多变量灰色预测模型在建筑物沉降观测中的应用(精)

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多变量灰色预测模型在建筑物沉降观测中的应用 羡丽娜, 张 彬 1

1 1辽宁工程技术大学土建学院, 123000

E-mail:xln.0220@tom.com

摘 要：本文采用多变量灰色模型对建筑物沉降观测数据进行处理，并通过工程实例将预测

结果与实测数据对比，说明多变量灰预测色模型的准确性，预测精度较高，尤其适用于多点

变形的整体预测预报。满足工程需要，具有重要的工程意义和经济价值。 关键词：建筑物；沉降观测；多变量灰色模型；灰色预测。 1. 引 言

随着建筑行业的迅速发展，对房屋建筑地基进行沉降观测 ,具有极为重要的作用。通过

观测 ,可了解房屋建筑的质量 ,安全可靠性 ,可鉴定地质勘察是否正确等 ,并为今后的设

计提供宝贵的经验 ,特别是应用沉降预测的方法 ,能及早发现工程不均匀沉降及其对建筑

的影响 ,以采取措施 ,避免出现不良后果。灰色预测则可以帮助我们提前了解未来将要发生 的变形。

但目前采用的大多数预测模型都局限于单点[4，6]建模和预测。由于GM(1 ,1) 模型仅

用1 个时间序列数据建模预测,当存在多个相互影响或关联的变量时,就无法反映它们之间

相互影响、制约和协同发展的情况；而GM（1，n）模型又主要描述变量之间的相互关系,是

一种状态模型,不用于预测。为此,可以采用MGM（1，n）模型,它是GM (1 ,1) 模型在n元

多变量情况下的推广,但不是GM(1 ,1) 模型的简单组合,也不同于GM（1，n）模型只建立1

个n 元一阶微分方程,而是建立n个n元微分方程。通过联立求解，使所得的模型参数能满

足多变量的相互关系，最终使预测的值更符合实际。因此本文通过对单变量灰色模型的扩展，

导出多变量灰色预测模型，应用多点预测模型进行沉降预测，同时结合典型的工程实例做了

验证，取得了令人满意的结论。

2. 多变量灰色模型MGM（1，n）的建模及预测 2.1 建立模型

建模时首先将原始观测数据序列xi{(0)(k)} (k=1,2,L,m;i=1,2L,n),（n为建筑物 沉降观测点的个数，m为相应的观测周期）进行累加生成处理，其一次累加生成序列为： xi(1)(k)=∑xi(0)(j)), 式中 ：k=1,2,L,m;i=1,2,L,n。

j=1

[1,5]k考虑ｎ个点相互关联和相互影响,对此生成序列建立ｎ元一阶常微分方程组 ：

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dx1()=a11x1(1)+a12x2(1)+L+a1nxn(1)+b1dt

dx2(1)=a21x1(1)+a22x2(1)+L+a2nxn(1)+b2 （1） dt1 M

dx(1)

n=a(1)1+L+a(1)

dtn1x1+an2x()2nnxn+bn dX(1)

写成矩阵形式： dt=AX(1)+B （2） ?a12La1n??x(1) ?a11 a??1( ?b1?t)?

式中：A=?a2122La2n?b???x(1)(t? ???LL?， B=?2?， X(1)(t)=?2)?

?an1a?? ??M?

b??M? （3）

?

n2Lann??n???x(1)? n(t)?

由积分生成变换原理 , 对（2）式两边左乘e?At得 ： e?At??dX(1)

?AX(1)??=e?AtB

?dt?

在区间[0,t]上积分 ,整理后有 ：X(1)t=eAt(X(1)(0)+A?1B)?A?1B 式(4)即为生成序列模型的一般形式。

2.2 求解模型参数A和B的辨识值A?和B? 通过对式(4)离散化 , 得时间相应函数为： X?(1)(k)=eA?(k?1)(X?(1)(1)+A??1B?)?A??1B? 式中： eA?(k?1)∞ =I+∑A?i(k?1)i i=1i! （6）

∧

并由最小二乘法得到估值，H=(LTL)?1LTY （7） ?1)(2)(1) ?(2)L1)(2)1?

