高中物理竞赛辅导 电磁感应

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电磁感应

§3。1 基本磁现象

由于自然界中有磁石(43O Fe )存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来，则两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N 表示)；指南的一端称南极(S 表示)。 磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N 极位于地理南极附近，S 极位于地理北极附近。

1820年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用……，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致? 1822年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N 、S 极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”，这就是物质磁性的基本来源。

一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。

§3。2 磁感应强度

3．2．1、磁感应强度、毕奥?萨伐尔定律

将一个长L ，I 的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为F 。 当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力m F 和IL 的比值，叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时N 极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。

真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间各点的B 也就确定了。 根据载流回路而求出空间各点的B 要运用一个称为毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们：一个电流元I ?L(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为r 的P 点所产生

的磁场的磁感强度B ?大小为

2sin r L I K θ?=，

θ为顺着电流I ?L 的方向与r 方向的夹角，B ?的方向可用右手螺旋法则确定，即伸出右手，先把四指放在I ?L 的方向上，顺着小于π的角转向r 方向时大拇指方向即为B ?的方向。式中K 为一常数，K=710-韦伯/安培?米。载流回路是由许多个I ?L 组成的，求出每个I ?L 在P 点的B ?后矢量求和，就得到了整个载流回路在P 点的B 。 l I ? //B

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 如果令πμ=40K ，7

0104-?π=μ特斯拉?米?安1-，

那么B ?又可写为

20

sin 4r L I B θ?πμ=? 0μ称为真空的磁导率。

下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为R ，载电流为I 的圆电流轴线上，距圆心O 为χ的一点的磁感应强度

在圆环上选一I l ?，它在P 点产生的磁感应强度

2020490sin 4r l

I r l I B ?πμ=?πμ=? ，其方向垂直于I l ?和r 所确定的平面，将B

分解到沿OP 方向//B ?和垂直于OP 方向⊥?B ，环上

所有电流元在P 点产生的⊥?B 的和为零，

r R

r l I B B ??=

?=?20//4sin ,πμα

B=

∑∑

π?πμ=?πμ=?R r RI

l r RI B 2443030//（∑

=?R l π2线性一元叠加） 2/32220)(2R I

R +χμ=

在圆心处，0=χ，

R I B 20μ=

3．2．2、 由毕——萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度B

(1)无限长载流直导线

为了形象直观地描述磁场，引进了与电感线相似的磁感线。

长直通电导线周围的磁感线如图3-2-3所示。如果导线中通过的电流强度为I ，在理论上和实验中都可证明，在真空中离导线距离为r 处的磁感强度

r I B πμ=20 或 r I K

B =

式中0μ称为真空中的磁导率，大小为m T /1047

-?π。

17102--??=m T K

(2)无限长圆柱体

无限长载流直导线

r I

B πμ20

=

r 为所求点到直导

线的垂直距离。半径为R ，均匀载有电流，其电流密度为j 的无限长圆柱体

图3-2-3

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 当r ＜R ，即圆柱体内 2

022R rI

r j B πμμ== 当r ＞R ，即圆柱体外

r I r j R B πμ=ππμ=22020 (3)长直通电螺线管内磁场

长直导电螺线管内磁场如图图3-2-4所示可认为是匀强磁场，场强大小可近似用无限长螺线管内B 的大小表示

nI B 0μ=内

n 为螺线管单位长度的匝数

(4)螺绕环的磁场与长直通电螺线管内磁场的磁场相同。

3．2．3、磁感应线和磁通量

为了形象地描绘磁场的分布，在磁场中引入磁感应线，亦即磁力线。磁力线应满足以下两点：

第一，磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度B 的方向；第二，通过垂直于B 的单位面积上的磁感应线的条数应等于该处磁感应强度B 的大小。 图3-2-5的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流

的磁场的磁力线。从图中可看到：磁力线是无头无尾的闭合

线，与闭合电路互相套合。磁感线是一簇闭合曲线，而静电场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到负电荷，或者是从正电荷到无穷远处，从无穷远处到负电荷)。这是一个十分重要的区别，凡是感线为闭合曲线的场都不可能是保守场。

