2006经济数学基础期末复习指导

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考试题型：

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 二、填空题(每小题3分.共15分) 三、微积分计算题(每小题10分，共20分) 四、线性代数计算题(每小题15分，共30分) 五、应用题(本题20分)

本次复习资料分成两个部分：第一部分：历年试题汇编，第二部分：综合复习题

第一部分：历年试题汇编

一、单项选择题

1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（3,5）点的曲线方程是（A ）

A. 2. 函数

y?x2?4

.

y?x2?4

C.

y?x2?2 D. y?x2?2

y?x?1x2?x?2的连续区间是（ D ）

A．(??,1)?(1,??) B．(??,?2)?(?2,??)

C．(??,?2)?(?2,1)?(1,??) D．(??,?2)?(?2,??)或(??,1)?(1,??) 3. 下列极限计算正确的是（ B ） A.limx?0xx?1 B.lim?x?0xx?1 C.limxsinx?01sinx?1 D.lim?1

x??xx4. 设yA．

?lg2x，则dy?（

B ）．

11ln101dx B．dx C．dx D．dx 2xxln10xxf(x)?A，但A?f(x0)

5. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的． A．函数f (x)在点x0处有定义 B．limx?x0 C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微 6.当x?0时，下列变量是无穷小量的是（ C ）.

sinxx1?x) D．cosx A．2 B． C．ln(x7．下列函数中为奇函数的是 (C）． A．

y?x2?x

B．

y?ex?e?x C．y?lnx?1 D．y?xsinx

x?18. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B）．

A．sinx B．e C．x D．3 – x 9．函数

x

2

x的定义域是 ( D）．

lg(x?1)A．x??1 B．x?0 C．x?0

y?2 D．x??1且x?0

D．f(x)?sin2x?cos2x,g(x)?1

10.下列各函数对中，（ D）中的两个函数相等． A．

f(x)?(x)2,g(x)?x B．f(x)?xx?1，当（A）时，sinx2?1,g(x)?x?1 C．y?lnx,g(x)?2lnx x?111．已知f(x)?A．xf(x)为无穷小量。

?0 B．x?1 C．x??? D．x???

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12.下列函数中为奇函数是(C）． A．lnx B．x2cosx C．x2sinx D．x?x2

13．下列函数中为偶函数的是( C）．

A．

y?x?x

3x?1ex?e?xB．y?ln C．y?x?12 D．

y?x2sinx

14．当x?1时，变量（D）为无穷小量。 A．

1sinxx B． C．5 x?1x D．lnx

?x2?1, x?015．若函数f(x)??，在x?0处连续，则k? ( B )．

?k, x?0A． ?1 B．1 C．0 D．2

16. 已知需求函数q(p)A．4?2?4p． ?100?2?0.4p，当p?10时，需求弹性为（ C ）

ln2 B．4ln2 C．-4ln2 D．-4?2?4pln2

p的函数为q(p)?3?2p，则需求弹性为Ep?（ D

）。

17．设需求量q对价格

A．p3?2p B．3?2pp C．?3?2pp?p2 D．?p3?2p ）。

18．设需求量q对价格A．?p的函数为q(p)?100e，则需求弹性为Ep?（ A

p21 B．

p C．?50p D．50p 21-11-118. 下列积分计算正确的是（A ）．

x?x1e?eex?e?xdx?0 B．?dx?0 A．??1?122 C．

?xsinxdx?0

D．

?(x2?x3)dx?0

19．下列无穷积分收敛的是 ( B )． A．

???0edx B．

x???1??1??1dx C．?3dx D．?lnxdx

11x2x20．下列定积分中积分值为0的是( A )．

x?x1e?e??ex?e?xdx B．?dx C．?(x2?sinx)dx D．?(x3?cosx)dx A．??1?1????22121．设

?f(x)dx?lnx?C，则f(x)?（C ）． xlnx1?lnx C． 2xx2A．lnlnx B．

D．ln2x

22．下列函数中，（D）是xsinx的原函数。

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A.

1cosx2 2 B.

12cosx2 C. 2cosx2 D. ?cosx2

223．计算无穷限积分

???11dx?（ C）． 3x D．?

A．0 B．?11 C．2224. 下列等式成立的是（C ）． A．sinxdx1?d(cosx) B．lnxdx?d()

x C．2xdx?1d(2x) ln2 D．

1xdx?dx

25. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（c ）． A．

2?cos(2x?1)dx， B．?x1?xdx C．?xsin2xdx D．?xdx 21?x?26. 下列定积分计算正确的是（D ）． A．27．设

?1?12xdx?2 B．?16?1dx?15 C．?(x2?x3)dx?0 D．?sinxdx?0

?????A为3?2矩阵，B为2?3矩阵，则下列运算中（ A）可以进行。 AB

B.

A.

A?B C. ABT D.

BAT

28. 以下结论或等式正确的是（ ）．

A．若

A,B均为零矩阵，则有A?B B．若AB?AC，且A?O，则B?C

O,B?O，则AB?O答案C

C．对角矩阵是对称矩 D．若A?29．设

A为3?4矩阵，B为5?2矩阵， 且乘积矩阵ACTBT有意义，则C为 ( B) 矩阵。

A. 4?2 B. 2?4 C. 3?5 D. 5?3

30. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）． ` A．(A?B)?1?A?1?B?1， B．(A?B)?1?A?1?B?1 C．AB?BA D．AB?BA

31. 下列矩阵可逆的是（ A ）．

?123???10?1????? C．?11? D．?11?

01 A．023 B．1?00??22????????????003???123???222???32. 矩阵A?333的秩是（ B ）． A．0 B．1 C．2 D．3 ????444???1?21???，则r(A)?( C ) 。

0?133．设A?2????3?20??第 3 页 共 38 页

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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

?120?3???，则r(A)?( B ) 。

333．设A?00?1????24?1?3??A. 1 B. 2 33．设

C. 3 D. 4

AB为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C）。

TA.(AB)?ATBTB.(ABT)?1?A?1(BT)?1C.(AB)T?BTATD. (ABT)?1?A?1(B?1)T

． Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）

34. 设线性方程组A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n

?x1?x2?a1?x2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）35. 设线性方程组?． ?x?2x?x?a233?1A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0

36．线性方程组??11??x1??1?． ??x???0?的解的情况是（ D ）

1?1???2???

