述规定解答下列问题： （1）在第三图中，如果点N在平面内的位置记为N（6，30°），那么ON= _________ ，∠XON= _________ 。

（2）将第三图中的射线OY旋转，使得旋转后射线OY′与射线OY垂直，则点N旋转后在平面内的位置记为 _________ 。

．

13、在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，△ABC的面积是8， 则四边形DBCE的面积是 _________ 。

14、已知：A、B、C三点的坐标分别为A（0，3），B（4，0）， C （﹣4，0），三角形ABC的面积是 _________ 。

15、如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别 是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件 求出边AB= _________ 。

16、如图，Rt△ABC中，M是斜边AB上的一点，且MN⊥AB交 AC于N，若AM=2，AB:AC=5:4，MN= _________ 。 17、（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′， B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；

（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（ _ ， _ ）， B′（ __ ， _ ），C′（ ___ ， __ ）。

18、我国法定节假日的确定为大家带来了很多便利、现在我们 用坐标来表示下列这些节日：

用A（1，1）表示元旦（即1月1日），用B（4，5）表示 清明节（即4月5日）,用C（6，1）表示儿童节（即6月1日）, 请写出教师节所对应的坐标D（ _________ ），国庆节所对应 的坐标E（ _________ ）。

19、如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基 本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3）， C（3，3），D（3，1）。

（1）画出“基本图形”关于x轴对称的四边形A1B1C1D1， 并写出A1，B1，C1，D1的坐标。A1（ __， __），

B1（ __， __）， C1（ _， __）， D1（ _ ， _）；

（2）四边形ABCD的面积为 _________ 。

四、选答题（共1小题）（不计入总分）

20、已知：如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AB上点，CE的垂直平分线FP 分别交AD、CE、CB于点F、H、G，交AB的延长线于点P。 （1）求证：△EBC∽△EHP；

（2）设BE=x，BP=y，求y与x之间的函数解析式， 并写出x的取值范围； （3）当

时，求BP的长．

【单元测验】第24章 图形的相似【重做】

参考答案与试题解析

一、选择题（共7小题） 1．（2007?舟山）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）

A．相似变换 B． 平移变换 C． 对称变换 D． 旋转变换 考点： 相似图形。 专题： 几何图形问题。 分析： 本题考查对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，采用排除法选出正确答案． 解答： 解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A． 点评： 本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 2．（2005?南京）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（ ）

4.8m 6.4m 8m 10m A．B． C． D． 考点： 相似三角形的应用。 分析： 利用相似三角形对应线段成比例解题． 解答： 解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x米，则=，

即∴x=8 = 故选C． 点评： 此题主要考查相似三角形中的对应线段成比例． 3．（2010?毕节地区）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（ ）

A．（﹣2，2） C． （3，1） D． （4，0） 考点： 坐标与图形变化-旋转。 专题： 网格型。 分析： 解题的关键是旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 解答： 解：由图知B点的坐标为（2，4），根据旋转中心D，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得B点坐标为（4，0）． 故选D． 点评： 本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 4．（2008?莱芜）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（ ） A．﹣1＜m＜3 B． m＞3 C． m＜﹣1 D． m＞﹣1 考点： 点的坐标。 分析： 根据点P（m﹣3，m+1）在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围． 解答： 解：∵点P（m﹣3，m+1）在第二象限， B． （4，1） ∴可得到， 解得m的取值范围为﹣1＜m＜3． 故选A． 点评： 解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四

个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 5．（2008?扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）的位置在（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 点的坐标。 分析： 应先判断出所求点P的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 解答： 解：∵点P（﹣1，2）的横坐标﹣1＜0，纵坐标2＞0， ∴点P在第二象限． 故选B． 点评： 本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 6．（2003?宁夏）在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ） A．20米 B． 18米 C． 16米 D． 15米 考点： 相似三角形的应用。 分析： 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 解答： 根据题意解：=， 即∴旗杆的高=， =18米．故选B． 点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 7．（2010?綦江县）平面直角坐标系内的点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（3，2） B． （2，﹣3） C． （2，3） D． （﹣2，﹣3） 考点： 关于原点对称的点的坐标。 分析： 根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答即可． 解答： 解：根据中心对称的性质，得点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）． 故选B． 点评： 关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值） 8．（2008?江西）如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2，AB=1，若将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是 （2，﹣1） ．

考点： 坐标与图形变化-旋转。 分析： 根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，准确把握旋转的方向和度数． 解答： 解：把Rt△OAB的绕点O按顺时针方向旋转90°，就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转90度．点A在y轴上，且OA=2，正好旋转到x轴正半轴． 则旋转后A′点的坐标是（2，0）；又旋转过程中图形不变，OA=2，AB=1，故点B′坐标为（2，﹣1）． 点评： 本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识． 9．直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为 （7，4） ． 考点： 一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标。 专题： 计算题。 分析： 先根据已知条件求得m的值，再根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即可求得P′的坐标． 解答： 解：∵点P（m﹣5，2m）是直线y=x+3上的点， ∴2m=m﹣5+3， 即m=﹣2； 那么P点的坐标是（﹣7，﹣4）， 则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）． 点评： 本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题． 10．（2009?枣庄）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 （7，3） ．