磁感强度是一个矢量，如果两个电流都对某处的磁场有贡献，就要用矢量合成的方法。如果有a 、b 两根长直通电导线垂直于纸面相距r 放置，电流的大小I I a =，I I b 2=(图3-2-6)那么哪些位置的磁感强度为零呢？在a 、b 连线以外的位置上，两根导线上电流所产生的磁感强度a B 和b B 的方向都不在一直线 上，不可能互相抵消；在a 、b 连线上，a 左边或b 右边的位置上，a B 和b B 的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a 、b 中间的连线上，a B 和b B 才有可能互相抵消，设离a 距离为χ的P 处合磁感应强度为零(图3-2-6)

B A B B B ∑+=(矢量式)=0

2=χ-'-χ'r I k I k

χ-'=χ'r I k I k 2，3r =χ

通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁

通量，磁通量的单位是韦伯，1韦伯=1特斯拉?1米2

。

(b) 图

3-2-5

（a ） （b ） 图2-3-7

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 图3-2-7(a)中，通过匀磁场中与磁力线垂直的平面0S 的磁通量为0BS =Φ；而通过与磁力线斜交的S 面的磁通量为：

θcos BS =Φ (θ角即是两个平面S 和S 0的夹角，也是S 面的法线与B 的夹角)。

而在(b)中，磁场和曲面都是任意的，要求出通过S 面的磁通量应把通过S 面上每一小面元i S ?的磁通量求出后求和，即：

∑?=Φi i i S B θcos

3．2．4、磁场中的高斯定理

考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线，对磁场中任一封闭曲面来说，有多少根磁力线穿入，必有多少根穿出，即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理，它表明了磁场一个重要性质，即磁场是无源场，自然界中没有单独的N 极或S 极存在。

3．2．5、典型例题

例1：图3-2-8所示，两互相靠近且垂直的长直导线，分别通有电流强度1I 和2I 的电流，试确定磁场为零的区域。 分析：建立图示直角坐标系，用安培定则判断出两电

流形成的磁场方向后，可以看出在Ⅰ、Ⅲ两象限内，两磁

场方向相反，因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限内。

解：设P(x 、y)点合磁感强度为零，即有021=-y I k x I k 得 x I I y 12= 这就是过原点的直线方程，其斜率为I 2/I 1。 例2：如图3-2-9所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A 和B 与固定电源连接起来，

计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。

分析：磁感强度B 可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度

部分的累加)的贡献之和，因为对称性，圆环上各部分电流在圆心处磁场

是相同或相反，可简化为代数加减。 解：设A 、B 两点之间电压为U ，导线单位长度电阻ρ，如图3-2-10所示，则二段圆环电流

ραR U I =1ραπ?-=R U I )2(2 磁感强度B 可以是圆环每小段l ?部分磁场B ?的叠加，在圆

心处，B ?可表达为R l I k B ??=?，所以： Ⅳ x

y Ⅰ Ⅱ Ⅲ

图3-2-8

图3-2-9 图3-2-10

B ?

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αα11111kI R R I

k R l I k

B =?== )