B．有无穷多解 C．只有0解 D．有唯一解

A．无解

37．线性方程组??x1?x2?1解的情况是（D）．

?x1?x2?0A．有唯一解 B．只有0解 C．有无穷多解 D．无解

?x1?2x2?138．线性方程组?的解的情况是（ A ）．

x?2x?3?12A．无解 B．只有0解 C．有唯一解 D．有无穷多解 39．若线性方程组的增广矩阵为

?1?2?，则当?=（A ）时线性方程组无解． A????210?D．2

A．

12 B．0 C．1

40．若线性方程组的增广矩阵为

?2??1，则当?=（ A ）时该线性方程组无解。 A????01?2??4?

D．2

A．1/2 B．0 C．1 二、填空题(每题3分，共15分) 1.若

?f(x)dx?2x?2x?c，则f(x)?__2xln2?2___________. 2. ?(sinx)?dx?__sinx?c_.

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3. 若

?f(x)dx?F(x)?c，则?xf(1?x2)dx? ?1F(1?x2)?c . 20de112?ln(1?x)dx?_____0______4.设函数. 5. 若，则P(x)?dtP(x)?___?_____. ?x1?t22dx?11?x6．函数f(x)?8．若

x2?4的定义域是(??,?2]?(2,??)．7．函数1的间断点是xf(x)?x1?ex?2?0．

?f(x)dx?F(x)?C，则?e?xf(e?x)dx??F(e?x)?c．

0032?x1?x2?0有非零解，则?，当a? 0 时，A是对称矩阵。10．若线性方程组???3??x1??x2?0?1??0

时，

?19．设

A???a??2?

-1 。

x?x11．函数f(x)?e?e的图形关于 原点对称．12．已知f(x)?1?sinx，当x?

x2f(x)为无穷小量。

13．若

?f(x)dx?F(x)?C，则?f(2x?3)dx? A可逆，B是A的逆矩阵，则当(AT)?1=BT1F(2x?3)?c ． 2。

有非零解 。

14．设矩阵

15．若n元线性方程组16．函数f(x)?17．若

AX?0满足r(A)?n，则该线性方程组 1?ln(x?5)的定义域是(?5,2)?(2,??)． x?2x?f(x)dx?2?2x2?c，则f(x)=2xln2?4x．18．设

?1A????2??31?231?，则r(A)?2??3???

1 。

19．设齐次线性方程组20．函数f(x)?A3?5X?O满，且r(A)?2，则方程组一般解中自由未知量的个数为

9?x2的定义域是(-3,-2)?(-2,3]．

3 。

1?ln(x?3)21．曲线

f(x)?x在点（1,1）处的切线斜率是

12．23．函数

y?3(x?1)2的驻点是x? 1 ．

24．若

f?(x)存在且连续，则[?df(x)]?=f?(x). 25．函数

0 ．

?x?2, ?5?x?0的定义域是[?5,2)．

f(x)??2?x?1, 0?x?225．limx?sinx? x?0x26．已知需求函数q?20?2p，其中

33p为价格，则需求弹性Ep?p．

p?1027．计算积分

?1?1(xcosx?1)dx? 2 。

28．设

f(x?1)?x2?2x?5，则f(x)= x2?4

1??xsin?2,x?0在xf(x)??x??k,x?0 ．

。30．若A为n阶可逆矩阵，则r(A)29．若函数

?0处连续，则k= 2 ?

n 。

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31．齐次线性方程组

AX?O的系数矩阵经初等行变换化为

?1A???0??0?1103?，则此方程组的一般解中自由未知量的个数为

0?2??00??22 。 32.函数

f(x)?x?1在区间(?1,0)?(0,1)内是单调减少的. x，极值点是 ，它是极 值点.答案：x33. 函数

y?3(x?1)2的驻点是________p?2?1,x?1，小

1，则需求弹性Ep1134.设某商品的需求函数为q(p)?10e??2p 35.行列式D??111?4.

?1?1116??11??，则t_??1_时，方程组有唯一解.

3236. 设线性方程组AX?b，且A?0?1????00t?10???x2?1,x?0x?sinx?___0____. 38.设f(x)??37.lim，在x?0处连续，则k?_1__.

?k,x?0xx?0?38.曲线

y?x在(1,1)的切线方程是 y?11x? . 39.设函数f(x?1)?x2?2x?5，则f?(x)?_2x__. 2240.设

f(x)?xsinx，则

?104?5?ππ?，则A的元素

3?232f??()?_?__.41.设矩阵A??a23?_3___. ??22??216?1??=?72.

41.设

A,B均为3阶矩阵，且A?B??3，则?2ABT242. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A?B)43. 设A,B均为n阶矩阵，(I?A2?2AB?B2成立的充分必要条件是AB?BA.

?B)可逆，则矩阵A?BX?X的解X?___(I?B)?1A________.

??10?100??1???1044 设矩阵A?02，则A??0???2??00?3????00?46．已知齐次线性方程组三、微积分计算题

?0??0?. 45．当 a ?1???3? ≠-3 时，矩阵A??13??-1a?可逆。 ??AX?O中A为3?5矩阵，则r(A)? 3 。

11．设y?cosx?lnx，求dy． 12．计算定积分

2?ln30ex(1?ex)2dx.

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11．设

y?3x?cos5x，求dy． 12．计算定积分?xlnxdx.

1e

11．设 11．设

y?cosx?ln3x，求y?． 12．计算不定积分?lnxdx. xy?ex?lncosx，求dy． 12．计算不定积分?xlnxdx.

