高考数学一轮复习课时检测 第七章 第四节 直线 理

第七章 第四节 直线、平面平行的判定及性质

一、选择题

1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的( )

A．l∥α C．l与α相交但不垂直

B．l⊥α

位

置

关

系

是

D．l∥α或l?α

解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l?α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．

答案：D

2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已

知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是

( )

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； ②BC∥平面A′DE；

③三棱锥A′-FED的体积有最大值． A．①

B．①② D．②③

C．①②③

解析：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC， ∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上． ②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.

③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-FED的体积达到最大． 答案：C

3．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，

n?γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.

可以填入的条件有 ( ) A．①或② C．①或③

B．②或③ D．①或②或③

解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m?γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．

答案：C

4．(2012·荆州模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、

z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，

其

中

使

“x⊥

z且y⊥z?x∥y”为真命题的是

( )

A．③④ C．②③

B．①③ D．①②

解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确． 答案：C

5．(2012·大连模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：

①若m?α，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；

其中真命题的个数是 ( )

A．1 C．3

B．2 D．0

解析：①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n可在平面内；

答案：D

6．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都( )

A．只有1条 C．只有4条

B．只有2条 D．有无数条

平

行

的

直

线

解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．

答案：A 二、填空题

7．(2012·会宁模拟)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：

①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，则α∥β； ②若l?α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m； ③若α∥β，l∥α，则l∥β； ④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.

其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．

解析：当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l∥α，则l?β或l∥β，③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又α∥β，∴m⊥β，④正确，故填②④.

答案：②④

8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1

的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD3上，则PQ＝____________.

解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

aaa2a∴MN∥PQ.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP＝，∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，∴PQ333

22

＝a.

3

答案：22

a 3

9．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α； ④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α. 其中正确命题的序号是________．

解析：①如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面

DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但

平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.

同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．

答案：②③ 三、解答题

10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.

求证：EF∥平面ABCD.

证明：分别过E、F作EM∥BB1，FN∥CC1，分别交AB、BC于点M、

N，连结MN.

因为BB1∥CC1， 所以EM∥FN.

因为B1E＝C1F，AB1＝BC1， 所以AE＝BF.

由EM∥BB1得

AEEM＝， AB1BB1BFFN＝. BC1CC1

由FN∥CC1得所以EM＝FN，于是四边形EFNM是平行四边形． 所以EF∥MN.又因为MN?平面ABCD， 所以EF∥平面ABCD.

11.如图，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：(1)E、F、G、H共面； (2)平面EFGH∥平面α.

证明：(1)∵E、H分别是AB、DA的中点， 1

∴EH∥BD且EH＝BD.

21

同理，FG∥BD且FG＝BD，

2∴FG∥EH且FG＝EH.

∴四边形EFGH是平行四边形，即E、F、G、H共面． (2)平面ABD和平面α有一个公共点A， 设两平面交于过点A的直线AD′. ∵α∥β，∴AD′∥BD. 又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′. ∴EH∥平面α，

同理，EF∥平面α，

又EH∩EF＝E，EH?平面EFGH，

EF?平面EFGH，

∴平面EFGH∥平面α.

12．(2012·黄山模拟)如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

证明：存在．证明如下：取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD.

设BD∩AC＝O. 连接BF，MF，BM，OE.

∵PE∶ED＝2∶1，F为PC的中点，M是PE的中点，E是MD的中点，∴MF∥EC，BM∥OE.

∵MF?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC， ∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC. ∵MF∩BM＝M， ∴平面BMF∥平面AEC. 又BF?平面BMF， ∴BF∥平面AEC

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