2()2(22222απαπ-=?-?==kI R R l

k R l I k B

因 ραπραR I R I )2(21-=故21B B =，即两部分在圆心处产生磁场的磁感强度大小相等，但磁场的方向正好相反，因此环心处的磁感强度等于零。

§3。3 磁场对载流导体的作用

3．3．1、安培力

一段通电直导线置于匀磁场中，通电导线长

L ，电流强度为I ，磁场的磁感应强度为B ，电流I 和磁感强度B 间的夹角为θ，θsin ?=BIL F 电流方向与磁场方向平行时，

0=θ，或

180=θ，F=0，电流方向与磁场方向垂直时，

90=θ，安培力最大，F=BIL 。

安培力方向由左手定则判断，

它一定垂直于B 、L 所

决定的平面。

当一段导电导线是任意弯曲的曲线时，如图3-3-1所

示可以用连接导线两端的直线段的长度l 作为弯曲导线的等效长度，那么弯曲导线缩手的安培力为

θsin BIL F =

3．3．2、安培的定义

如图3-3-2所示，两相距为a 的平行长直导线分别载有电流1I 和2I 。 载流导线1在导线2处所产生的磁感应强度为

a I B πμ21

021=

，

方向如图示。

导线2上长为

2L ?的线段所受的安培力为：

2sin

21222π

B L I F ?=?

=

2

2

1021222L a I I B L I ?=

?πμ

其方向在导线1、2所决定的平面内且垂直指向导线1，导线2单位长度上所受的力

Ｐ

B 图3-3-1

图3-3-2

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a I I L F πμ22

1022=??

同理可证，导线λ上单位长度导线所受力也为

a I I L F πμ22

1011=??。方向垂直指向2，两条导线间是吸引力。也可证明，若两导线内电流方向相反，则为排斥力。

国际单位制中，电流强度的单位安培规定为基本单位。安培的定义规定为：放在真空中的两条无限长直平行导线，通有相等的稳恒电流，当两导线相距1米，每一导线每米长度上受力为27

10-?牛顿时，各导线上的电流的电流强度为1安培。

3．3．3、安培力矩

如图3-3-3所示，设在磁感应强度为B 的均匀磁场中，有一刚性长方形平面载流线图，边长分别为L 1

和L 2，电流强度为I ，线框平面的法线n 与B

之间的夹角为θ，则各边受力情况如下：

2BIL f ab = 方向指向读者 2BIL f cd = 方向背向读者

θ

θπ

cos )2sin(11BIL BIL f bc =-= 方向向

下

θθπ

cos )2sin(11BIL BIL f da =+= 方向向

上

bc f 和da f 大小相等，方向相反且在一条直线上，互

相抵消。

ab f 和cd f 大小相等，指向相反，但力作用线不在同

一直线上，形成一力偶，力臂从图3－3－3中可看出为

θ

θπ

sin )2cos(11L L =-

故作用在线圈上的力矩为：

θθsin sin 121L BIL L f M ab == 而21L L 为线圈面积S ，故 θ=sin BIS M

我们称面积很小的载流线圈为磁偶极子，用磁偶极

矩m P 来描绘它。其磁偶极矩的大小为平面线圈的面积与所载电流的电流强度之乘积，即

IS P m =，其方向满足右手螺旋法则，即伸出右手，四指绕电流流动方向旋转，大拇指所指方

图3-3-3

ab

图3-3-4

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向即为磁偶极矩的方向，如图3-3-4中n 的方向，则θ角即为磁偶极矩m P 与磁感应强度B 的

正方向的夹角。这样，线圈所受力矩可表为

θ=sin B P M m

我们从矩形线圈推出的公式对置于均匀磁场中的任意形状的平面线圈都适合。

典型例题

例1． 距地面h 高处1水平放置距离为L 的两条光滑金属导轨，跟导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为ε的电池，电容为C 的电容器及质量为m 的金属杆，如图3-3-5，单刀双掷开关S 先接触头1，再扳过接触头2，由于空间有竖直向下的强度为B 的匀强磁场，使得金属杆水平向右飞出做平抛运动。测得其水平射程为s ，问电容器最终的带电量是多少？ 分析：开关S 接1，电源向电容器充电，电量ε=C Q 0。S 扳向2，电容器通过金属杆放电，电流通过金属杆，金属杆受磁场力向右，金属杆右边的导轨极短，通电时间极短，电流并非恒定，力也就不是恒力。因此不可能精确计算每个时刻力产生的效果，只能关心和计算该段短时间变力冲量的效果，令金属杆离开导轨瞬间具有了水平向右的动量。根据冲量公

式q BL t BLi t F ?=?=?，跟安培力的冲量相联系的是t ?时间内流经导体的电量。由平抛的高度与射程可依据动量定理求出q ?，电容器最终带电量可求。

解：先由电池向电容器充电，充得电量εC Q =0。之后电容器通过金属杆放电，放电电流是变化电流，安培力

BLi F =也是变力。根据动量定理：

mv q BL t BLi t F =?=?=?

