式、反比例函数、数据统计教材分析

第十六章《分式》教材分析

执笔人：武汉市翠微中学 陈浩

一、教科书内容和课程学习目标

（一）教科书内容

全章共包括三节：《16．1 分式》、《16．2 分式的运算》、《16．3 分式方程》。 其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。

（三）课程学习目标

本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：

1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。

（1）分式的概念

例1（汉阳区期中考试题）代数式x

π，2x ，m n m n +-，4

x 中，其中是分式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 例2（江岸区期中考题）在下列各式中：2

a ，3x ，4π，c a

b -，22

ab a b -，分式有（ ） A ．3 B ．4 C ．5

D ．2 （2）分式有无意义

例1（2009²常德）要使分式

11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠ B ．1x ≠-

C ．0x ≠

D ．1x > 例2（2009²清远）当x = 时，分式12

x -无意义． 解析：若分母不为0，则分式有意义；若分母等于0，则分式无意义．反之亦然．根据

分式有无意义的条件，可轻松得出答案：例2的答案是B ，例3的答案是2. 例3 （江岸区期末考试题）如果分式

11x x -+有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＞－1 C ．x ≠1 D ．x ≠－1

例4（江岸区期中考试题）分式1

3x -有意义，则x 的取值范围是（ ）

A ．x ＞3

B ．x ＜3

C ．x ≠3

D ．x ≠－3

例5（硚口区考试题）分式1

21-x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.12x = B.12x ≠ C.0x ≠ D.12

x ≠- 例6（青山区考试题）使分式4

22-x x 有意义的条件是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≠－2 C ．x ＝±2 D ．x ≠±2

（3）分式的值为0。

例1（汉阳区期中考试题）如果分式22

+-a a 的值为0，则a 的值是( )

A ． 1±

B ．2

C ． 2-

D ．以上全不对

例2 (2009²安顺)已知分式11

x x +-的值为0，那么x 的值为______________． 解析：分式的值为0，应满足两个条件，即分子等于0的同时，分母不为0．∴x+1=0，x-1≠0，∴x=-1．特别提醒：分式的值为0，必须在分式有意义的前提下．

【同类中考试题】

1．（2009²重庆綦江）在函数13

y x =

-中，自变量x 的取值范围是 ．3x ≠ 2．（2009²黔东南州）当x______时，1

1+x 有意义．1-≠ 3、(2009²肇庆)若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ）A A ．3 B ．3- C ．3± D ．0

4、（2009²天津市）若分式22221

x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．2 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。

一、分式的通分与约分

例1（汉阳区期中考试题）下列式子计算正确的是( )

A ．022=++y

x y x B ．1-=-+-y a y a C ．x z y x z x y -+=+-

D ．0=+--=+--a d c d c a d c a d c 例2（2009²荆门）计算2

2()ab a b

-的结果是（ ） A ．a B ．b C ．1 D ．－b

解析：本题考查积的乘方运算与分式的约分，()

22222ab a b b a b a b

-==，故选B ． 例3（2008²恩施州）请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

ｘ2－4ｘｙ＋4ｙ2 ｘ2－4ｙ2 ｘ－2ｙ

例4（2009²长沙）分式111(1)

a a a +++的计算结果是（ ） A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a

+ 解析：本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．a

a a a a a a a a 1)1(1)1(1)1(1=++=++++=原式．故选C ． 【同类中考试题】

1、（2009²淄博）化简22

2a b a ab

-+的结果为（ ）B A ．b a - B ．a b a - C ．a b a

+ D ．b - 2、（2009²吉林）化简

2244xy y x x --+的结果是（ ）D A ．2x x + B ．2x x - C ．2

y x + D ．2y x - 3、（2009²深圳）化简6

2962-+-x x x 的结果是（ ）D A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．2

3-x 4．（2009²滨州）化简：22

22444m mn n m n

-+-= ．n m n m 22+- 5、若实数x y 、满足0xy ≠，则y x m x y =+的最大值是 ．

6、（2009²枣庄）a 、b 为实数，且ab =1，设P =

11a b a b +++，Q =1111

a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）．

3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。

例1（2009²长春）先化简，再求值：212111

x x x x -+-+，其中2x =。 解析：原式=()1111112

+-=+-?-x x x x x ，当x=2时，原式=31121211=+-=+-x x ．本题意在说理，题型新颖活泼，化简时，除法运算应转化为乘法运算，运算过程中，能约分的一定要约分．