1e

2．设

y?sinx?elnxx?110dx。 ，求y?。3．计算?(2x?1)dx. 4．计算?21xx第 7 页 共 38 页

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e3cosxx1dx2．已知y?2?，求dy。3．计算不定积分?.4．计算定积分?1x1?lnxdx。

xcos2xx

11．设y?e?5，求dy． 12．计算

x1x??20xcosxdx.

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

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?10??01???,B??01?，求(BTA)?1。

13．设矩阵A?0?1????????12???12??

14．求齐次线性方程组

?x1?2x2 ?x4?2???x1?x2?3x3?2x4?0的一般解。 ?2x?x?5x?3x?034?12

?0?1?3??25?????，I是3阶单位矩阵，求(I?A)?1B。

113．设矩阵A??2?2?7,B?0????????3?4?8????30??第 9 页 共 38 页

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14．求线性方程组

?x1?3x2?2x3?x4?2?3x?8x?4x?x?0?1234的一般解。 ??2x?x?4x?2x?11234????x1?2x2?6x3?x4?2

?010??100??????113．设矩阵A?20?1,i?010，求(I?A)。

???????341???001??第 10 页 共 38 页

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14．求齐次线性方程组

?x1?x2+2x3?x4?0?的一般解。 ??x1?3x3?2x4?0?2x?x?5x?3x?034?12

?122??2?????13．已知AX?B，其中A??1?10,B??1，求X???????135???1??14．讨论?为何值时，齐次线性方程组

。

?x1?2x2+?x3?0??2x1?5x2?x3?0有非零解，并求其一般解。 ?x?x?13x?03?12第 11 页 共 38 页

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4.求解下列线性方程组的一般解：

?x1?2x3?x4?0（1）???x1?x2?3x3?2x4?0

??2x1?x2?5x3?3x4?0答案：??x1??2x3?x4xx（其中x3,x4是自由未知量）

?2?x3?4第 12 页 共 38 页

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02?1?2?1??1?10?102?1????01?11???01?11?

A???11?32?????????0??2?15?3???0?11?1???000??x1??2x3?x4所以，方程的一般解为?（其中x3,x4是自由未知量）

x?x?x34?2?2x1?x2?x3?x4?1?（2）?x1?2x2?x3?4x4?2

?x?7x?4x?11x?5234?111?4?2?11?12?142??12?1(2)?(1)?(?2)?????(Ab)??12?142?(1),(2)?2?1111?0?53?7(3)?(1)?(?1)????7?17?4115???17?4115???05?316?10答案

??12?142?5542??12?1??373?37?0?53?7?3??01?01???(2)?(?1)?(3)?(2)?(1)?(2)?(?2)?55555???000?5?00000?0?00??000??164?x??x?x?34?1555（其中x,x是自由未知量）

?34373?x2?x3?x4?555?5.当?为何值时，线性方程组

?x1?x2?5x3?4x4?2?2x?x?3x?x?1?1234 ??3x1?2x2?2x3?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。

2??3??3??4?5?3??5?0???

?1?1?54?2?13?1(Ab)???3?2?23??7?5?910?1?0(3)?(2)?(?1)答案：?(4)?(2)?(?2)?0??02??1(2)?(1)?(?2)?01??(3)?(1)?(?3)??03?(4)?(1)?(?7)?????0?1?542??1?0113?9?3?(1)?(2)???00000???000??8??0?1?542113?9113?9226?1808?5113?9000000??3???3????14??1??3?? 0????8?第 13 页 共 38 页

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.当?=8有解,??x1??8x3?5x4?1（其中x3,x4是自由未知量）

?x2??13x3?9x4?35．a,b为何值时，方程组

?x1?x2?x3?1??x1?x2?2x3?2 ?x?3x?ax?b23?11?1??1?1?11??1?1?1?1?1?1答案：

A???11?22?(2)?(1)?(?1)????13ab??(3)?(1)?(?1)?02?11??0???04a?1b?1??(3)?(2)?(?2)???0a??3且b?3时，方程组无解；

当a??3时，方程组有唯一解；

当a??3且b?3时，方程组无穷多解。

6．求下列矩阵的逆矩阵：

?（1）A??1?32???301?

??11?1????1?32100??1?32100?(AI)????301010?(2)?(1)?3?0?9???11?1001???(3)?(1)?(?1)?7310???04?3?101??(2)?(3)?2?1?32100??(3)?(2)?4?1?32100??0?11112??04?3?101????0?11112?349?????001??(2)?(3)?(?1)?1?30?5?8?18??1?30113??(2)?(?1)??(1)?(3)?(?2)?0?10?2?3?701023???001349??(1)?(2)?(3)?7????001349???113?A?1???237?

?349??????13?6?3?（2）A =???4?2?1?． ???211??答案

??13?6?3100???1001?30??(AI)????4?2?1010?(?1)?(?2)?(??3)???4?2?1010???211001??????211001???第 14 页 共 38 页

2?10a?3

1?当

b?3??? 2006经济数学基础期末复习指导

??1001?30???1001?30???(??0112?61?2)(3)??????001012?????????0112?61???001012??(2)?(3)?2)3)?(1)?2?10???????01??00(2)?(3)(?1)(1)?(?1)0?130?0???13? 1??7?1 A =202?7?1?????12?0012??0??-

7．设矩阵

?12??12?，求解矩阵方程XA?B． A??,B?????35??23??1210?(AI)??(2)?(1)?(?3)?????????????????3501?210??1?10?52??1?(2)?2?(?1)?0?1?31?(1)?????????????0?1?31?(2)???????????0?????A五、应用题

?101?532??1??

?????52? X=BA?1 X = 3?1???10???11? ??15已知某产品的销售价格p（元/件）是销售量q(件)的函数

p?400?q，而总成本为C(q)?100q?1500(元)，假设生产的2产品全部售出，求（1）产量为多少时利润最大？ (2) 最大利润是多少？

第二部分综合复习 一 微分学

一、 单项选择题 1．函数 A．xy?x的定义域是（D）．

lg?x?1?