其中 v =s/t ，h=21

gt 2

综合得 h g s

v 2= h g

BL ms BL mv q 2=

=?

电容器最终带电量

h g

BL ms C q Q Q 20-

ε=?-=

点评：根据动量定理来研究磁场力冲量产生的效果，实际上就是电量和导体动量变化的关系，这是磁场中一种重要的问题类型。 例2 图3-3-6中，无限长竖直向上的导线中通有恒定电流0I

，

图3-3-5

2L

图3-3-6

图3-3-7

2L F 1

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已知由0I 产生磁场的公式是

r I k B 0

=，k 为恒量，r 是场点到0I 导线的距离。边长为2L 的正方形线圈轴线O O '与0I 导线平行。某时刻线圈的ab 边与0I 导线相距2L 。已知线圈中通有电流I 。求此时刻线圈所受的磁场力矩。

分析：画俯视图如图3-3-7所示，先根据右手螺旋法则确定1B 和2B 的方向，再根据左手定则判断ab 边受力1F 和cd 边受力2F 的方向，然后求力矩。

解：根据右手螺旋法则和左手定则确定1B 和2B 、1F 和2F 的方向，如图3-3-7所示。

L I k B 201=

L I K B 2202= I kI LI B F 0112==， I kI LI B F 022222==

1F 对O O '轴产生的力矩

IL kI L F M 011==

2F 对O O '轴产生的力矩

IL kI L F M 02

22122== 两个力矩俯视都是逆时针同方向的，所以磁场对线圈产

生的力矩 IL kI M M M 02123=+=

点评：安培力最重要的应用就是磁场力矩。这是电动机的原理，也是磁电式电流表的构造原理。一方面要强调三维模型简化为二维平面模型，另一方面则要强调受力边的受力方向的正确判断，力臂的确定，力矩的计算。本题综合运用多个知识点解决问题的能力层次是较高的，我们应努力摸索和积累这方面的经验。

§3。4 磁场对运动电荷的作用

3．4．1、洛伦兹力

载流导线所受的安培力，我们可看为是磁场作用给运动电荷

即自由电子的力，经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的。

根据安培定律θsin L IB F ?=，而电流强度与运动电荷有关

系qnvs I =，θ角既是电流元L I ?与B 的夹角，也可视为带电粒子的速度v 与B 之间的夹角，L ?长导线中有粒子数LS n N ?=，则每个电子受到的力即洛伦兹力为

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 θ=?θ?==sin sin qvB LS n L qnvSB N F f

洛伦兹力总是与粒子速度垂直，因此洛伦兹力不作功，不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲。

洛伦兹力的方向从图3-4-1可以看出，它一定与磁场(B)的方向垂直，也与粒子运动(v )方向垂直，即与v 、B 所在的平面垂直，具体方向可用左手定则判定。但应注意，这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向，它恰与负电荷沿相反方向运动等效。

3．4．2、带电粒子在匀强磁场中的运动规律

带电粒子在匀强磁场中的运动规律与粒子的初始状态有关具体如下：

如果带电粒子原来静止，它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用，因而保持静止。 如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦磁力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。

带电粒子速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度v 作匀速圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式。

(1)向心力公式：

R v m qvB 2

= (2)轨道半径公式：

Bq mv R = (3)周期、频率和角频率公式，即：

Bq m v R T π=π=22，m Bq T f π==21，m Bq f T =π=π=ω22 (4) 动能公式：m BqR m p mv E k 2)(221222=== 如图3-4-2所示，在洛伦兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向运动还是沿逆时针方向运动，从A 点到B 点，均具有下述特点： (1)轨道圆心(O)总是位于A 、B 两点洛伦兹力(f)的交点上或AB 弦