考点： 坐标与图形变化-旋转；一次函数的性质。 分析： 根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答． 解答： 解：直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B'的纵坐标为O′A′=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）． 点评： 解题时需注意旋转前后线段的长度不变． 11．（2010?密云县）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC= 4 cm．

考点： 三角形中位线定理。 分析： 根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出BC． 解答： 解：∵D、E分别是AB、AC的中点． ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE， ∵DE=2cm， ∴BC=2×2=4cm． 故答案为4． 点评： 本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 12．（2004?无锡）已知梯形的中位线长为6cm，高为4cm，则此梯形的面积为 24 cm． 考点： 梯形中位线定理。 分析： 根据梯形的中位线定理及梯形的面积公式即可求得其面积． 2

解答： 解：∵梯形的中位线长为（上底+下底）=6cm， ∴梯形的面积为（上底+下底）×4=6×4=24cm． 点评： 本题考查的是梯形中位线的性质，解答此题时要注意梯形的面积公式中（上底+下底）即为梯形中位线的长． 13．（2007?义乌市）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC= 12 cm．

2

考点： 三角形中位线定理。 分析： 三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍． 解答： 解：∵△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE=6cm， ∴BC=2DE=2×6=12cm． 故答案为12． 点评： 本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半． 14．（2009?肇庆）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 （﹣2，3） ． 考点： 关于原点对称的点的坐标。 分析： 平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）． 解答： 解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（﹣2，3）． 点评： 关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 15．（2008?长春）点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣4，3） ． 考点： 关于原点对称的点的坐标。 分析： 点关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，据此知道（x，y）关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）． 解答： 解：点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）． 点评： 本题主要是通过作图总结规律，记住，然后应用．

三、解答填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值）

16．如第一图，将射线OX按逆时针旋转α°角，得到射线OY，如果点P为射线OY上一点，且OP=a，那么我们就规定用（a，α°）表示点P在平面内的位置，并记为P（a，α°）．例如在第二图中，如果OM=6，∠XOM=200°，那么点M在平面内的位置记为M（6，200°）． 根据上述规定解答下列问题： （1）在第三图中，如果点N在平面内的位置记为N（6，30°），那么ON= 6 ，∠XON= 30° ． （2）将第三图中的射线OY旋转，使得旋转后射线OY′与射线OY垂直，则点N旋转后在平面内的位置记为 （6，120°）或（6，300°） ．

．

考点： 坐标确定位置。 分析： （1）根据题目中的定义直接回答； （2）结合（1）的结论和旋转的性质，知ON=6，①∠XOY′=90°+30°=120°，②∠XOY′=270°+30°=300°， ． 解答： 解：（1）根据定义，得 ON=6，∠XON=30°． （2）如图所示，根据旋转的性质，得 ON的长不变，①∠XOY′=90°+30°=120°，②∠XOY′=270°+30°=300°， 则点N旋转后在平面内的位置记为（6，120°）（6，300°）．

点评： 此题要正确理解新定义，掌握旋转的性质．

17．如图，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，△ABC的面积是8．则四边形DBCE的

面积是 6 ．

考点： 三角形中位线定理。 分析： 根据题意得，△ADE∽△ABC，再有相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求得四边形DBCE的面积． 解答： 解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC（2分） ∴△ABC∽△ADE（4分） 且S△ABC：S△ADE=4：1（6分） 又∵S△ABC=8∴S△ADE=2（7分） ∴四边形DBCE的面积=S△ABC﹣S△ADE=6．（8分） 点评： 本题考查了一个很重要的知识点：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 18．已知：A、B、C三点的坐标分别为A（0，3），B（4，0），C （﹣4，0），三角形ABC的面积是 12 ． 考点： 坐标确定位置。 分析： 画出平面直角坐标系，根据横坐标为0，纵坐标＞0，描出点A；纵坐标为0，横坐标＞0，描出点B；纵坐标为0，横坐标＜0，描出点C； 由点A、B、C的坐标求出AB=8，高为3，再根据三角形的面积公式计算三角形ABC的面积． 解答： 解： 三角形ABC的面积=8×3÷2=12．（5分） 点评： 本题考查了平面直角坐标系中点的位置的确定以及三角形面积的求法．

19．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件求出边AB= 18 ．

考点： 相似三角形的性质。 分析： 根据相似三角形的对应边的比相等求解． 解答： 解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED， ∴． 又AD=3，AE=6，CE=3， ∴AB==18． 点评： 此题考查了相似三角形对应边的比相等的性质．注意：边之间的对应关系． 20．如图，Rt△ABC中，M是斜边AB上的一点，且MN⊥AB交AC于N，若AM=2，AB：AC=5：4，MN= ．

