(0838)《计算机数学基础》网上作业题及答案

[0838]《计算机数学基础》网上作业及答案

1：[论述题] 一﹑填空题 1．limsinx? . x??x2．已知y?xsinx，则dy = . 3．曲线y?1?lnx在点(e, 2)处的切线方程是 . 4．级数

11111??????的通项un = . 261220305．微分方程5y'?3y?0的通解为 . 二﹑单选题

un . 1．若limun?a，则limn??n??(A)存在 (B)不存在

(C) =a，当a?0时 (D) =a，当un?0,n?1,2,.

?ex,x?02．要使函数f(x)??在(??,??)上连续，则a= .

?a?x,x?0(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2. 3．设z = x2 – 2y, 则

?z= ( ). ?x(A) 2x -2y (B) 2x (C) -2y (D) -2

4．空间直角坐标系中，与xOy坐标面距离为m(m > 0)的平面方程为 .

(A) x??m (B) y??m (C) z??m (D) xy??m

5. 设f(x)是随机变量X的密度函数，则不正确的是 .

(A)f(x)?0. (B) (C)

?????f(x)dx?1.

?0??f(x)dx?b1. (D) P{a?X?b}??f(x)dx.

a2三、计算题

?a?1. 求极限lim?1??,a?0.

x???x?2. 求函数y?sin(lnx)的导数.

x3. 求积分

?21x1?lnx1dx.

四、综合题或证明题

- 1 -

讨论函数f(x)?

参考答案：

?x0xe?xdx的极值.

2一、填空题

1. 0

2. (sinx + xcosx)dx 3. y = x/e +1 4.

1

n(n?1)3x55. y?Ce 二﹑单选题 DBBCC

三、求下列各极限 Solution

x??aa?a???1. lim?1???lim??1????ea.

n??n???x?x??????xa2. y'?cos(lnx)?3.

1. x?211d(1?lxn1?lxn2).

?lxn?1 ??21?2(?1l?n21)2四、Solution

f?(x)?xe?x在(??,??)上存在，

2 令f?(x)?0,即xe?x?0,只能x?0.

?f(x)在(-?,+?)上只有一个驻点.

f??(x)?e?x?2x2e?x,f??(0)?10

22 ?x?0是f(x)在(??,??)上的唯一极小值

1：[论述题] 一、填空题

- 2 -

1．limsinx? .

x?0xx???2．已知函数f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)存在，则f(x) . 3．若limun?a，则limun= .

n??n??dxf(t)dt= . 4．设a为常数，则

dx?a5. 二重积分

??D(x2?y2)dxdy = ，其中D是矩形区域：-1 ? x ? 1，-1 ? y ? 1.

二﹑单选题

1．极限limx?0x . x(A)存在 (B)不存在 (C) =1 (D) = -1

2．微分方程5y'''?3xyy''?x4y?y3的阶是 .

(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 4 3．若z?sin(xy), 则

??2?z= . ?x(A) xsin(xy). (B) ysin(xy). (C) xcos(xy). (D) ycos(xy). 4． ? e.

11x(A)lim(1?) (B)lim(1?x)x

x?0x??x1x?a(C)lim(1?x?a)x?a (D)lim(1?x?a1x?a) x?a5．下列式子中，不正确的是 .

(A) E(C)?C (B) D(C)?C

(C) E(CX)?CE(X) (D) D(CX) = C2D(X).

三、计算题

1. 求极限lim?2??1. ?2?x?11?x1?x??22. 求函数y?sin(2x?1)导数 3. 求积分

?xcosxdx.

01四、综合题或证明题

- 3 -

?arctanx已知函数f(x)?x，讨论函数f(x)的单调区间，凹凸区间，判断是否

有极值点，拐点，若有试求出.

参考答案：

一、填空题 1. 1

2. 有界 3. |a| 4. f(x)

85.

3二﹑单选题

BCDDB

三、求下列各极限 Solution

x?1x?12?2??1?1?xlimlim1. lim?= = = = - ?lim????2222x?1x?1x?11?xx?11?x(1?x)(1?x)1?x?1?x???1?x111lim??. = - x?11?x1?122. y'?2sin(2x?1)?cos(2x?1)?2?2sin2(2x?1).