的中垂线O O '与任一个f 的交点上。

(2)粒子的速度偏向角?等于回旋角a ，并等于AB 弦与

切线的夹角(弦切角θ)的两倍，即t a ω=θ==?2。

磁场中带电粒子运动的方向一般是任意的，但任何一个带

电粒子运动的速度(v )都可以在垂直于磁场方向和平行于磁场

方向进行分解，得到⊥v 和//v 两个分速度。根据运动的独立性

可知，这样的带电粒子一方面以//v 在磁场方向上作匀速运动，

一方面又在垂直于磁场的方向上作速率为⊥v 的匀速圆周运

动。实际上粒子作螺旋线运动(如图3-4-3)，这种螺旋线运动

图3-4-3

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的周期和螺距大小读者自己分析并不难解决。其螺旋运动的周期qB m T /2π=，其运动规律：

螺旋运动回旋半径：

qB mv r θ

=

sin

螺旋运动螺距：qB mv T v h /cos 2//θπ=?= 3．4．3、霍尔效应

将一载流导体放在磁场中，由于洛伦兹力的作用，会使带电粒子(或别的载流子)发生横向偏转，在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍尔效应。

如图3-4-4所示，电流I 在导体中流动，设导体横截面高h 、宽为d 匀强磁场方向垂直与导线前、后两表面向外，磁感强度为B ，导体内自由电子密度为n ，定向移动速度v

d nevh I ?=

由于洛伦兹力作用，自由电子向上表面聚集，下表面留下正离子，结果上下表面间形成电场，存在电势差U ，这个电场对电子的作用力方向向下，大小为

h U e eE F ?

==

当F 与洛伦磁力f 相平衡时，上、下表面电荷达到稳定，则有

evB h U

e

=

ned IB U =

如果导电的载流子是正电荷，则上表面聚集正电荷，下表面为负电势，电势差正、负也正好相反。

下面来分析霍尔电势差，求出霍尔系数。

在图3-4-5中，设大块导体的长和宽分别为L 和d ，单位体积自由电荷密度为n ，电荷定向移动速率为v ，则电流

nqLdv I =。

假定形成电流的电荷是正电荷，其定向移动方向就是电流方

向。根据左手定则，正电荷向上积聚，下表面附近缺少正电荷则呈现负电荷积聚，上正下负

电压为a Ua '，正电荷受到跟磁场力反向的电场力

L a Ua q

qE F '

==的作用。 电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用，当最后达到平衡时qBv L a Ua q ='，可得

nq d BI nqLd I BL BLv a Ua 1

?

==='

。可见，理论推导的结果跟实验结果完全一致，系数

图3-4-5

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 nq k 1

=。

既然k 跟n 有关，n 表征电荷浓度，那么通过实验测定k 值可以确定导体或半导体的电荷浓度n ，半导体的n 值比金属导体小得多，所以k 值也大得多。此外根据左手定则还可知，即使电流I 就是图3-4-6中的流向，如果参与流动的是正电荷，那么电压就是上正下负；如果参与定向移动的是自由电子，那么电压就是上负下正了。霍尔电势的高低跟半导体是p 型的还是n 型的有如此的关系：上正下负的是p 型半导体，定向载流子是带正电的空穴：上负下正的是n 型半导体，如果k 值小得多就是金属导体，定向载流子是自由电子。

3．4．4、磁聚焦

运动电荷在磁场中的螺旋运动被应用于“磁聚焦技术”。

如图3-4-7，电子束经过a 、b 板上恒定电场加速后，进入c 、d 极板之间电场，c 、d 板上加交变电压，所以飞出c 、d 板后粒子速度v 方向不同，从A

孔穿入螺线管磁场中，由于v 大小差不多，且v 与B 夹角θ很

小，则 v v v ≈θ=cos // θ≈θ=⊥v v v sin

由于速度分量⊥v 不同，在磁场中它们将沿不同半径的螺

旋线运动。但由于它们速度//v 分量近似相等，经过qB mv qB mv h π≈π=22//后又相聚于A '点，这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似，所以叫做磁聚焦现象。