例2（期中考试题）（1）22281644

x x x x x -++?+- （2）200902111)()2---+-+（）

【同类中考试题】

1、（2009²青岛）化简：2211x x x x

+-÷； 原式21(1)(1)

x x x x x +=+- 1x x =-．

2、(2009²安顺)先化简，再求值：244(2)24x x x x -+?+-，其中x =

原式=242x -，当

x ==0.5.

3、（2009²黄石）先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a --+÷++++其中a =

原式=2(6)(6)2(5)5(5)6(6)a a a a a a a a +-+++-+2a =．当a ==． 二、分式的加减

例2 （2009年株洲市）先化简，再求值：23393x x x ++--，其中1x =-．

解析：23393x x x ++--=3(3)(3)x x x ++-+33x -=43

x -， 当1x =-时，原式1=-． 【同类中考试题】

1、（2009²舟山）化简：2111

x x x x -+=++ ．1 2．（2009²邵阳）已知22

2222

2xy x y M N x y x y +==--、，用“+”或“-”连接M N 、，有三种不同的形式：M N M N N M +--、、，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y =5∶2． 选择：22222222()()()xy x y x y x y M N x y x y x y x y x y

++++=+==--+--，当x ∶y =5∶2时，52x y =，原式=57253

2

y y y y +=-． 3．（2009²山西）化简：222242

x x x x +--- 原式=()()()22222

x x x x x +-+--=222x x x ---=1． 三、 分式的混合运算

例3 (2009²肇庆)已知20082009x y ==，，求代数式22x y xy y x x x ??--÷- ???

的值． 解析：22x y xy y x x x ??--÷- ???

222x y x xy y x x --+=÷2()x y x x x y -=?- 1x y =-， ∵20082009x y ==，，∴原式11120082009

x y ===--- 例2（汉阳区期中考试题）先化简代数式，然后求代数式的值：（1）先化简，再求值：

??? ?

?+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x ． 【同类中考试题】

1、（2009 ²大兴安岭）先化简：???? ??++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，请你为a 任

选一个适当的数代入求值． 原式22

()()2()()a b a b a ab b a a b a

+-++=÷-= 2()a b a a a b +=?+ 1a b =+， a 的取值注意满足（0≠a 、1±≠a ）．

2、（2009²益阳）先化简，再求值：)(22

2y x y

x y x +-+-，其中31,3-==y x ． 原式=)(2))((y x y

x y x y x +-+-+ =y x y x 22---=y x 3--，当31,3-==y x 时 原式=)3

1

(33-?--=2-． 3、（2009²崇左）已知2

20x -=，求代数式22

2(1)11x x x x -+-+的值． 原式=22

(1)(1)(1)1

x x x x x -+-++=2111x x x x -+++=211x x x +-+，220x -=，22x ∴=，∴原式

211x x +-=+，∴原式=1． 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。

5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。

一、分式方程问题

例1（汉阳区期中考试题）将分式方程1211=--x

x x 去分母后，其中结果正确的是（ ） A ．112=--x B ．112=+-x C ．x x 212=-- D ．x x 212=+- 例2 （2009²襄樊市）分式方程131

x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．－3

解析：方程两边同乘()()31x x --，得()()()113x x x x -=+-，解得3x =-，经检验3x =-是原分式方程的解，故选D ．解简单的分式方程并不难，关键是不要忘了检验，因为解分式方程有时会产生增根．