考点： 相似三角形的判定与性质。 分析： 先证得△AMN∽△ACB，由AB：AC=5：4可得出AN：AM=5：4，再由AM=2可求出MN的长． 解答： 解：由题意得：△AMN∽△ACB ∴AB：AC=AN：AM=5：4 ∴可知AN=2.5，根据勾股定理得AM+MN=AN ∴MN=． 点评： 本题结合勾股定理考查了相似三角形的性质，注意相似的两三角形对应边成比例这一性质． 21．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；

222

（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（ 2 ， 3 ），B′（ 3 ， 1 ），C′（ ﹣1 ， ﹣2 ）．

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标。 分析： （1）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同的长度，线段的端点就是要找的三顶点的对应点，顺次连接； （2）从画出的图形上找出新图形的三顶点的坐标． 解答： 解：（1）如图所示： （2）A′，B′，C′三点的坐标：A′（ 2，3），B′（ 3，1），C′（﹣1，﹣2）． 点评： 本题主要考查了轴对称图形的画法及对直角坐标系的认识． 22．我国法定节假日的确定为大家带来了很多便利、现在我们用坐标来表示下列这些节日：用A（1，1）表示元旦（即1月1日），用B（4，5）表示清明节（即4月5日），用C（6，1）表示儿童节（即6月1日），

请写出教师节所对应的坐标D（ 9，10 ），国庆节所对应的坐标E（ 10，1 ）．

考点： 坐标确定位置。 分析： 根据规定，知月份是点的横坐标，日期是点的纵坐标． 解答： 解：根据规定，得 D（9，10），E（10，1）．

点评： 此题考查了描点的方法以及根据点的坐标求三角形的面积的方法，同时注意对生活常识的熟悉． 23．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）． （1）画出“基本图形”关于y轴对称的四边形A1B1C1D1，并写出A1，B1，C1，D1的坐标．A1（ ﹣4 ， 4 ），B1（ ﹣1 ， 3 ），C1（ ﹣3 ， 3 ），D1（ ﹣3 ， 1 ）； （2）四边形ABCD的面积为 2 ．

考点： 坐标确定位置。 分析： （1）根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，可以分别写出四个点的坐标，再进一步描点画图； （2）所求图形的面积即为边长为3的正方形的面积减去边长为2的正方形的面积减去长3宽1的矩形的面积或转化为两个三角形的面积和均可． 解答： 解：（1）根据关于y轴的对称点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 A1（﹣4，4），B1（﹣1，3），C1（﹣3，3），D1（﹣3，1）． 根据坐标描点画图：

（2）四边形ABCD的面积=3×3﹣2×2﹣3×1=2． 点评： 能够根据关于y轴对称的点的坐标特征画出图形的轴对称图形，能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积． 四、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）

24．已知：如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AB上点，CE的垂直平分线FP 分别交AD、CE、CB于点F、H、G，交AB的延长线于点P． （1）求证：△EBC∽△EHP；

（2）设BE=x，BP=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当

时，求BP的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。 专题： 综合题。 分析： （1）由于在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，由此得到∠PHE=∠CBE=90°，又∠BEC=∠HEP，由此即可证明△EBC∽△EHP； （2）在Rt△BCE中，根据勾股定理得到CE=BE+BC=x+64，根据（1）得到而EH=，进一步得到 2222，

，由此即可得到等式，变形后即可得到函数解析式，结合已知条件可以确定定义域； （3）根据（1）知道∠ECB=∠P，而∠EBC=∠GBP=90°，由此可以证明△EBC∽△GBP，接着利用相似三角形的性质得到 GB?BC=BE?BP，接着得到程即可求解． 解答： （1）证明：∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE， ∴∠PHE=∠CBE=90°（1分） 又∵∠BEC=∠HEP， ∴△EBC∽△EHP； （2）解：在Rt△BCE中，CE=BE+BC=x+64．（1分） ∵△EBC∽△EHP， ∴．（1分） 2222，解方∴BE?EP=EH?EC． ∵EH=∴∴． ．（1分） ，（1分） ∴函数解析式为，（1分） 定义域为0＜x＜8．（1分） （3）解：∵△EBC∽△EHP， ∴∠ECB=∠P， ∵∠EBC=∠GBP=90°． ∴△EBC∽△GBP．（1分） ∴．（1分） ∴GB?BC=BE?BP． ∴（1分） ∴x=±6（负值不符合题意，舍去）， ∴BP=．（1分） 点评： 此题分别考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质及勾股定理，有一定的综合性，

解题时要求学生分析问题、解决问题的能力比较强才能很好解决这类问题．

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