免费自行车交通系统服务网点布局规划

本文获第三届华中数模赛本科组B题二等奖,主要运用了层次分析法和最优化模型解决了免费自行车交通系统服务网点布局规划的问题。

第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛

承 诺 书

我们仔细阅读了第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们的参赛报名号为：

参赛队员 (签名) ：

队员1：

队员2： 周小英

队员3： 欧娜

武汉工业与应用数学学会

第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛组委会

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第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛

编 号 专 用 页

选择的题号： B

参赛的编号： 10532002

（以下内容参赛队伍不需要填写）

竞赛评阅编号：

本文获第三届华中数模赛本科组B题二等奖,主要运用了层次分析法和最优化模型解决了免费自行车交通系统服务网点布局规划的问题。

第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛

【摘 要】

随着经济的发展，健康、绿色出行已成为一种趋势。公共自行车(免费单车)正越来越受到市民及外地游客的青睐。

自行车服务网点设计问题是一个离散的最优化设计问题。为设计出最优化网点布局，根据所给信息，我们建立了模型一、模型二。

模型一：要建立评价标准需考虑影响网点布局的评价指标，对此我们采用层次分析法分析。将整个城区分为八个区域，考虑每个区域对网点和自行车数的需求量。综合分析评价准则为交通枢纽、人口流量、人口密度、面积、返还车数。构造成对比较矩阵，分别算得各个区域的权重，从而确定各区域网点数和车辆数。

要评价现有网点和车辆数，通过计算现有网点、车辆数与模型一所得的期望值的偏离程度，设定一个最低偏离标准，从而判断其是否合理。

模型二：在有限资金下，最大程度服务居民，建立最优化公共交通体系，可采用多目标线性规划模型。利用matalab计算，在资金一定及网点间距限制下求得最优解。

题目： 免费自行车交通系统服务网点布局规划

本文获第三届华中数模赛本科组B题二等奖,主要运用了层次分析法和最优化模型解决了免费自行车交通系统服务网点布局规划的问题。

一、关键词

交通枢纽、人口流量、层次分析法、多目标线性规划

二、模型假设

1、湖泊，小山区域无人居住，假设不设网点 2、为方便起见，考虑每天租赁服务情况相同 3、每辆自行车在有限时间内能准时返还 4、如图（1-1）中红色星号表示交通枢纽

5、所选路线，如图（1-1）以交通枢纽所在路线为主 6、可将图中主干线近似看作直线 7、网点均设在路线的两侧附近

三、模型符号

模型一：

B为各个区域网点数占总网点数的权重 U各个区域网点数的数学期望

Ni表示现第i个区域的现有网点数

j表示各个区域中网点数偏离数学期望的程度

J各个网点车辆数的数学期望

r表示各个网点车辆数偏离数学期望的程度

Mi表示现第i个网点的现有车辆数 模型二

Xi表示第i个区域网点数

X表示总的网点数

Yi表示第i个区域车辆数

Y表示总车辆数

Qi表示Ti区域的人流量

Pi

Yi

表示各个区域人均车辆数 Qi

四、模型建立

1、整理数据

为方便讨论，可将区域划分为八块，如图（1-1）以蓝色路线为边界所示。分别考虑每个区域的交通枢纽、面积、人口流量、超市、地铁距离等分布，从而确定网点分布评价标准，其中人口流量包括地铁超市人口流量。

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图（1-1）

表一：各区域具体信息

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注：①、其中区域上的枢纽和超市数均分配到相邻区域。

②、地铁和超市对人口流量的比例按高峰时期人口流量的比例计算，地铁：

超市=4500：3000=3：2。

2、模型分析

这是一个具有一般性，又有代表性的网点规划问题，鉴于这一问题所考虑因素比较多，需要在多因素中进行比较，综合评价。我们利用层次分析法做出各个评价指标所占比重，又有交通枢纽和人口流量对网点数的分布最重要，所以应优先考虑两者，之后再考虑人口密度、面积、返回车数，根据这一考虑，模型如下：