例3（汉阳区期中考试题）（1）

45151=-+--x x x ；（2）22416222-+=--+-x x x x x ；

【同类中考试题】

1、（2009²山西）解分式方程11222x x x

-+=--，可知方程（ ）D A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解 2、（2009²嘉兴）解方程x

x -=-22482的结果是（ ）D A ．2-=x B ．2=x

C ．4=x

D ．无解 3．（2009²孝感）关于x 的方程

211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ）D A ．a ＞－1

B ．a ＞－1且a ≠0

C ．a ＜－1

D ．a ＜－1且a ≠－2

4.（2009²贺州）解分式方程：16

3104245--+=--x x x x 方程两边同乘)2(3-x ，得 3(54)4103(2).x x x -=+--解这个方程，得x=2 检验：当x=2时，)2(3-x =0，所以x=2是增根，原方程无解．

二、分式方程的应用

例1 （汉阳区期中考试题）比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴出发，到相距16米的银杏树下参加探讨环境保护问题的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度．

例2（2009²宁波市）如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是4-，

2235x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值．

解析：由题意得，

22435x x +=-，解得115x =．经检验，115x =是原方程的解．∴x 的值为115

． 【同类中考试题】 A B

1、（2009²十堰）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？

1、设该厂原来每天加工x 个零件，由题意得：72500100=+x

x 解得，x =50 经检验：x =50是原分式方程的解，答：该厂原来每天加工50个零件．

2、（2009²齐齐哈尔）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价x 元，100000800001000x x

=+，解得：4000x = 经检验：4000x =是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元．（2）设购进甲种电脑x 台，4800035003000(15)50000x x +-≤≤ ，解得610x ≤≤ ，因为x 的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案，（3）设总获利为W 元，(40003500)(3800

3000)((300)1200015W x a x a x a =-+---=-+- 当300a =时，（2）中所有方案获利相同． 此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利

3、（2009²本溪）“五²一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．

（1）求步行同学每分钟．．．走多少千米？

（2）右图是两组同学前往水洞时的路程y （千米）

与时间x （分钟）的函数图象．

完成下列填空：

①表示骑车同学的函数图象是线段 ；

②已知A 点坐标(300)，，则B 点的坐标为（ ）

．

3、设步行同学每分钟走x 千米，则骑自行车同学每分钟走3x 千米。根据题意，得：66403x x =+，110x = ，经检验，110x =是原方程的解答：步行同学每分钟走110

千米．（2）①②(500)，

． 二、本章的编写特点

（一）反映分式和分式方程等概念的实际背景，体现数学概念来自实际、服务于实际。 本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示实际问题中的数量关系；在讨论分式的乘除和加减的过程中，前后安排了涉及容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题；在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。可以看出，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。这样编写的目的主要是反映两重意思：

1．客观世界中有大量的问题需要用数学进行研究，许多数学概念正是在客观实际的需求中产生的；

2．掌握数学知识和方法后，可以能动地运用它们分析和解决大量的实际问题。

上述两方面是符合辩证唯物主义关于理论与实际的关系的观点的，在本套教科书的其他部分也有这样的反映。

人们接受正确的哲学观点需要经历不断加深认识的过程，结合学习的不同阶段渗透辩证唯物主义和历史唯物主义，帮助学生逐步形成正确的世界观和方法论，是数学教育的任务之

一。本套教科书力求体现的一个特点，就是使它成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，使学生通过这面镜子的照射更清楚地认识数学的本来面目、更清楚地认识世界。

本章中安排大量实际问题，也是为更好地体现本套教科书非常重视的一点，即通过分析与解决实际问题，提高学生联系实际地应用数学知识的意识、兴趣和能力，更好地培养他们的创新精神。

（二）通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式

人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程，本章教科书对几个内容的安排正是按照这样的过程展现的。

分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数等表示具体的数值，或者说每个分数表示两个特殊的整数的除法；分式则具有一般的、抽象的意义，例如表示的是一般的倒数，表示的是任意两个数的除法。分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的。在学习本章之前，学生已经对分数有较多的了解，因此本章教科书的另一个编写特点是：在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。在16．1节讨论分式的基本性质、约分、通分和11．2节讨论分式的四则运算时，教科书通过多次的“观察”“思考”，进行上述类比，温故而知新，完成知识的深化。希望读者能细心体会这样安排的良苦用心，教学中充分发挥知识之间正向迁移的积极作用。