B．x??1 ?0

C．x?0 D．x??1 且x?0

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2．若函数

f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(2x)的定义域是( C)．

A．[0,1] B．(??,1) C．(??,0] D(??,0)

4．设

f(x)?1x?1，则f(f(x))=（A ）． A．x1?x?1 B．x11?x C．1?x?1 D．

11?x 5．下列函数中为奇函数的是（ C）． A．

y?x2?x

B．

y?ex?e?x

C．

y?lnx?1x?1 D．

y?xsinx

6．下列函数中，（C ）不是基本初等函数．

A．

y?210 B．

y?(12)x

C．

y?ln(x?1)

D．

y?31x

7．下列结论中，（C ）是正确的．

A．基本初等函数都是单调函数 B．偶函数的图形关于坐标原点对称C．奇函数的图形关于坐标原点对称数

8. 当x?0时，下列变量中（B ）是无穷大量．

A. x0.001 B. 1?2xx C. x D. 2?x

9. 已知f(x)?xtanx?1，当（A ）时，f(x)为无穷小量. A. x?0 B. x?1 C. x??? D. x???

?10．函数

f(x)??sinx?,x?0 在x = 0处连续，则k = (C )．

?x?k,x?0A．-2

B．-1

C．1 D．2

11. 函数

f(x)???1,x?0 在x = 0处（B ）． ??1,x?0 A. 左连续 B. 右连续 C. 连续 D. 左右皆不连续 12．曲线

y?1x?1在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）． A．?1 B．

1 C．

122 D．2(x?1)3?1

2(x?1)313. 曲线

y?sinx在点(0, 0)处的切线方程为（A ）．

A. y = x B. y = 2x C. y = 12x D. y = -x

14．若函数

f(1x)?x，则f?(x)=（B ）．

第 16 页 共 38 页

D．周期函数都是有界函

2006经济数学基础期末复习指导

A．

1x2 B．-

1x2 C．

1x D．-

1x

15．若 A．cos． f(x)?xcosx，则f??(x)?（D ）

x?xsinx B．cosx?xsinx C．2sinx?xcosx D．?2sinx?xcosx

）．

16．下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（B

x

2

A．sinx B．e C．x D．3 - x 17．下列结论正确的有（A A．x0是f (x)的极值点，且 C．若

）．

f?(x0)存在，则必有f?(x0) = 0 B．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点

f?(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D．使f?(x)不存在的点x0，一定是f (x)的极值点

二、填空题 1．函数

?x?2,?5?x?0f(x)??2的定义域是 ?x?1,0?x?2 [-5，2) ．

2．函数

f(x)?ln(x?5)?12?x的定义域是 (-5, 2 ) ．

3．若函数

f(x?1)?x2?2x?5，则f(x)?x2?6． f(u)?u2?1，u(x)?13，则f(u(2))? ?． x44．设函数

5．设

10x?10?xf(x)?2，则函数的图形关于 y轴 对称．

6．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ． 7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q 8.

2

．

limx?sinx? x??x1 . 9．已知

f(x)?1?sinx，当x?0时，f(x)为无穷小量． x2 .

10. 已知

?x2?1?f(x)??x?1?a?f(x)?11?exx?1x?1，若

f(x)在(??,??)内连续，则a?

11. 函数

的间断点是x?0

12．函数

f(x)?1的连续区间是 (x?1)(x?2) (??,?1)，(?1,2)，(2,??) ．

13．曲线15．已知

y?x在点(1,1)处的切线斜率是y?(1)?0.5．14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为 f(x)?ln2x，则[f(2)]?=

0 ． 16．函数

(0, +?) ．

y?3(x?1)2的驻点是x?1

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17．需求量q对价格

p的函数为q(p)?100?e?p2，则需求弹性为Ep? ?p2 ．

18．已知需求函数为q三、计算题 （1）

?p202?p，其中p为价格，则需求弹性Ep = . 33p?10?2?11?xdx 1?1

x

答案：

?1

2?1xdx=

21211225+= (x?x)?(x?x)(1?x)dx(x?1)dx?11=??1?12221（2）

?

2

e

dx x2

2答案：

?1121exx?edx==?ed?1xx21x1121=e?e

（3）

?e31x1?lnxdx

e311d(1?lnx)=2（1?lnx)21?lnx答案：

?e31x1?lnx1dx=?1e31=2

?（4）

?20xcos2xdx

???111122??sin2xdx答案：?2xcos2xdx=?2xdsin2x=xsin2x0= ?0002222?（5）

?e1xlnxdx

e答案：

?01xlnxdx=

e21e12212e(e?1) ==lnxdxxlnx?xdlnx1??11422（6）

?4(1?xe?x)dx

4答案：

?0(1?xe)dx=x??xde?x0414?x=3?xe?x40??0e?xdx=5?5e?4

41．已知

cosx，求y?(x) ． xcosx?xsinx?cosxx)?=2xln2?解：y?(x)=(2?xx2y?2x?=2xln2?xsinx?cosx 2x2．已知

f(x)?2xsinx?lnx，求f?(x)

第 18 页 共 38 页

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解 3．已知

f?(x)?2xln2?sinx?2xcosx?1 xπ

y?52cosx，求y?()； 解 因为 y??(52cosx)??52cosxln5(2cosx)???2sinx52cosxln5

2

所以

ππ2cos2?y()??2sin?5ln5??2ln5 221π4．已知y =

3??2222dx 求dy ． 解 因为 y??(lnx)3(lnx)?? 所以 dy?(lnx)3?lnx，

3333x3xlnx3xlnx125．设

y?esinx?cos5x，求dy． 解 因为 y??esinx(sinx)??5cos4x(cosx)??esinxcosx?5cos4xsinx

?(esinxcosx?5cos4xsinx)dx

所以 dy3x213?x(x)??2ln2(?x)???2?xln2 6．设y?tanx?2，求dy． 解 因为 y??2323cosxcosx3?x3x2?x?2ln2)dx 所以 dy?(23cosx7．已知

y?cos2x?sinx2，求y?(x) ．解 y?(x)??sin2x(2x)??cosx2(x2)???2xsin2xln2?2xcosx2

8．已知

y?lnx?e3?5x，求

y?(x) ．解：y?(x)?3lnx(lnx)??e2?5x3ln2x?5e?5x (?5x)??x9．由方程

yln(1?x)?exy?e2确定y是x的隐函数，求y?(x)．

解 在方程等号两边对x求导，得

[yln(1?x)]??(exy)??(e2)?

y?ln(1?x)?y?exy(y?xy?)?0 1?xy?yexy 1?x [ln(1?x)?xexy]y???y?(1?x)yexy故 y???