磁聚焦原理被广泛地应用于电真空器件如电子显微镜。 3．4．5、复合场中离子的运动

1．电场和磁场区域独立

磁场与电场不同，磁场中，洛伦磁力对运动电荷不做功，只改变带电粒子速度方向，所以在匀强磁场中带电粒子的运动主要表现为：匀速圆周运动、螺旋

运动、匀速直线运动。而电场中，电荷受到电场力作

用，电场力可能对电荷做功，因而改变速度大小和方

向，但电场是保守场，电场力做功与运动路径无关。处理独立的电场和磁场中运动电荷问题，是分开独立处理。

例：如图3-3-8所示，在xoy 平面内，y ＞O 区域有匀强电场，方向沿-y 方向，大小为E ，y ＜O 区域有匀强磁场，方向垂直纸面向里，大小为B ，一带电+q 、质量为m 的粒子从y 轴上一点P 由静止释放，要求粒子能经过x 轴上Q 点，Q 坐标为(L ，O)，试求粒子最初释放点

P I 图3-4-7

图3-4-8

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 的坐标。

分析：解决上述问题关键是明确带电粒子的受力和运动特点。

从y 轴上释放后，只受电场力加速做直线运动，从O 点射入磁场，

然后做匀速圆周运动，半圈后可能恰好击中Q 点，也可能返回电

场中，再减速、加速做直线运动，然后又返回磁场中，再经半圆有可能击中Q 点，……。那么击中Q 点应满足L R n =?2的条件。 2．空间区域同时存在电场和磁场

（1） （1） 电场和磁场正交

如图3-4-9所示，空间存在着正交的电场和磁场区域，电场平行于纸面平面向下，大小为E ，磁场垂直于纸面向内，磁感强度为B ，一带电粒子以初速0v 进入磁场，E v ⊥0，B v ⊥0，设粒子电量+q ，则受力：f 洛=B qv 0方向向上，F 电=qE 方向向下。若满足：

B qv 0=qE

0v =E/B

则带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动，这是一个速度选择器模型。

若粒子进入正交电磁场速度0v v ≠，则可将v 分解为10v v v +=，粒子的运动可看成是0v 与1v 两个运动的合运动，因而粒子受到的洛伦兹力可看成是B qv 0与B qv 1的合力，而B qv 0与电场力qE 平衡，粒子在电场中所受合力为B qv 1，结果粒子的运动是以0v 的匀速直线运动和以速度1v 所做匀速圆周运动的合运动。

例：如图3-4-10正交电磁场中，质量m 、带电量+q 粒子由一点P 静止释放，分析它的运动。

分析：粒子初速为零释放，它的运动轨迹是如图3-4-10

所示的周期性的曲线。初速为零，亦可看成是向右的0v 与向

左-0v 两个运动的合运动，其中0v 大小为：0v =E/B

所以+q 粒子可看成是向右0v 匀速直线运动和逆时针的

匀速圆周运动的合运动。电场方向上向下最大位移 R d m 2= 20qB mE qB mv R ==

22qB mE d m =

一个周期向右移动距离L 即PP 1之距为 T v L ?=0

B E

图3-4-9

图3-4-10

B 0

υ3-4-11

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qB m T π2=

代入，得：

22qB mE L π=

最低点Q 点速度 02v

v Q

= （2） （2） 电场和磁场平行

如图3-4-11所示的空间区域有相互平行的电场和磁场E 、B 一带电+q 粒子以初速0v 射入场区E v ⊥0(或B)。则带电粒子在磁场力作用下将做圆周运动，电场力作用下向上做加速运动，由于向上运动速度分量1v 始终与B 平行，故粒子受洛伦磁力大小恒为B qv 0，结果粒子运动是垂直于E(或B)平面的半径R=m 0v /qB 的匀速圆周运动和沿E 方向匀加速直线运动的合运动，即一个螺距逐渐增大的螺旋运动。