（三）分析分式方程的特点，明确指出解分式方程的基本思路

在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加，人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。

本章最后的第16．3节“分式方程”，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。教科书注意在这里要体现出解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，是在原来已经认识的解方程的基本思路──使方程逐步化为的形式的想法基础上发展而得到的。这样处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系。

在强调解分式方程必须检验时，考虑到学生的知识基础和接受能力，教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出检验增根的方法，这样处理是想以典型例子简明地说明检验增根方法的依据。教科书的编者对如何把握这个问题的深度作了认真思考，力求做到既说明做法的合理性，有适可而止，不超越学生的实际水平。

在本章小结中，教科书通过本章知识结构图和思考题，再次强调了解分式方程的基本思路以及检验的问题，这又一次反映出编者对分式方程不仅关注使学生会解，而且还重视使学生认识解法后面的道理，即使学生能知其然也知所以然。

三、几个值得关注的问题

（一）重视分数与分式的联系，注意通过分数认识分式

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程。人们首先从计算具体物体个数的活动中抽象出整数的概念，又从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念，这是一种从实物到数的抽象。人们在研究整数和分数的过程中，为了更好地反映一般规律，又抽象出整式和分式的概念，这是一种从数到式的抽象。

正如前面所述，分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基础对象。分式是把具体的分数一般化后的抽象代表，根据这种关系，分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。“从具体到抽象，从特殊到一般”，是人们认识事物往往经历的过程，本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程。因此，教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用。

（二）重视分式与实际的联系，体现数学建模思想

由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接。但是，如果我们不仅考虑实际问题中的具体数值，而且考虑其中的运算或对应规律，那么仍然有与分式存在密切联系的实际问题情景。

如前所述，本章教科书中从引言开始安排了大量实际问题，一方面要体现与研究分数类似研究分式同样也是实际需要，另一方面也是为通过运用分式为工具分析与解决实际问题，提高学生把实际问题转化为数学形式的能力，即结合本章内容体现数学建模思想，进一步加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生的创新精神。

在本章的教学和学习中，应重视分式与实际的联系，选择一些适合分式内容而又接近学生生活的实际问题，结合这些问题展开分式的内容。要注意避免脱离任何实际问题地讲述分式的内容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出分式来自实际又服务于实际，加强对代数式（包含分式）也是解决现实问题的一种数学模型的认识。

对于把实际问题转化为有关代数式的问题，分析和解决它们的关键是找出问题中相关数量之间的运算关系，并把这样的关系“翻译”为数学形式，而正确地理解问题情境是基础。在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考实际问题，例如借助图象、表格、式子等进行分析，发现其中的数量关系，并检验所建立的式子的合理性。

（三）重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤

本章所讨论的主要对象是分式，分式方程与分式有直接的关系。如前所述，本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为的形式这一基本思路，学生已经比较熟悉。与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。正因如此分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显的区别：

1．一般说，解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置移上来。注意这里的去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。

2．通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。

由于解一元一次方程已不是新问题，所以上述两点就成为本章中解分式的关键步骤。

在本章的教学和学习中，应重视分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的基本思路（先化分式方程为整式方程，再解出未知数，再检验确认），明白这样做的道理，再次体会化归思想在解方程时的指导作用。如果抓住分式方程的特殊性，那么就能感到解分式方程的基本思路是非常很自然、合理的，而不会去死记硬背解法步骤了。这也就是说，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的关键步骤及其算理，在已有的对解方程的认识的基础上再认识分式方程的解法。

此外，需要强调：本章的主要内容包括分式的基本概念、基本性质、基本运算，分式方程的基本解法等，这些都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实掌握它们。

第十七章《反比例函数》教材分析

（一）教科书内容

本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函

数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。

第17．1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数（k 为常数，）的图象分布在两个象限，当时，图象分布在一、三象限，y 随x 的增大（减小）而减小（增大）；当时，图象分布在二、四象限，y 随x 的增大（减小）而增大（减小）。