各因素的成对比较矩阵如下：

28 15/64

6/51 539

37 A= 1/41/51

1/21/31/315 1/81/91/71/51

T

TTTTTTT

利用matalab软件计算A的特征根，特征向量得： >> [x r]=eig(A) x =

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0.5848 0.5532 - 0.0659i 0.5532 + 0.0659i 0.7494 0.7494 0.7289 0.6961 0.6961 -0.3847 - 0.4833i -0.3847 + 0.4833i 0.2875 -0.1541 + 0.3704i -0.1541 - 0.3704i -0.0432 + 0.0676i

-0.0432 - 0.0676i

0.2027 -0.1733 - 0.1079i -0.1733 + 0.1079i 0.1557 - 0.1296i

0.1557 + 0.1296i

0.0532 -0.0193 - 0.0452i -0.0193 + 0.0452i -0.0769 + 0.0584i

-0.0769 - 0.0584i

r =

5.4269 0 0 0 0

0 -0.1496 + 1.4973i 0 0 0

0 0 -0.1496 - 1.4973i 0 0 0 0 0 -0.0638 + 0.1013i 0 0 0 0 0 -0.0638 - 0.1013i

所以A的最大特征根为：v=5.4269

其对应特征向量为： 1=[0.5848 0.7289 0.2875 0.2027 0.0532] 归一化后得权向量为：W=[0.3149 0.3925 0.1548 0.1091 0.0287] 接下来对A进行一致性检验:

一致性指标CI=(v-n) (n-1)=0.106725

一致性比率：CR=CI RI =0.095<0.1（其中RI参考《数学模型》高等教育

出版社P228，知当n=5时，RI=1.12）

所以一致性检验通过，即可用特征向量作权向量

0.1944 0.0611

0.2500

0.1389C=

0.0556

0.1185 0.1852 0.0074

0.0358

0.03580.03580.13130.07160.24580.19810.24580.10210.14230.16780.08640.07470.09810.24520.08340.09430.09430.09430.17730.09430.09410.09410.2571

7/240 0 1/80

11/60

1/24 21/60 7/60

4/15

C的行向量为各个区域在每个评价指标（C1—C5）下的评价数据 记向量B为各个区域网点数占总网点数的权重，其各分量计算式如下：

B=CW’

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将其归一化后得：

B=[0.100040.065500.129190.133090.068590.169430.18740.14716]

五、 求解模型

第一题

①、网点分析

对于现有网点布局根据以上计算的区域权重，每个区域的网点个数记 为U=17 B=[1.7 1.1 2.2 2.3 1.2 2.9 3.2 2.5]

各区域车辆数记为向量H=600 B=[61.3 39.4 77.64 79.98 41.22 98.34

113.22 88.44]

由以上讨论知U可看作各个区域网点数的数学期望，所以评价各区域网点个数分

(Ni Ui)2布的标准可记为j= ,j表示各个区域中网点数偏离数学期望的程

Uii 1

8

度，j越小，偏离程度越小，网点布局越优化，故 ji表示评价该城区整体网点

i 1

8

布局的优化标准。Ni表示现第i个区域的现有网点数。

定理（Pearson）：不论总体服从什么分布，Pearson 统计量 =

2

2

k

i 1

(fi npi)2

npi

的近似分布是 2（k-r-1），其中r是被估计参数的个数。

由皮尔逊定理知，j是服从卡方分布的， 1 (k 1),取定α=0.05，将现有网点数据带入j=3.485> 1 0.052(8 1) =2.17，说明偏离程度太大，故现有网点分布不合理。