（3） （3） 电场力、洛伦磁力都与0v 方向垂直，粒子做匀速圆周运动。

例如电子绕原子核做匀速圆周运动，电子质量m ，电量为e ，现在垂直轨道平面方向加一匀强磁场，磁感强度大小为B ，而电子轨道半径不变，已知电场力3倍与洛伦磁力，试确定电子的角速度。

在这里电子绕核旋转，电场力、洛伦磁力提供运动所需向心力，即

f 电+f 洛=r mv /2

而f 洛可能指向圆心，也可能沿半径向外的，因而可能是

r mv evB evB /32=+ r mv evB evB /32=-

m eB 21=ω或m eB 42=

ω

典型例题

例1．在如图3-4-12所示的直角坐标系中，坐标原点O 固定电量为Q 的正点电荷，另有指向y 轴正方向(竖直向上方向)

为B 的匀强磁场，因而另一个质量为m 、电量力为q 的正点电荷微粒恰好能以y 轴上的O '点为圆心作匀速圆周运动，其轨道平面(水平面)与xoz 平面平行，角速度为ω，试求圆心O '的坐标值。

分析：带电微粒作匀速圆周运动，可以确定在只有洛伦磁力和库仑力的情况下除非O '与O 不重合，必须要考虑第三个力即重力。只有这样，才能使三者的合力保证它绕O '在水平面内作匀速圆周运动。

解：设带电微粒作匀速圆周运动半径为R ，圆心的O '纵坐标为y ，圆周上一点与坐标原点的连线和y 轴夹角为θ，那么有

图3-4-13

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y R tg =

θ

带电粒子受力如图3-4-13所示，列出动力学方程为 mg=F 电cos θ (1) f 洛-F 电R m 2

sin ω=θ? (2) f 洛=RB q ω (3) 将(2)式变换得

f 洛-=R m 2

ωF 电θsin (4) 将(3)代入(4)，且(1)÷(4)得

R y

R m RB q mg =

-2ωω

消去R 得

2ωωm B q mg

y -=

例2．如图3-4-14所示，被1000V 的电势差加速的电子从电子枪发射出来，沿直线a 方向运动，要求电子击中在a 方向、距离枪口5cm 的靶M ，对以下两种情形求出所用的均匀磁场的磁感应强度B ．

（1）磁场垂直于由直线a 与点M 所确定的平面。 （2）磁场平行于TM 。

解： （1）从几何考虑得出电子的圆轨道

的半径为(如图3-4-15)

a d r sin 2=

按能量守恒定律，电荷Q 通过电势差U 后的速度v 为

UQ mv =2

21

即

m UQ

v 2=

作用在电荷Q 上的洛伦磁力为 QBv F =

这个力等于向心力 QBv

r mv =2

故所需的磁感应强度为

rQ mv B =

用上面的半径和速度值，得到

Q U d

a B m 2sin 2=

图3-4-14

图3-4-15

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由于kg m 311011.9-?=，C Q 19

106.1-?=，所以

B=0.0037T （2）在磁场施加的力与速度垂直，所以均匀恒定磁场只改变

电子速度的方向，不改变速度的大小。 我们把电子枪发射的电子速度分解成两个直线分量：沿磁场B 方向的a v cos 和垂直磁场的a v sin ，因为a v cos 在磁场的方向上，磁场对它没有作用力(图3-4-16)。

电子经过d/a v cos 时间后到达目标M 。由于磁场B 和垂直的速度分量a v sin ，电子在圆轨道上运动，由

a BQv r a

mv sin sin 22=

得到圆半径为

QB a mv r sin =

电子在目标M 的方向上也具有速度a v cos ，结果是电子绕B 方向作螺旋线运动。电在在

d/a v cos 时间内，在绕了k 圈后击中目标。K 是一个整数。圆的周长为

QB a mv r /sin 22ππ=

由于绕圆周运动的速度是a v sin ，故绕一周的时间是 QB m

a

QBv a mv ππ2sin sin 2=

这个值乘上整数k ，应等于 d/a v cos k QB m

a v d ?=π2cos

因此，所需的磁感应强度为

Q U d

a

k v Qd a m k B m

2cos 2cos 2π=??