第17．2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。本章主要涉及到如下的4个现实世界中的反比例函数模型：当圆柱体的体积V 一定时，圆柱的底面积S 是高（深度）d 的反比例函数；当工程总量k 一定时，做工时间t 是做工速度v 的反比例函数；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；电压U 一定，输出功率P 是电路中电阻 R 的反比例函数。

一、路程、速度与时间问题

例1（海南）在匀速运动中，路程()s 千米一定时，速度(/)v 千米时关于时间()t 小时的函数关系的大致图象是（ ）

解：由t

s v =，当路程s 一定时，速度v 是关于时间t 的反比例函数，所以它的图象是双曲线，又t >0，所以图象在第一象限，故选Ａ．

二、密度、质量与体积问题

例2（厦门）一定质量的干松木，当它的体积2v =m 3时，它的密度ρ3

=0.5?10kg/m 3，则ρ与v 的函数关系式是（ ）

Ａ．1000v ρ= Ｂ．1000v ρ=+ Ｃ．500v ρ= Ｄ．1000v

ρ=

解：由m v ρ=，当2v =m 3时,它的密度ρ3=0.5?10kg/m 3时，有0.52

m 3?10=，解得：1000m =，所以，1000v ρ=，故选Ｄ． 三、电压、电流与电阻问题

例3（江苏）在某一电路中，电源电压U 保持不变，电流()A I 与电阻()R Ω之间的函数图象如右图所示：

（1）I 与R 的函数关系式为： ；

（2）结合图象回答：当电路中的电流不得超过

12A 时，电路中电阻R 的取值范围是 ．

解：（1）设U I R

=， ∵函数图象经过点()66A ，， ∴所以66

U =，解得：36U =． 所以，I 与R 的函数关系式为：36I R =

． （2）当12I ≤时，即3612R

≤，解得电阻R 的取值范围是：3()R Ω≥． 四、压强、压力与面积问题

例4（江苏）在压力不变的情况下，某物体承受的压强(pa)P 是它的受力面积2(m )S 的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求P 与S 之间的函数关系式；

（2）求当0.5S =m 2时物体承受的压强P ．

解：（1）设F P S

=， ∵点()0.11000，在函数的图象上， ∴100001F =．

，∴100F =． ∴P 与S 之间的函数关系式是：S P 100=

． （2）当0.5S =m 2时，1002000.5

P ==（帕）．

此外，本章还安排了两个选学内容：第17．1节的“信息技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”，第17．1节的“阅读与思考”中安排了“生活中的反比例关系”。这两个内容

可以开阔学生的视野，拓展知识面。

（二）课程学习目标

本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；

4、（青山区）下列关系中，是反比例函数的是

A ． 5x y = B.2x y = C.x y 32= D.1-=y

例1（2009·达州）下列函数中，是反比例函数的为（ ）

A 、12+=x y

B 、22x

y = C 、2y x = D 、x y =2 例2（2009·新疆）若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的

13

，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系是____________．（不考虑x 的取值范围） 例3（2009·漳州）矩形面积为4，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象大致可表示 为（ ）

例4（2009·衡阳）一个直角三角形的两直角边长分别为y x ，，其面积为2，则y 与x 之间的关系用图象表示大致为（ ）

A B C D

2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点；

例1（汉阳区期中考试题）某反比例函数的图象经过点（－2，3），则下列点中在此函数图象上的是 ( ) A ．（2，－3）

B ．（—3，－3）

C ．（2，3）

D ．（－4，6）

例2（2009·泸州）已知反比例函数x

k

y =的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于（ ）

A ．第二、三象限

B ．第一、三象限

C ．第三、四象限

D ．第二、四象限 例3（2009·资阳）如图，某个反比例函数的图象经过点P ，则它的解析式为（ ）

A ．y ＝1x （x>0）

B ．y ＝－1

x

（x>0） C ．y ＝1x （x<0） D ．y ＝－1

x

（x<0）

例4（2009·衢州）水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：

第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天

售价x(元/千克) 400 250 240 200 150 125 120 销售量y(千克)

30

40

48

60

80

96

100

观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y (千克)与销售价格x (元/千克)之间都满足这一关系．