(1?x)[ln(1?x)?xexy]10．由方程siny?xey?0确定y是x的隐函数，求y?(x).

解 对方程两边同时求导，得

y?cosy?ey?xeyy??0 (cosy?xey)y???ey

第 19 页 共 38 页

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?eyy?(x)=

cosy?xey.

11．设函数

y?y(x)由方程y?1?xey确定，求

dydx．

x?0解：方程两边对x求导，得

y??ey?xeyy?

y??ey1?xey

dy当x?0时，y?1，所以，

dx12．由方程cos(x??x?0e11?0?e1?e

y)?ey?x确定y是x的隐函数，求dy．

解 方程等号两边对x求导，得

[cos(x?y)]??(ey)??(x)?

?sin(x?y)[1?y?]?eyy??1 [ey?sin(x?y)]y??1?sin(x?y)

y??1?sin(x?y) ye?sin(x?y)1?sin(x?y)dx ye?sin(x?y)

故

dy?四、应用题

1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)（1）当x?10时的总成本、平均成本和?100?0.25x2?6x（万元）,求：

边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？

解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

C(x)?100?0.25x2?6x

C(x)? 所以，C(10)

100?0.25x?6，C?(x)?0.5x?6 x?100?0.25?102?6?10?185

100?0.25?10?6?18.5， 10C(10)?C?(10)?0.5?10?6?11

第 20 页 共 38 页

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（2）令 因为xC(x)???100?0.25?0，得x?20（x??20舍去） 2x?1000?10p（q?20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x?20时，平均成本最小.

2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q为需求量，

p为价格）．试求：（1）成本、收入函数；（2）产量为多少时利润最大？

解 （1）成本函数C(q)= 60q+2000．

1q， 10121q)q=100q?q． 所以 收入函数R(q)=p?q=(100?101012q-(60q+2000) （2）因为利润函数L(q)=R(q)-C(q) =100q?1012q-2000 = 40q-1012q-2000)?=40- 0.2q，令L?(q)= 0，即40- 0.2q= 0，得q= 200，它是L(q)在其定义域内的唯一且 L?(q)=(40q-10驻点．所以，q= 200是利润函数L(q)的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

因为 q?1000?10p，即p?100?3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数q为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？

解（1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p ，

利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p -250000，

2

2

?2000?4p，其中p且令L?(p)=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.

． L(300)?2400?300?4?3002?250000?11000（元）

2

（2）最大利润

4．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？

解 （1）由已知R?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2

?R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2

利润函数L则L??10?0.04q，令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250.

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为L(250)?10?250?20?0.02?2502?2500?20?1250?1230（元）

5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)?0.5q2?36q?9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

解 因为 C(q)=

C(q)980098009800=0.5q?36? （q?0），C?(q)=(0.5q?36?)?=0.5?2 qqqq第 21 页 共 38 页

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令C?(q)=0，即0.5?9800=0，得q1=140，q2= -140（舍去）. 2qq1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以

q1=140

是平均成本函数

C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为

140件. 此时的平均成本为

C(140)=0.5?140?36?9800=176（元/件） 140q26．已知某厂生产q件产品的成本为C(q)?250?20q?（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？

10解 （1） 因为 C(q)=

C(q)250q250q2501= ，C?(q)=( ?20??20?)?=?2?qq10q10q10 令C?(q)=0，即?2501， ?0，得q1=50，q2=-50（舍去）2?q10 q1=50是C(q)在其定义域内的唯一驻点．所以，q1=50是C(q)的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．

经济数学基础综合练习

二 积分学

一、单项选择题

1．下列函数中为奇函数的是( C A．y?x?x

C．y?ln3）．

x?x

B．y?e?e D．y?xsinx

）。

x?1 x?12．设需求量q对价格p的函数为q(p)?3?2p，则需求弹性为Ep?（ D A．p3?2p B．3?2ppp C．?3?2pp D．?3?2p 3．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(l，4)的曲线为( A )． A． y?x?3

2

B．y?x?4 D．y?4x

2C．y?2x?2

4．以下结论或等式正确的是( C ) 。

A. 若A,B均为零矩阵，则有A?B B. 若AB=AC，且A?O ，则B=C C. 对角矩阵是对称矩阵

D. 若A?O，B?O，则AB?O

第 22 页 共 38 页

2006经济数学基础期末复习指导

5．设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方程组AX=O（ B ）． A．无解

B．只有0解 D．解不能确定

C．有非零解 1．下列各函数对中，(

D）中的两个函数相等．

2．下列结论中正确的是（ D ）。

3．下列等式中正确的是( A )．

4．下列结论中正确的是（ B ）。

A. 对角矩阵是数量矩阵 B. 数量矩阵是对称矩阵 C. 可逆矩阵是单位矩阵 D. 对称矩阵是可逆矩阵

5．n元线性方程组AX?b有解的充分必要条件是（A ）．

1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过

点（1, 4）的曲线为（ A ）．

A．y = x + 3 B．y = x + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x 2. 若

．

?(2x?k)dx= 2，则k =（A ）

012

2

A．1 B．-1 C．0 D． 3．下列等式不成立的是（ D ）． A．ex12

dx?d(ex)

B．?sinxdxx2?d(cosx)

C．

12xdx?dx D．ln1xdx?d()

x 4．若

?f(x)dx??e??c，则f?(x)=（

D ）.

第 23 页 共 38 页

2006经济数学基础期末复习指导

A. ?e?x2 B.

1?2e 2xC.