对比现有网点分布及以上讨论，分析其具体原因：

2

T显然，在T2、T3、T5、T6、8区域网点分布与所讨论的评价标准有明显出入，

对于T2，面积比较大，现有网点系统未对其分布网点，即忽略了面积因素，然而系统评价标准中面积占15.48%的比重。 对于

T3交通枢纽数及面积因素都比较大，而现有网点亦未考虑这两者的比重，

T3类似。

从而对其分布网点较少。 对T5，分析同T2、

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对于

T6，面积比较小，现有网点分布网点数较多，主要考虑了人口流量因素，

T8，人口密度较大，所以其网点分布在同等因素下应比其它区域网点分布

然而弱化了交通枢纽及面积因素，所以导致分布不合理。 对于

较多。

②、车辆数分析：

在现有网点合理的前提下讨论各网点车辆数分布是否合理

构造以上因素的成对比较矩阵得：

143/5

1/411/9S=

5/391

利用matalab计算S的特征值和特征向量：

>> [x r]=eig(S) x =

-0.4744 -0.2372 - 0.4108i -0.2372 + 0.4108i -0.1073 -0.0536 + 0.0929i -0.0536 - 0.0929i -0.8738 0.8738 0.8738

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r =

3.0100 0 0 0 -0.0050 + 0.1736i 0 0 0 -0.0050 - 0.1736i 所以各因素对车辆数的权向量为：

2=[0.3259;0.0737;0.6003]

接下来对S进行一致性检验: 最大特征值为λ=3.0100 一致性指标：CI=0.005

一致性比率：CR=0.0086<0.1 显然，通过一致性检验 各网点车辆数分布比重为：

g=a*S=[0.0794 0.0871 0.0435 0.0460 0.0434 0.0620 0.0862 0.0403

0.0531 0.0548 0.0535 0.0726 0.0442 0.0731 0.0534 0.0575 0.0498]（其中a为表二所对应17 3矩阵）

将600辆车按该权重得各网点车辆数的数学期望为：

J=600*g=[47.6409 52.2751 26.0767 27.6295 26.0416 37.1842 51.7364

24.1840 31.8306 32.8895 32.1237 43.5700 26.5344 43.8406 32.0136 34.5149 29.8898]

由以上讨论知J可看作各个网点车辆数的数学期望，所以评价各网点车辆分布的

(Mi Ji)2标准可记为r= ,r表示各个网点车辆数偏离数学期望的程度，r越

Ji 1i

17

小，偏离程度越小，网点车辆数布局越优化，故r表示评价该城区各个网点车辆布局的优化标准。Mi表示现第i个网点的现有车辆数。

由皮尔逊定理知， r是服从卡方分布的， 1 (k 1),取定α=0.05，将现有各个网点车辆数据代入r=40.5> 1 0.05(17 1) =26.2962，说明偏离程度太大，故现有各个网点车辆数分布不合理。

对比现有各网点车辆数分布及以上讨论，主要有1、2、3、12、15、16号网点车辆数分布明显不合理，分析其具体原因：

对1、2号网点，在我们的评价体系中，人口密度占60%，比重比较大，然而该网点车辆数明显高于其期望值，即过大提高了人口密度比重。 对3、12号网点，现有网点分布车辆数较多，是因为该网点距离超市和地铁较近，导致人口流量较大，但在我们的体系中，人口流量仅占32.59%，因而不合理。 对15、16号网点，其周围交通枢纽数较多，所分配车辆数应较多。

2

2

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第二题

网点增加到100个，车辆数增加到3600个，则有上题讨论知每个区域内的 网点数D=100*B=[10 6 13 13 7 17 19 15 ]

车辆数E=3600*B=[360 236 465 479 247 610 675 530] >> D=[10 6 13 13 7 17 19 15 ]'; >> 2=[0.3259;0.0737;0.6003]; >> F=D* 2’

F =

3.2590 0.7370 6.0030 1.9554 0.4422 3.6018 4.2367 0.9581 7.8039 4.2367 0.9581 7.8039 2.2813 0.5159 4.2021 5.5403 1.2529 10.2051 6.1921 1.4003 11.4057

4.8885 1.1055 9.0045

将F整数化后得 F1 =

3 1 6 2 0 4 4 1 8 4 1 8 2 1 4 6 1 10 6 1 11 5 1 9

>> K=E* 2’

K =

117.3240 26.5320 216.1080 76.9124 17.3932 141.6708 151.5435 34.2705 279.1395 156.1061 35.3023 287.5437 80.4973 18.2039 148.2741