(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；

(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？

(3)在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？ 解析：（1）函数解析式为12000

y x

=

；（2）2 104－(30＋40＋48＋50＋60＋80＋96＋100)＝1 600，即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克．当x ＝150时，12000

150

y =

＝80．1 600÷801

-1

y x

P

O

＝20，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出；（3）1 600－80×15＝400，400÷2＝200，即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克． 所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．

《盘点反比例函数的六大类型》

本文发表在《中学生》杂志2008年第10期上

一、定义型

例1 （2006年黄冈市中考试题）反比例函数22)12(--=m

x m y ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则该函数的解析式为 ．

解析：∵函数22)12(--=m x m y 是反比例函数，∴m 2－2＝－1，得，m ＝±1，当x ＞0

时，y 随x 的增大而增大，∴2m －1＜0，m ＜

2

1，故m ＝－1，将m ＝－1代入2

2)12(--=m x m y 中，得该函数的解析式为y ＝－3x －1＝－x 3． 二、一点型

例2（2008年大连市）函数x

k y =

的图象经过点(1，2)，则k 的值为____________． 解析：设该函数的解析式为x

k y =，∵反比例函数的图象经过点（1，2），∴2＝1k ，∴k ＝2，故该函数的解析式为2y x =． 例3 (2008年宁波市)如图1，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k y x

=过点A ，则k 的值是（ ） A ．2

B ．2-

C ．4

D ．4- 解析：设该函数的解析式为x

k y =，∵反比例函数的图象经过点（－2，2），∴2＝2k -，∴k ＝－1，故该函数的解析式为1y x

=-． 三、图示型

例4（2008年湖北省宜昌市）某物体对地面的压力为定值，物体对地

面的压强p （Pa ）与受力面积S （㎡）之间的函数关系如图所示．这

一函数表达式为p ＝________．

解析：由题意及函数的图象可知该函数为反比例函数，设该函数的解析式为p s k =，

∵点P （16，10）正是该图象上的一点，1016k =

，∴k ＝160，则该函数的解析式为p ＝S

160． 三、开放型 例5（2008年甘肃省白银市）一个函数具有下列性质：

①它的图像在二、四象限内； ②在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．（写出一个即可）

解析：本题答案众多，结论开放，如1y x =-

。 四、面积型

例6 （2007年苏州市中考试题）．已知点P 在函数k y x

= (x ＞0)的图象上，PE ⊥x 轴、PF ⊥y 轴，垂足分别为E 、F ，则矩形OAPB 的面积为3，则反比例

函数的解析式是__________．

解析：∵设点P 的坐标为，设该函数的解析式为x k y =

，因为点P （x P ，y P ）在该函数的图象上，则p

p x k y =，∴x P ×y P ＝k ，又∵长方形PEOF 的面积＝p p y x ?＝k y x p p =? ∴k ＝3，则k ＝±3，由于该函数的图象分布在二、四象限，故k ＜0，∴k ＝－3． 则该函数的解析式为x

y 3-=． 例7 （2008年巴中市）如图8，若点A 在反比例函数(0)k y k x =

≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．

解析：设该函数的解析式为x

k y =，由上例可知四边形ABOC 的面积为k ，△AOB 的面积等于四边形ABOC 的面积的一半，即：AOB S ?＝21k ＝6，∴k ＝6，则k ＝±6，由于该

A ．

B ．

C ．

D ．

函数的图象分布在第二象限，故k ＜0，∴k ＝－6．则该函数的解析式为6

y x

=-

． 实际问题型

例8（2006年南昌市中考试题）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0． 25m ，则y 与x 的函数是关系式为 ． 解析：由题意可设x

k y =

，∴25.0400k =，∴k ＝100，则y 与x 的函数是关系式为x y 100

=．

3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；

例1（2009·恩施市）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ）

例2． (

2008·西宁市) 如图，已知函数k

y x

=-中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的大致图象为（ ）A

例3 （2009·茂名）已知反比例函数y ＝x

a

(a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y ＝－a

x ＋a 的图象不经过．．．

（ ） 答案：C Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

4

．探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认

A ．

B ．

C ．

D ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1t2i.html