3.

?10xcosxdxu?xdv?cosxdx1?[xsinx]10??sinxdx?sin1?(?cosx)0?sin1?cos1?1

01四、

Solution f(x) = x + arctanx的定义域(-?, +?).

1 而f'(x)?1?> 0单调增，无极值点， 21?x 又因为f''(x)??2x，于是当x <0时，曲线f(x)凸；当x >0时，

(1?x2)2曲线f(x)凹，进而(0, 0)是拐点.

1：[论述题]

一、填空题

1、若 f?x?3??x?x?3?，则f?x?? . 2、由方程xy?ex?y所确定的隐函数的导数

dy? . dx3、函数f(x)?x?ln(1?x)的单调增区间是 .

- 4 -

4、

1?x(lnx)2dx? .

5、微分方程xy'?y?x3的通解为 . 二、单项选择题

1、函数y = 3x2 + 1的单调递增区间为 . (A) (-?, +?) (B) (-?, 0) (C) (0, +?) (D)(-4, 4).

x，则f'(x) = . 11(A) ln2? (B)

2x2x211(C) (D) ?

22xx?x?3、设f(x)?e2x，则不定积分?f??dx = .

?2?x(A) f(x)?C (B) e?C

2x2x(C) 2e?C (D) e?C

2、设f(x)?ln2?4、二重积分1.

(A) 3. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 5、设X ~ N(1, 22)，则D(X) = ( ). (A) 4 (B) 16 (C) 2 (D) 1.

?xy?1-??dxdy= ，其中D是矩形区域：-2 ? x ? 2，-1 ? y ? ??D??43?三、计算题

1、求函数y?2、求积分

x1?x2的导数.

?π 0sinx?sin3xdx.

1nx的收敛半径和收敛域. ?n!n?0?3、求幂级数

四、证明题或综合题

求曲线y?面积最小.

参考答案：

x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x = 0,x = 2所围成的平面图形

一、

ex?y?y1. x(x?3) . 2.. 3.(0,?).

x?ex?y- 5 -

4.?11?C. 5. y?x3?Cx. lnx2二、

CBBDA

三、

?x1. Solution y???2?1?x' ??1?x2?x'?x?(1?x2)'?? ?22(1?x)?x1?x2?1?x?1?x2

'(1?x2)223 ?(1?x2)2?x?x(1?x)123

32 ?(1?x)?(1?x)2?.

2. Solution

?? 0sinx?sinxdx???sinx?cosxdx3 0?12???sinx?cosxdx???sinx?cosxdx

2 0 2?12??124?.3xn?1|||an?1xn?1||x|(n?1)!?lim?lim?0?1，3. Solution因为由lim于是x 可任意取值. nn??|axn|n??n??(n?1)xn||n!?1n所以所给幂级数?x的收敛半径R = ?, 收敛域为(-?, +?).

n?0n!

四、Proof 设切点的坐标为(a,a),y??12x,故切线方程为

y?a?12a(x?a), 即y?12ax?a， 22?1aS???x??0?2?2a?142x?dx??a?， ?3a?- 6 -

4.?11?C. 5. y?x3?Cx. lnx2二、

CBBDA

三、

?x1. Solution y???2?1?x' ??1?x2?x'?x?(1?x2)'?? ?22(1?x)?x1?x2?1?x?1?x2

'(1?x2)223 ?(1?x2)2?x?x(1?x)123

32 ?(1?x)?(1?x)2?.

2. Solution

?? 0sinx?sinxdx???sinx?cosxdx3 0?12???sinx?cosxdx???sinx?cosxdx

2 0 2?12??124?.3xn?1|||an?1xn?1||x|(n?1)!?lim?lim?0?1，3. Solution因为由lim于是x 可任意取值. nn??|axn|n??n??(n?1)xn||n!?1n所以所给幂级数?x的收敛半径R = ?, 收敛域为(-?, +?).

n?0n!

四、Proof 设切点的坐标为(a,a),y??12x,故切线方程为

y?a?12a(x?a), 即y?12ax?a， 22?1aS???x??0?2?2a?142x?dx??a?， ?3a?- 6 -

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