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198.7990 44.9570 366.1830 219.9825 49.7475 405.2025 172.7270 39.0610 318.1590

将G整数化 G1 =

117 27 216 77 177 142 152 34 279 156 35 288 80 18 148 199 45 366 220 50 405 173 39 318

>> K1=G1./F1 K1 =

39.0000 27.0000 36.0000 38.5000 Inf 35.5000 38.0000 34.0000 34.8750 39.0000 35.0000 36.0000 40.0000 18.0000 37.0000 33.1667 45.0000 36.6000 36.6667 50.0000 36.8182 34.6000 39.0000 35.3333

对K1做适当修整得 K1 =

39 27 36 39 0 35 38 34 35 39 35 36 40 18 37 33 45 36 37 50 36 35 39 35

各区域内依据人口密度、交通枢纽、人口流量的差异分布网点数及车辆数。例如区域T1，100个网点中可分得10网点，在其中人口密度按权重 2适当大的地方安置3个网点，这三个网点中车辆数平均分配，交通枢纽适当大的地方放1网点，

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按人流量适当大的地方安放6个网点，6个网点中车辆数平均分配。

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第三题，多目标线性模型

考虑资金有限，即在有限资金下达到网点车辆分布最优化，可用多目标线性规划模型。

记Xi表示第i个区域网点数,X表示总的网点数，Yi表示第i个区域车辆数，Y表示总车辆数，Qi表示Ti区域的人流量，Pi

Yi

表示各个区域人均车辆数，当PiQi

趋于1时可以最大程度满足居民要求。由于主要居民区网点平均间距500米，可算得网点数应在70左右且越接近70，该平均效果越好。 约束条件为：5000X+300Y 1.1 105

18 X 193（根据网点间距在300~1000米计算得） Y Yi Bi 0 Pi 1 目标函数：求Pi最大值 求X 的最小值

计算各具体值后整理得： 5000X+300Y 1.1 105

18 X 193 0 Y 5216

利用matalab软件计算得最优解为

>> f=[0,-0.0001514]'; >> a=[5000,300;1,0;0,1]; >> b=[1100000,193,5216]'; >> ib=[0,0];

>> [x,fval]=linprog(f,a,b,[],[],ib) x =

1.0e+003 *

0.0000 3.6356

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fval =

-0.5504

>> f=[0,-0.0001514]';

>> a=[5000,300;1,0;0,1;-1,0]; >> b=[1100000,193,5216,-18]'; >> ib=[0,0];

>> [x,fval]=linprog(f,a,b,[],[],ib) x =

1.0e+003 *

0.0180 3.3363

fval =

-0.5051

>> H=[2,0;0,0]; >> c=[-140,0];

>> a=[5000,300;1,0;0,1;-1,0]; >> b=[1100000,193,5216,-18]'; >> ib=[0,0];

>> [x,fval]=quadprog(H,c,a,b,[],[],ib) x =

18 0

fval =

-2196

>> a=[5000,300;1,0;0,1;-1,0]; >> b=[1100000,193,5216,-18]'; >> x0=[1;1];

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>> x=fmincon('((x(1)^2-140*x(1)-7096)^2+(0.0001514*x(2)-0.5051)^2)^(1/2)',x0,a,b) x =

18 1

即网点数为18，车辆数为3336辆最优

按每个区域的权重分配和网点数和车辆数为：

按照题二的办法将每个区域网点按人口密度及人口流量分为2类，各因素权重由

2归一化得m=[0.3519 0.6418],得各区域网点及车辆数分布如表六、表七

表六：各区域网点分布

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表七：各个网点车辆数

六、参考书目

[1] 峁诗松 《概率论与数理统计教程》 高等教育出版社 2004北京 [2] 姜启源 《数学模型》 高等教育出版社 2003北京 [3] 张德丰 《数值分析与应用》 国防工业出版社 2007北京 [4] 吴建国 《数学建模案例精编》 中国水利水电出版社 2005北京

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1tk4.html