2015年江苏泰州市高三二模数学(文理通用)试卷及评分标准

2015年4月1日新鲜出炉,精校word版,分值160分,文理通用。包括试题及评分标准。原创题。实用性强!

2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 龚才权 丁连根 审题人：丁凤桂 石志群

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． （参考公式：柱体体积公式为V Sh）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1.若复数(a 2) i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a． 2.已知集合A 1,2,4 ，B a,4 ，若A

B {1,2,3,4}，则AB ．

3.某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样 的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．

x2y2

1的渐近线方程为y 4.已知双曲线x，则m ． 4m2

5.执行右边的伪代码后，输出的结果是

6.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为．

7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此 点到圆心的距离大于

11

，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末24

打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ． 8.在等比数列{an}中，已知a3 4,a7 2a5 32 0，则a7 9.已知函数y

x2 2x a的定义域为R，值域为[0, )，则实数a的取值集合为

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x y 4 0

10.已知实数x,y满足 2x y 1 0，则z x y 3的取值范围是 ▲ ．

x 4y 4 0

11.

设函数f(x) πx

ππ

)和g(x) sin( πx)的图象在y轴左、右两侧靠近y 36

轴的交点分别为M、N，已知O为原点，则OM ON 12.若斜率互为相反数且相交于点P(1,1)的两条直线被圆O：x2 y2 4所截得的弦长之

▲ ． 13. 若函数f(x) (x 2)2x a在区间[2,4]上单调递增，则实数a的取值范围是

14. 在 ABC中，D为边AC上一点，AB AD 4,AC 6，若 ABC的外心恰在线段

BD上，则BC ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）

已知向量a ( 1，b (2cos ,2sin )，0 π． 2（1）若a∥b，求角 的大小； （2）若a b b，求sin 的值． 16.（本题满分14分）

如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE BE，点M,N分别是AE,CD的中点．

（1）求证： MN∥平面BCE； （2）求证：平面BCE 平面ADE．

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17.（本题满分14分）

如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m．在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切． （1）当P距O处2百米时，求OQ的长；

（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．

18.（本题满分16分）

x2y2

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2 2 1(a b 0)的左顶点为A，与x轴

ab

平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E （1）求椭圆E的标准方程；

（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求 BCD面积的最大值．

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19.（（本题满分16分）

已知an ，bn ，cn 都是各项不为零的数列，且满足a1b1 a2b2

anbn cnSn，

n N ，其中Sn是数列 an 的前n项和， cn 是公差为d(d 0)的等差数列．

（1）若数列an 是常数列，d 2，c2 3，求数列bn 的通项公式； （2）若an n（ 是不为零的常数），求证：数列bn 是等差数列；

（3）若a1 c1 d k（k为常数，k N），bn c2,n )N ，求证：对任意nk (n 的n 2,n N ，数列{

20.（本题满分16分）

x

己知f(x) e alnx a，其中常数a 0．

bn

单调递减． an

（1）当a e时，求函数f(x)的极值；

（2）若函数y f(x)有两个零点x1,x2(0 x1 x2)，求证：（3）求证：e

2x 2

1

x1 1 x2 a； a

ex 1lnx x 0．

2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学参考答案

一、填空题

1．2 ； 2．{4}； 3．16； 4．2； 5．28； 6．3； 7．

3

； 8．64； 9．{1}； 10．[1,7]； 16

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11．

81

； 12． 9或 ； 13． ( ,2][5, )； 14

．. 99

二、解答题

15. 解：(1) 因为a//b

，所以

1 2sin

2cos ，即 sin ，

22

2

π． ……………７分 3

2

所以tan 又0 π，所以

(2)因为a b b，所以(a b)2 b2，化简得a 2a b 0，

又a ( ,

1，b (2cos ,2sin )，则a

2 1，a b cos ，

22

1π1

，则sin( ) 0， ……………10分 264

cos

又0

π，cos( )

π6， 4

所以sin

sin[( )