式中： L=?(1)1)(1)? ?(3)(3)L(3)1?? ??LL?

?1)(m)(1)(m)L(1)(m)1?? - 2 - （4） （5） http://www.paper.edu.cn ?11?a?x(0)(2)x(0)(2)Lx(0)(2)? ????a12

0)0)0)(((??x(3)x(3)Lx(3)? ?=?Y=?? H

?LL???1n?a?(0)?(0)(0) ???x(m)x(m)Lx(m)? ?b1

其中：i (1)

?21La?n1?a ?22La?n2?a? ? LL ?

?2nLa?nn?a ?Lb??b2n? 1?(1)(1)

xk+x ()(k?1)?ii?? (i=1,2,L,n;k=2,3,L,m) （8）2 ?和B?阵中即可得到A和B的辨识值A?： 从式（6）H (k)= ?11?a

??a21??A=???n1?a

???b?12La?1n?a1????2n??22Laa? B?=?b2? （9） ???LL ?M??

?n2La?nn??ba?? ?n?

2.3 预测模型 ?将式(5) X

(1)

??1B??1B? ?(1)(1)+A?)?A(k)=eA(k?1)(X ?

?作累减还原有；X?当 k

(0) (0)

?(1)(k)?X?(1)(k?1) (k=1,2,3,L) （10） (k)=X

?(0)(k)为滤液值； k>m时，X?(0)(k)为(k)为模拟值；k=m时，X 2.4 模型的平均拟合精度 σ2=

式中：残差vi(k)=xi (0) ∑V i=1

n T i Vi （11）

T nm

?i(0)(k)； Vi=?(k)?x?vi(1),vi(2),L,vi(m)?? (i=1,2,L,n;k=1,2,L,m) 3. 计算步骤

（1）写出原始序列X

(0) ；

（2）求一次累加生成序列X(1)；

（3）按公式（8）计算一次累加均值序列(1)； （4）按式（7）建立数据矩阵L及数据列阵Y；

?、B?； （5）由步骤（4）及公式（9）进行矩阵运算求得模型参数A

?(1)，按式（10）累减还原预测模型并计算X?(0)； （7）按式（5）建立模型，计算和预测X

（8）计算残差向量Vi和精度评定。

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4. 预测建筑物基础沉降的工程实例

某公司办公楼为十层框架结构，建筑面积为7230m，基础采用振冲碎石桩加固，因该地区缺乏采用振冲碎石桩加固经验，所以本工程进行了严格的沉降监测，并根据具体情况设置了4个观测点（即变量个数n=4）对其沉降累计值进行建模并预测。观测资料以两周为一周期，采用8个周期的累计沉降值序列。其中前6个周期用来建模，后两个周期用来检验预测值的准确性。 2 观测点初始观测序列为：

X(0)?????=????????56558976121310111718151419211716232720192431232227322423?????? ??????? 55??56??13151211??

(1)?25282222?其一次累加生成序列为：X=?? ?42463736??61675452???84947471???? 计算一次累加均值序列可得出矩阵L和Y：

?9??19

L=?33.5??51.5

?72.5?10.521.53756.580.58.51729.545.564816.5294461.51?7?89??1??1213101? Y=?171815??1??192117?2327201???6??11?14? ?16?19??

? 2.5333 -0.5333 -3.7333 26.4000??? 0.5333 1.4667 0.2667 -1.6000??∧?1TT?根据H=(LL)LY得：H=?-6.0000 -4.0000 -2.0000 -16.0000? ?? 2.8000 3.2000 6.4000 -12.4000??? 8.2000 6.8000 3.6000 20.4000??? - 4 -

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?2.5333 0.5333 -6.0000 ?