1?2e 4x D.

1??e24x

5.

?xd(e?x?x)?（ B ）．

B．xe1x1x?x A．xe?c

?e?x?c C．?xe?x?c

D．xe?x?e?x?c

6. 若 A．

?f(x)edx??e?c，则f (x) =（ C ）．

1x C．

1x B．-

1x2 D．-

1x2

7. 若F(x)是A．

f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是( B )．

B．

a

8．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．

1?xaf(x)dx?F(x)?xf(x)dx?F(x)?F(a)C

?baF(x)dx?f(b)?f(a) D．?f?(x)dx?F(b)?F(a)

abx?x1e?e??ex?e?xdx C．?(x3?cosx)dx D．?(x2?sinx)dx dx B．? A．??1?1????22 9．下列无穷积分中收敛的是（ C ）．

A．

???1lnxdx B．???0edx C．?1x????11dx D．?dx

31x2x10．设R?(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（ B ）． A．-550 B．-350 C．350 D．以上都不对

二、填空题

6．函数f(x)?1?4?x的定义域是 ．

ln(x?2)7．函数f(x)?2?x在(1,1)点的切线斜率是________________。 8．若cosx是f(x)的一个原函数，则f(x)= 9．设A?? ．

?13??，则I?2A= 。

?1?2???x1?x2?0有非零解，则?= 。

?x1??x2?010．若线性方程组?

第 24 页 共 38 页

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1．d?e?x2dx?e?xdx．

-

2 2．函数 3．若 4．若

f(x)?sin2x的原函数是 212cos2x + c (c 是任意常数) ．

?f(x)dx?(x?1)??c，则f(x)?2(x?1) .

f(x)dx?F(x)?c，则?e?xf(e?x)dx= ?F(e?x)?c .

0 .

5．

de2ln(x?1)dx? ?1dx6．

x??1(x2?1)2dx? 1 0 ．

7．无穷积分

???01dx是 2(x?1) 收敛的 ．（判别其敛散性）

8．设边际收入函数为R?(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为 2 + 3q 2．

?x?2,?5?x?06．函数f(x)??2的定义域是 [?5,2) ．

?x?1,0?x?27．已知f(x)?1?8．若desinx，当x? x0 时，f(x)为无穷小量。

??x2dx? e?xdx 2．

9．设A为n阶可逆矩阵，则r(A)? n 。

16??11??，则 ??1 时，方程组有唯一解。

3210．设线性方程组AX?b满，且A?0?1t????00t?10??三、计算题

11．设y?x5?esinx，求dy． 12．计算不定积分

lnx?xdx.

第 25 页 共 38 页

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11．设y?e?5x?tanx，求dy．

sin112．计算不定积分

?xx2dx.

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

?13．设矩阵A???13?6?3???4?2?1???1?????,B??0，求A1B。

?211??????1??第 26 页 共 38 页

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?x1+2x3?x4?0?14．求线性方程组??x1?x2?3x3?2x4?0的一般解。

?2x?x?5x?3x?034?12⒈

sin?11sinxdx 解 xdx??sin1d(1)?cos1?c

?x2?xxxx22．

?2xdxx 解

?2xdxx?2?2xd(x)?22ln2x?c

3．

?xsinxdx 解 ?xsinxdx??xcosx??cosxdx??xcosx?sinx?c

4．

?(x?1)lnxdx 解

11(x?1)22?(x?1)lxndx=2(x?1)lnx?2?xdx

5．

e1?ln30e(1?e)dxdxxx2解

e1?xln30e(1?e)dxexx2=

?ln30(1?e)d(1?e)eex2x=

1(1?ex)33ln30=

56 36．

?lnxx 解

?lnxdx??lnxd(2x)?2xlnx??2xd(lnx)

111e1?2e??e212xdx?2e?4xe1?2e??e12xdx?4?2e

7．

?1dxx1?lnx 解

?e21x1?lnx1dx=

?e211?lnx?1d(1?lnx)=

21?lnx?e21=

2(3?1)

8．

?π20??xcos2xdx 解

?20111212xcos2xdx=xsin2x-?2sin2xdx=cos2x=?

0224020?1lnx(?1)dx?xln(x?1)e0??e?10e?1x1dx =e?1??(1?)dx

0x?1x?19．

?e?10ln(x?1)dx 解

?e?10 =e?1?[x?ln(x?1)]e?10＝lne=1

第 27 页 共 38 页

2006经济数学基础期末复习指导

四、应用题

1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

64?C??(2x?40)dx=(x?40x)4x0062= 100（万元）

C?(x)dx?c?又 C(x)?x令

36x2?40x?36= =x?40?

xx?36C(x)?1?2?0， 解得x?6.

x x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

2．已知某产品的边际成本C?(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R?(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解 因为边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x)=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令L?(x)= 0，得x = 500

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

550?L??(10?0.02x)dx?(10x?0.01x2)500550500 =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

3．生产某产品的边际成本为C?(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

L?(x) =R?(x) -C?(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x

令L?(x)=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又

L??L?(x)dx??(100?10x)dx?(100x?5x2)10??20

1010121212

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4．已知某产品的边际成本为C?(x)解：因为总成本函数为

?4x?3(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

C(x)??(4x?3)dx=2x2?3x?c

当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)=2x2?3x?18

又平均成本函数为

令

A(x)?C(x)18?2x?3? xxA?(x)?2?18?0， 解得x = 3 (百台) x2该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

第 28 页 共 38 页

2006经济数学基础期末复习指导

A(3)?2?3?3?18?9 (万元/百台) 3C(x)?3?x(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为R?(x)?15?2x 5．设生产某产品的总成本函数为 （万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 令L?(x)C?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x) = 14 – 2x

?0，得x = 7

由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为

?L??(14?2x)dx?(14x?x)78287 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.

15．已知某产品的边际成本C'(q) =2(元/件)，固定成本为0，边际收入R' (q) =12一0.02q(元/件) ，求： (1)产量为多少时利润最大?