π6πππππ] sin( )cos cos( )sin ． 66666……………14分

16. 证：（1）取BE中点F，连接CF,MF， 又M是AE中点，则MF//AB,MF 又N是矩形ABCD边CD中点，

所以MF//NC,MF NC，则四边形MNCF是平行四边形，

所以MN//CF，又MN 面BCE，CF 面BCE，所以MN∥平面BCE．…７分

（2）因为平面ABCD 平面ABE，BC AB，所以BC 平面ABE， 因为AE 平面ABE，所以BC AE，

又AE BE，BC BE B，所以AE 平面BCE，

而AE 平面ADE，所以平面BCE 平面ADE． ……………14分 17. 解：以O为原点，直线l、m分别为x,y轴建立平面直角坐标系．

1

AB， 2

设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的

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方程为x2 (y 1)2 1， (1)由题意可设直线PQ的方程为

xy

1，即qx 2y 2q 0，(q 2) ， 2q

∵PQ与圆A

8

1，解得q ，

38

百米． ……………5分 3

故当P距O处2百米时，OQ的长为（2）设直线PQ的方程为

xy

1，即qx py pq 0 ，(p 1,q 2)， pq

2

1，化简得p

∵PQ与圆A相切，

qq

Q2 p2 q2 ，则P

q 2q 2

2

，

……8分

q22(q 1)(q2 3q 1)2

q(q 2)，∴f (q) 2q 令f(q) (q 2)，

q 2(q 2)2(q 2)2

当2 q

f (q) 0，即f(q

)在上单调递减；

当q

f (q) 0，即f(q

)在 )上单调递增， PQ长最短时，OQ

8

百米；（2）当公路PQ长最短时， OQ的

3

∴f(q

)在q

答：（1)当P距O处2百米时， OQ的长为

百米． ……………14分 ca218. 解：（1

）由题意得

，，

c

a3c5

x2y2

1． 解得a 3,c

，所以b 4，所以椭圆E的标准方程为94

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……………4分

（2）设B(x0,y0),C( x0,y0)，显然直线AB,AC,BD,CD的斜率都存在，设为

k1,k2,k3,k4，则k1

y0y0x 3x 3

，k3 0， ,k2 ,k4 0

x0 3 x0 3y0y0

x0 3x 3

(x x0) y0,y 0(x x0) y0， y0y0

所以直线BD,CD的方程为：y

消去y得

x0 3x 3

(x x0) y0 0(x x0) y0，化简得x 3， y0y0

故点D在定直线x 3上运动． ……………10分

2

x0 3x0 9

（3）由（2）得点D的纵坐标为yD (3 x0) y0 y0，

y0y0

又

x 3xy9y2

(3 x0) y 1，所以x0 9 ，则yD 00 y0944

2

02020

92y0

y 5y， 00y04

所以点D到直线BC的距离h 为yD y0

59

y0 y0 y0， 44

x2y2

1得x 将y y0代入 94119

BC h

y0 224

所以

BCD面积S ABC

22

y0y01 22

12727y0y0 y0

，当且仅当1 ，即y0

222444

号成立，故y0 BCD面积的最大值为

27

． ……………16分 4

19．解：（1）因为d 2，c2 3，所以cn 2n 1， 因为数列an 是各项不为零的常数列，所以a1 a2

an，Sn na1，

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则由Sncn a1b1 a2b2 anbn及cn 2n 1得n(2n 1) b1 b2 bn，

当n 2时，(n 1)(2n 3) b1 b2 bn 1，两式相减得bn 4n 3，

当n 1时，b1 1，也满足bn 4n 3，故bn 4n 3(n N )． …………4分 （2）因为a1b1 a2b2

anbn cnSn，

an 1bn 1，两式相减得Sncn Sn 1cn 1 anbn，

当n 2时，Sn 1cn 1 a1b1 a2b2

即(Sn 1 an)cn Sn 1cn 1 anbn，Sn 1(cn cn 1) ancn anbn，即Sn 1d ncn nbn， 又Sn 1 即

(n 1)

2

(n 1)

n(n 1)

2

，所以

n(n 1)