?=?-0.5333 1.4667-4.0000由此得模型参数： A ?-3.7333 0.2667-2.0000? ?26.4000-1.6000 -16.0000 ?8.2000 ???6.8000 ? ?=?B ?3.6000???20.4000?? 2.8000

3.2000 6.4000-12.4000 ?? ? ???

6.00005.00005.0000??5.0000

??14.0638 15.3836 12.6630 12.0224 ???25.5713 28.9376 22.7462 22.0838 ???41.4737 46.1898 36.6562 35.8490 ? ?(1)=?计算一次累加序列预测值： X ?61.2892 ? 67.5635 54.1226 52.2453 ?? 93.6078 73.8091 70.6909 ?83.1445 ?

?107.6200 123.9700 96.070092.3200????136.6100 158.1700 122.2700 117.7300???

?(1)，求得多点变形的拟和值及预测值X?(0)，并计算残差如表4-1。 还原X 表4-1 多点变形的拟和值及预测值 序号

?多点模型的拟和及预测序列X

?(0) X1

5.0000 9.0638 11.5075 15.9024 19.8155 21.8553 24.4755 28.9900 32.9300 35.0100 (0)

（mm）

残差序列Vi（mm）

(k)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

?(0) X2

6.0000 9.3836 13.5540 17.2522 21.3737 26.0443 30.3622 33.2000 38.4600 43.2500 2

?(0) X3

5.0000 7.6630 10.0832 13.9100 17.4664 19.6865 22.2609 25.2000 29.8100 32.0700 ?(0) X4

5.0000 7.0224 10.061413.765216.396318.445621.629124.410028.080030.2100 V1

0.0000 -1.0638 0.4925 1.0976 -0.8155 1.1447 -0.4755 -1.9900 V2

0.0000 -0.3836 -0.5540 0.7478 -0.3737 0.9557 0.6378 -1.2000 V3

0.0000 -0.6630 -0.0832 1.0900 -0.4664 0.3135 0.7391 -1.2000 V4

0.0000-1.02240.9386 0.2348 -0.39630.5544 0.3709 -1.4100

计算模型的拟和精度σ=0.46，通过第7、8个周期的预测值与实测值进行对比说明，所选的多变量模型预测的沉降值与实测值十分接近，预测精度较高，故该方法可用于建筑物沉降预测。且本实例预测了在未来两个周期第9、10周期将要发生的沉降值（见表第9行和第10行。

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http://www.paper.edu.cn 5. 结论

（1） 由工程实例可看出，多变量灰色预测模型其建模方法简单，同时该模型削弱了观测误差的影响，避免了单点建模的不足，提高了预测精度，是一种非线性预测模型。

（2）本文所建立的模型，对某工程基础的沉降进行了预测分析，其预测结果与实测数据基本吻合，说明了该方法的合理性和可行性。

（3）本文采用的多点预测模型，是单点灰色模型的拓展，实现了对多点变形的整体预测，尤其对一些整体性建筑或构筑物进行沉降变形预报十分有效，具有一定的工程意义和经济价值。

参考文献

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The using of Multi-variable Gray Model in the Subsidence measurement of Structure

Institute of Civil and Architecture Engineering, Liaoning Technical University, Fuxin 123000 Abstract

This paper uses the multi-variable gray prediction model to forecast the subsidence and stabilization tendency of buildings. An example is given in the paper to show that the multi-point prediction model is effective and practicable. It is satisfied to the engineering project. XIAN lina ZHANG bin

Keywords: Structure；Subsidence measurement；Multi-variable gray model；Gray prediction； 作者简介：羡丽娜，女，1979年生，辽宁兴城人，在读硕士研究生，辽宁工程技术大学土木建筑工程学院；张彬，男，1960年生，辽宁丹东人，博士，教授，辽宁工程技术大学土木建筑工程学院。 - 6 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1t16.html