2015届海淀区高三第一学期期中数学理科试题

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理） 2014.11

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）设集合A?{x?R|x?1}，B?{x?R|?1≤x≤2}，则A（A）[?1,??)

（B）(1,??)

（C）(1,2]

B?（ ）

（D）[?1,1)

（2）已知向量a?(2,?1)，b?(3,x). 若a?b?3，则x?（ ） （A）6

（B）5

（C）4

（D）3

（3）若等比数列{an}满足a1?a3?5，且公比q?2，则a3?a5?（ ） （A）10

（B）13

（C）20

（D）25

（4）要得到函数y?sin(2x?π)的图象，只需将函数y?sin2x的图象（ ） 3（B）向左平移

（A）向左平移

?个单位 3?个单位 3?个单位 6?个单位 6（C）向右平移（D）向右平移

111（5）设a?()3，b?log2，c?log23，则（ ）

32（A）a?b?c

（B）c?a?b

（C）a?c?b

（D）c?b?a

（6） 设a,b?R，则“ab?0且a?b”是“（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

11?”的（ ） ab（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

???x,x?0,f(x)?（7）已知函数若关于x的方程f(x)?a(x?1)有三个不相等的实数根，???x,x≥0.则实数a的取值范围是（ ）

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（A）[,??)

12（B）(0,??) （C）(0,1)

an(Sn)（D）(0,)

12（8）设等差数列{an}的前n项和为

Sn.在同一个坐标系中，an?f(n)及Sn?g(n)的部分图象如图所示，则

（ ）

0.77-0.4O-0.88n

（A）当n?4时，Sn取得最大值 （C）当n?4时，Sn取得最小值

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设复数z?（B）当n?3时，Sn取得最大值 （D）当n?3时，Sn取得最小值

i，则z?______． 1?ix?a（10） 已知函数y?2（11）

的图象关于y轴对称，则实数a的值是 .

?π?π(x?sinx)dx? ________.

（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：

mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C?药品的浓度达到最大.

20t，则经过_______h后池水中t2?4A（13）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点， 且BD?2DC.

若AC?mAB?nAD(m,n?R)，则m?n?____.

（14）已知函数f(x)?Asin(?x??)（A,?,?是常数，A?0,??0）

BDC的最小正周期为π,设集合M?{直线ll为曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线，

x0?[0,π)}.若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则?= ；A= .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）已知函数f(x)?sinx?sin(x?（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间.

π). 3π2第 2 页 共 10 页

（16）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1?1，且a1,a3,?a2成等差数列. 2（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an?n}的前n项和Sn.

（17）如图所示，在四边形ABCD中，?D?2?B，且AD?1,CD?3,cosB?（Ⅰ）求△ACD的面积（Ⅱ）若BC?23，求AB的长.

（18）（14分）已知函数f(x)?2alnx?x2?1.（Ⅰ）若a?1,求函数f(x)的单调递减区间； （Ⅱ）若a?0，求函数f(x)在区间[1,??)上的最大值； （Ⅲ）若f(x)?0在区间[1,??)上恒成立，求a的最大值.

（19）（本小题满分13分）

已知数列{an}的前n项和Sn?AD3. 3n(1?an)(n?1,2,3,). 2BC（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求证：(n?2)an?1?(n?1)an?1(n?2)； （Ⅲ）判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.

（20）（本小题满分14分）

11，L为曲线C:y?f(x)在点(?1,)处的切线.

5x?16x?2312（Ⅰ）求L的方程；

设函数f(x)?211（Ⅱ）当x??时，证明：除切点(?1,)之外，曲线C在直线L的下方；

512（Ⅲ）设x1,x2,x3?R，且满足x1?x2?x3??3，求f(x1)?f(x2)?f(x3)的最大值．

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海淀区高三年级第一学期期中练习

数学（理）答案及评分参考 2014.11

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）

2 （10）0 （11）0 21 2（12）2 （13）?2 （14）2；三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）f()?sin分

π2πππ11?sin(?)?1??. ?????? 322322π) 3ππ ?sinx?(sinxcos?cosxsin) ?????? 5

33（Ⅱ）f(x)?sinx?sin(x?分

?sinx?(sinx?12313πcosx)?sinx?cosx?sin(x?). 2223 ?????? 9分

函数y?sinx的单调递增区间为[2kπ? 由2kπ?分

得2kπ?ππ,2kπ?](k?Z)， 22πππ≤x?≤2kπ?(k?Z)， ?????? 11232π5π≤x≤2kπ?(k?Z). 66π5π,2kπ?](k?Z). ?????? 1366 所以 f(x)的单调递增区间为[2kπ?分

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（16）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 a1,a3,?a2成等差数列，

所以 2a3?a1?a2. ?????? 2分

设数列{an}的公比为q(q?0)，由a11?2可得2?12q2?12?12q， 分

即2q2?q?1?0. 解得：q?12或q??1（舍）. 分

所以 a1n?2?(12)n?1?12n. 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a1n?n?2n?n. 所以 S1111n?2?1?22?2?23?3??2n?n 分

?12?11122?23??2n?1?2?3??n 1(1?1 ?22n)?n(n?1)?1?1?n(n?1). 1?122n22分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 ?D?2?B，cosB?33， 所以 cosD?cos2B?2cos2B?1??13. 分

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?????? 4

?????? 5 ??????7 ??????8

9分 ?????? 13 ?????? 3 ??????