(2)在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将发生什么变化？

经济数学基础综合练习

三 线性代数

一、单项选择题

1．设A为3?2矩阵，B为2?3矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行. A．AB B．AB C．A+B D．BA 2．设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） A. (AB) C.

TT

T

?ATBT

B.

(AB)T?BTAT

(ABT)?1?A?1(BT)?1 D. (ABT)?1?A?1(B?1)T

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3．设

． A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（D ）

T A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.(AB) C. 秩(A?B) 4．设

?ATBT

?秩(A)?秩(B) D.(AB)?1?B?1A?1

． A,B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ）

A．AB5．设 A.

?B B．AB?BA C．AA?I D．A?1?I

A是可逆矩阵，且A?AB?I，则A?1?（C ）.

B.

B 1?B C. I?B

D.

(I?AB)?1

＝（ D ）．

6．设

A?(12)，B?(?13)，I是单位矩阵，则ATB?I A．???1?2???2?2???13???23? B． C． D． ???????6?5??3?3??26???25?7．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立. A．AB = AC，A ? 0，则B = C B．AB = AC，A可逆，则B = C C．A可逆，则AB = BA D．AB = 0，则有A = 0，或B = 0

8．设 A.kAA是n阶可逆矩阵，k是不为0的常数，则(kA)?1?（C

?1）．

B.

1?1A kn C. ?kA?1 D.

1?1A k

?120?3??3?，则r(A) =（ D ） 9．设A?00?1． ????24?1?3?? A．4 B．3 C．2 D．1

?13? 10．设线性方程组AX?b的增广矩阵通过初等行变换化为?0?1?00??00数为（ A ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

130026?14??2?1??00?，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个

?x1?x2?1 11．线性方程组? 解的情况是（A

x?x?02?1）．

A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为

?1?2?，则当?＝（ A????210?B）时线性方程组无解．

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A．

12 B．0 C．1 D．2

13． 线性方程组

AX?0只有零解，则AX?b(b?0)（B）.

A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解

14．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（B ）． A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解

15．设线性方程组二、填空题 1．两个矩阵

AX?b有唯一解，则相应的齐次方程组AX?O（ C ）．

A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定

A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是 A与B是同阶矩阵 .

?2??300???12??0?= 2．计算矩阵乘积????011???1???3．若矩阵A =

[4] ．

??23?1?． ?4?62? ??4．设A为m?n矩阵，B为s?t矩阵，若AB与BA都可进行运算，则m,n,s,t有关系式 m?t,n?s ??12?，B = ?2?31?，则ATB= ．

?102???35．设A?a0??，当a? ??23?1??7．设

0 时，A是对称矩阵. 6．当a ?13???3 时，矩阵A??可逆. ???1a?．

A,B为两个已知矩阵，且I?B可逆，则方程A?BX?X的解X? (I?B)?1A

?2?12???028．设A为n阶可逆矩阵，则r(A)=n ． 9．若矩阵A =4??，则r(A) = ??0?33?? 10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b 无解 ．11．若线性方程组?2 ．

?x1?x2?0有非零解，则??

?x1??x2?0-1 ．

12．设齐次线性方程组

Am?nXn?1?0，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n – r ．

?x1??2x3?x4 (其中x3,x4?x?2x4?2?1?123??10?2?则此方程组的一般解为 13．齐次线性方程组AX?0的系数矩阵为A?0????0000??是自由未知量) .

14．线性方程组

AX?b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为

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0??1201?A??042?11??

??0000d?1??则当d

?1

时，方程组

AX?b有无穷多解.

15．若线性方程组

AX?b(b?0)有唯一解，则AX?0

只有0解 .

三、计算题

?102??211．设矩阵A????124?，B????13?T?11?，求(2I?A)B．

??3??3???0???100??102T?200??1?13??11解 因为

2I?AT=

???2?010???12=????4???020??21?=?00?001????311???02????0???0???241?????2?4?11?3??21??1?5?所以

(2I?AT)B=??00?1???13?=???41?????0?3?? ??2???03????0?11??2．设矩阵

A???102???212???61??1?20?，?B??010???，C???22??，计算BAT?C．

?002?????42???212??11???61??60???61??01解：BAT?C=??010?02?????0?2?????22??=??0?2?????22?? =??20??

??0???20?????42????40?????42????02???3．设矩阵A =??13?6?3???4?2?1?，求A?1．

???211???3．解 因为 (A I )=

??13?6?3100??114107???4?2?1010???001??211001???012???001? ?211???114107????001012??1101?4?1???0010??13???12?

??0?1?7?20???0?10?271???100?130?0?0????0?10?271??100?13??13????0102?7?1?? 所以 A-

1 =??7?1?12??2? ??0010???001012????012??第 32 页 共 38 页

?3??1?1???

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?4．设矩阵A =?012??114?，求逆矩阵A?1．

???2?10???解 因为(A I ) =?012100??114010??114010???012100?10001???80?21? ??2????0?3????102?110????012100????1002?11??1002?11???0104?21?????0104?21??

??00?23?21????00?23?21????001?321?12???2?11? 所以 A-

1=

??4?21??? ??321?12??5．设矩阵 A =??10?2??，B =?63?12?，计算(AB)-

1

20． ?1???????41??解 因为AB =??10?2???63??2012?=??21? (AB,I ) =??2110???2110? ?1?????41???????????4?1??4?101??0121?1??1?????20?1?1??1-= ?1?0121????10?22? 所以 (AB)1

?0121?2? ??2?21???6．设矩阵 A =?11??0?2?，B =?12?3?-

1

???，计算(BA)．?20???0?12? ?解 因为BA=??1?12?3??1?=

??0?12???0?2???5?3? (BA I)=

???5?310???1???20???42???4201?????4???11?1?1??10132??? 所以 (BA)-

1=?132?? ?0?245??????01?2?52?????2?52? ?7．解矩阵方程???2?3???1??34??X???2?．

?解 因为???2?310??1111??1111??1043? ?3401?????3401?????01?3?2?????01?3?2??第 33 页 共 38 页

?111?201??