2

d ncn nbn，

(n 1)

d cn bn， 2

(n 2)3

d cn 1 bn 1，两式相减得bn bn 1 d(n 3)， 所以当n 3时，

22

3

所以数列 bn 从第二项起是公差为d等差数列；

2

又当n 1时，由S1c1 a1b1得c1 b1，

(2 1)133

d c2 d (c1 d) b1 d得b2 b1 d， 22223

故数列 bn 是公差为d等差数列． …………15分

2

当n 2时，由b2

（3）由（2）得当n 2时，Sn 1(cn cn 1) ancn anbn，即Sn 1d an(bn cn)， 因为bn cn k，所以bn cn kd，即bn cn kd，所以Sn 1d an kd，即Sn 1 kan， 所以Sn Sn 1 an (k 1)an，

当n 3时，Sn 1 (k 1)an 1，两式相减得 an (k 1)an (k 1)an 1，

k 1

an 1，故从第二项起数列 an 是等比数列， k

k 1n 2

)， 所以当n 2时，an a2(k

即an

bn cn k cn kd c1 (n 1)k k2 k (n 1)k k2 k(n k)，

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另外由已知条件得(a1 a2)c2 a1b1 a2b2，又c2 2k，b1 k，b2 k(2 k)， 所以a2 1，因而an (

k 1n 2bdba(n k 1)k

)，令dn n，则n 1 n 1n ， kdnan 1bn(n k)(k 1)an

因为(n k 1)k (n k)(k 1) n 0，所以

dn 1

1，所以对任意的n 2,n N ，数dn

列{

bn

单调递减． ……………16分 an

x

20. 解：函数f(x)的定义域为(0, )，

（1）当a e时，f(x) ex elnx e，f (x) e 而f (x) e

x

e， x

e

在(0, )上单调递增，又f (1) 0， x

当0 x 1时，f (x) f (1) 0，则f(x)在(0,1)上单调递减；

当x 1时，f (x) f (1) 0，则f(x)在(1, )上单调递增，所以f(x)有极小值

f(1) 0，没有极大值． …………3分

（2）先证明：当f(x) 0恒成立时，有 0 a e成立． 若0 x

1

，则f(x) ex a(lnx 1) 0显然成立； e

x

x

1

ex(lnx 1 )

1ee， 若x ，由f(x) 0得a ，令 (x) ，则 (x)

(lnx 1)2elnx 1lnx 11111

(x )，由g (x) 1 2 0得g(x)在(, )上单调递增， xexe

11

又因为g(1) 0，所以 (x)在(,1)上为负，在(1, )上为正，因此 (x)在(,1)上递

ee

令g(x) lnx 1

减，在(1, )上递增，所以 (x)min (1) e，从而0 a e． 因而函数y f(x)若有两个零点，则a e，所以f(1) e a 0，

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由f(a) ea alna a(a e)得f (a) ea lna 2，则

f (a) ea

111

ea e 0， aee

所以f (a) ea lna 2在(e, )上单调递增，所以f (a) f (e) ee 3 e2 3 0， 所以f(a) ea alna a在(e, )上单调递增，所以

f(a) f(e) ee 2e e2 2e 0，则f(1)f(a) 0，所以1 x2 a，

111111

由a e得f() ea aln a ea alna a ea alne a ea 0，则

aa

111

f(1)f() 0，所以 x1 1，综上得 x1 1 x2 a． …………10分

aaa

x

（3）由（2）知当a e时，f(x) 0恒成立，所以f(x) e elnx e 0，

x

即f(x) e elnx e， 设h(x)

x1 x

(x 0)h(x) ，则， xx

ee

当0 x 1时， (x) 0 ，所以g(x)在(0,1)上单调递增； 当x 1时，h (x) 0，所以g(x)在(1, )上单调递增，

x1x1x

(x 0)h(1) e， 的最大值为，即，因而xxx 2eeeee

xx2x 2

所以f(x) e elnx e x 2，即f(x) e ex 1lnx x 0． …………16分

e

所以h(x)

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