因为 ?D?(0,π)，

所以 sinD?1?cos2D?分

因为 AD?1,CD?3，

22. ?????? 53所以 △ACD的面积S?1122AD?CD?sinD??1?3??2. 223?????? 7

分

222（Ⅱ）在△ACD中，AC?AD?DC?2AD?DC?cosD?12.

所以 AC?23. ?????? 9分

因为 BC?23，分

所以

ACAB?， ?????? 11sinBsin?ACB23ABABABAB. ????sinBsin(??2B)sin2B2sinBcosB23sinB3 所以 AB?4. ?????? 13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?2lnx?x2?1.

2?2(x2?1)f?(x)??2x?，x?0. ?????? 2分

xx?2(x2?1)?0. 令f?(x)?x 因为 x?0，

所以 x?1. ?????? 3分

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所以 函数f(x)的单调递减区间是(1,??). ?????? 4分

2a?2(x2?a) （Ⅱ）f?(x)?,x?0. ?2x?xx令f'(x)?0，由a?0，解得x1?a，x2??a（舍去）. ?????? 5分

① 当a?1，即0?a?1时，在区间[1,??)上f'(x)?0，函数f(x)是减函数. 所以 函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(1)?0； ?????? 7分

② 当a?1，即a?1时，x在[1,??)上变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表

x f'(x) 1 (1,a)源:Z_xx_k.Com][来a 0 alna-a+1 (a,+ ) - ↘ + f(x)

0 ↗ 所以 函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(a)?alna?a?1.

?????? 10分

综上所述：当0?a?1时，函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(1)?0； 当a?1时，函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(a)?alna?a?1. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0?a?1时，f(x)?f(1)?0在区间[1,??)上恒成立；

?????? 11

分

当a?1时，由于f(x)在区间[1,a]上是增函数， 所以 f(a)?f(1)?0,即在区间[1,??)上存在x?a使得f(x)?0.

?????? 13

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分

综上所述，a的最大值为1. ?????? 14分

（19）（共13分）

（Ⅰ）解：由题意知：S1?1?a11?a1，即a1?. 22 解得：a1?1. ?????? 2

分

n(1?an)(n?1,2,3,)， 2(n?1)(1?an?1) 所以 Sn?1?（n≥2）. ?????? 4

2 （Ⅱ）证明：因为 Sn?分

因为 an?Sn?Sn?1（n≥2）. ?????? 6

分 所以 an?nan?1?(n?1)an?1，即(n?2)an?1?(n?1)an?1(n?2).

2 ?????? 7

分

（Ⅲ）数列{an}是等差数列.理由如下： ?????? 8分

又Sn?2?(n?2)(1?an?2)（n≥3），由（Ⅱ）可得：

2(n?1)an?1?1?(n?2)an?2（n≥3）. ?????? 9an?1?Sn?1?Sn?2?2nan?2(n?1)an?1?(n?2)an?2，

2分

所以 an?an?1?即(n?2)an?2(n?2)an?1?(n?2)an?2?0. ?????? 11分

因为 n≥3，

所以 an?2an?1?an?2?0，即an?an?1?an?1?an?2（n≥3）.

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所以 数列{an}是以1为首项，a2?1为公差的等差数列. ?????? 13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）f?(x)??所以 f?(?1)??10x?16.

(5x2?16x?23)21. 2411所以 L的方程为y?1??1(x?1)，即y??x?． ?????? 3

24241224分

（Ⅱ）要证除切点(?1,1)之外，曲线C在直线L的下方，只需证明121111恒成立. ??x?(?1,?)，25x?16x?2324245?x?(??,?1)因为 5x2?16x?23?0， 所以 只需证明?x?(??,?1)132(?1,?)，5x?11x?7x?1?0恒成立即可．

5 ?????? 5

分

1设g(x)?5x3?11x2?7x?1 (x≤?).

5则g?(x)?15x2?22x?7?(x?1)(15x?7). 令g?(x)?0，解得x1??1，x2??7. ?????? 6分 151当x在(??,?]上变化时，g'(x),g?x?的变化情况如下表

5x g'(x) (??,?1) + ↗ ?1 (?1,?77) - 1515(-71,-) 155+ ↗ 1? 5 0 0 - ↘ 0 g(x)

所以 ?x?(??,?1)分

0 132(?1,?)，5x?11x?7x?1?0恒成立. ?????? 8

5111（Ⅲ）（ⅰ）当x1??,x2??,且x3??时，

555第 9 页 共 10 页

由（Ⅱ）可知：f(x1)?f(x2)?2111≤?x?， 15x12?16x1?232424111111≤?x2?，f(x3)?2. ≤?x3?5x2?16x2?2324245x3?16x3?232424三式相加，得f(x1)?f(x2)?f(x3)??因为 x1?x2?x3??3，

11(x1?x2?x3)?. 2481所以 f(x1)?f(x2)?f(x3)≤，且当x1?x2?x3??1时取等号． ?????? 11分

41（ⅱ）当x1,x2,x3中至少有一个大于等于?时，

518511851不妨设x1≥?，则5x12?16x1?23?5(x1?)2?≥5(??)2??20，

5555558515185151因为 5x22?16x2?23?5(x2?)2?≥，5x32?16x3?23?5(x3?)2?≥，

555555所以 f(x1)?f(x2)?f(x3)≤1551???． 20515141.?????? 14分 4综上所述，当x1?x2?x3??1时f(x1)?f(x2)?f(x3)取到最大值

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