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即

??2?3??34????13?3???1??2??4?4?? 所以，X =???3?2??2?=??1?

?3?2????????8．解矩阵方程

?12??1?1?X????20?.

35????解：因为?10??1210??12?10?52? ????????3501??0?1?31??013?1??1即

?12??35?????52??1?1??12???? 所以，X =?20??35?3?1???????1?1?1???52?=???3?1?= 20??????83???104? ??9．设线性方程组

?x3?2?x1??x1?2x2?x3?0 讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. ?2x?x?ax?b23?112?12??1012??10?10?12?10???02???01??2?2?1?1?????? ????21?ab???01?a?2b?4???00?a?1b?3??解 因为

所以当a??1且b?3时，方程组无解；当a??1时，方程组有唯一解；当a??1且b?3时，方程组有无穷多解.

10．设线性方程组

?2x3??1?x1???x1?x2?3x3?2，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. ?2x?x?5x?023?102?1?2?1??1?10?102?1?????01?11???01?11?1?32解 因为A??1?????? ???0?2?3??2?15??0?11??000?所以 r(A) = 2，r(A) = 3. 又因为r(A) ? r(A)，所以方程组无解.

11．求下列线性方程组的一般解：

?2x3?x4?0?x1???x1?x2?3x3?2x4?0 ?2x?x?5x?3x?0234?1解 因为系数矩阵

02?1?2?1??1?10?102?1????01?11???01?11?A???11?32??????

??0???2?15?3???0?11?1???000?第 34 页 共 38 页

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所以一般解为??x1??2x3?x4 （其中x3，x4是自由未知量）

?x2?x3?x4

12．求下列线性方程组的一般解：

?2x1?5x2?2x3??3? ?x1?2x2?x3?3??2x?14x?6x?12123??2?52?3??12?13??10?191????0?94?9???01?491?A??12?13??????

???00???214?612???018?818???00?解 因为增广矩阵

1?x?x3?11??9所以一般解为? （其中x3为自由变量）

?x?4x?123?9? 13．设齐次线性方程组

?x1?3x2?2x3?0??2x1?5x2?3x3?0 问?取何值时方程组有非零解，并求一般解. ?3x?8x??x?023?1解 因为系数矩阵

2??1?32??1?3?10?1???????01?1?1?1 A =2?53?0?????? ????3?8????01??6???00??5??所以当? = 5时，方程组有非零解. 且一般解为

?x1?x3 （其中x3是自由未知量） ?x?x3?2?x1?x2?x3?1?14．当?取何值时，线性方程组?2x1?x2?4x3?? 有解？并求一般解.

??x?5x3?1?1解 因为增广矩阵

11??1111??11?10?5?1?A??21?4????0?1?6??2???0162?

??????62???????1051????01??000? 所以当?=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：

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?x1?5x3?1 ??x2??6x3?2

(x3是自由未知量〕

15．已知线性方程组

AX?b的增广矩阵经初等行变换化为

1??1?16?3?A????01?330??

?00??3??00?问?取何值时，方程组

AX?b有解？当方程组有解时，求方程组AX?b的一般解.

解：当?=3时，r(A)?r(A)?2，方程组有解.

?1?16?31??10301?????01?330?1?330 当?=3时，A?0???? ??000??00??00000??一般解为??x1?1?3x3， 其中x3,x4 为自由未知量.

x?3x?3x34?2经济数学基础12年秋季学期模拟试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B）． A．sinx B．e C．x D．3 - x 2．曲线

x

2

y?1在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）． x?1 C．

A．?11 B．

2212(x?1)3 D．?12(x?1)3

3．下列定积分计算正确的是（ D ）． A．

?1?12xdx?2 B．?16?1dx?15 C．??2??2sinxdx?0 D．?sinxdx?0

??? 4．设

． A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ）

?1 A．(A?B)?A?1?B?1 B．(AB)?1?A?1B?1 C．(AB)?1?B?1A?1 D．AB?BA

AX?b有唯一解，则相应的齐次方程组AX?O（ C ）．

5．设线性方程组

A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定

二、填空题（每小题3分，共15分） 6．函数

?x?2,?5?x?0f(x)??2的定义域是 [-5, 2) ．

?x?1,0?x?2limx?sinx? 1 . 8．若f?(x)存在且连续，则[?df(x)]?? f?(x) ．

x??x第 36 页 共 38 页

7．求极限

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10．设齐次线性方程组

Am?nXn?1?0，且r (A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n-r ．

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

11．设

y?tanx3?2?x，求dy．

3x23x21?x?x3?x??(x)?2ln2(?x)dy?(?2ln2)dx ??2ln2解：因为 y??； 所以232323cosxcosxcosx?12．计算积分

?20111212xcos2xdx． 解：?2xcos2xdx=xsin2x-?2sin2xdx=cos2x=?

00224020????四、代数计算题（每小题15分，共30分）

2???11???10413．设矩阵A =1，计算(I?A)．

????2?1?1??4010??012??012100??11?????01?I?A??114140102100 且 (I +A I ) =1??????

????2?10???2?10001???0?3?80?21??解：因为

2?11??102?110??1002?11??100???0104?21???010???0121004?21??????

????00?23?21???00?23?21???001?321?12???11??2??21?(I?A)?1=?4? ???321?12?? 所以

?x4?2?x1?x2?14．求线性方程组?x1?2x2?x3?4x4?3的一般解．

?2x?3x?x?5x?5234?1解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

?1?1012??1?1012??1?1012??10?1?21??1?2143???0?1131???0?1131???01?1?3?1????????? ????00??2?3155???0?1131???00000???000?故方程组的一般解为：

?x1?x3?2x?41 (x3，x4是自由未知量〕 ?x?x?3x?134?22

五、应用题（本题20分）

15．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？ 解：（1）由已知R?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2

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利润函数L则L??R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2

?10?0.04q，令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250.

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大。 （2）最大利润为L(250)?10?250?20?0.02?2502?2500?20?1250?1230（元）

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