=

k=1时，电子转一圈后击中目标：k=2时，电子转两圈后击中目标，等等。只要角度a 相同，磁场方向相反与否，无关紧要。

用给出的数据代入，得 B=k ×0.0067T

例3．一根边长为a 、b 、c(a ＞＞b ＞＞c)的矩形截面长棒，如图3-4-17所示，由半导体锑化铟制成，棒中有平行于a 边的电流I 通过，该棒放在垂直于c 边向外的磁场B 中，电流I 所产生的磁场忽略不计。该电流的载流子为电子，在只有电场存在时，电子在半导体中的平均速度E v μ=，其中μ为迁移率。

（1） （1） 确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。 （2） （2） 计算夹c 边的两表面上相对两点之间的电势差。 （3） （3） 如果电流和磁场都是交变的，且分别为

t I I ωsin 0=，?ω+=t B B sin(0)，求(2)中电势差的直流分量的表达

式。

图3-4-16

图3-4-17

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 已知数据：电子迁移率s V m ?=/8.72

μ，电子密度322/105.2m n ?=，I=1. 0A ，B=0.1T ，b=1.0cm ，c=1.0mm ，e=1.6×10-19C

分析： 这是一个有关霍尔效应的问题，沿电流方向，导体内存在电场，又因为霍尔效应，使得电子偏转，在垂直电流方向产生电场，两侧面间有电势差的存在 解： (1)因为 c nevb I ?=

s m nebc v /251==

所以电场沿a 方向分量 m V v E /2.3///==μ

沿c 方向的分量 ⊥=qE qvB m V vB E /5.2==⊥

总电场大小：

m V E E E /06.422//=+=⊥

电场方向与a 边夹角a ，a =

38)2.35.2()(1//1==-⊥-tg E E tg

(2) 上、下两表面电势差 V c E U 3105.2-⊥⊥?=?=

(3)加上交变电流和交变磁场后，有前面讨论的上、下表面电势差表达式nec IB U =，可得：

)sin(sin 00?+ω?ω==⊥t t nec B I nec IB U =???????+?+ωcos 21)2cos(2100t nec B I 因此⊥U 的直流分量为 ⊥U 直=?cos 200nec B I 例4．如图3-4-18所示，空间有互相正交的匀强电场E 和匀强磁

场B ，E 沿+y 方向，B 沿+z 方向，一个带正电+q 、质量为m 的粒子(设重力可以忽略)，从坐标圆点O 开始无初速出发，求粒子坐标和时间的函数关系，以及粒子的运动轨迹。

分析：正离子以O 点起无初速出发，受恒定电场力作用沿+y 方向运动，因为速度v 的大小、方向都改变，洛伦兹力仅在xOy

平面上起作用，粒子轨迹一定不会离开xOy 平面且一定以O 为起点。既然粒子仅受的两个力中一个是恒力一个是变力，作为解题思路，利用独立性与叠加原理，我们设想把洛伦兹力分解为两个分力，使一个分力跟恒电场力抵消，就把这个实际受力简化为只受一个洛伦兹力分力的问题。注意此处不是场的分解和抵消，而是通过先分解速度达到对力进行分解和叠加。 y x

z O

E B 图3-4-18

C

图3-4-19

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 我们都知道，符合一定大小要求的彼此正交的匀强复合电磁场能起速度选择器作用。受其原理启发，设想正离子从O 点起(此处00=v )就有一个沿x 轴正方向、大小为B E

v =0的始

终不变的速度，当然在O 点同时应有一个沿-x 方向的大小也是B E

的速度，保证在O 点00=v ，则qE qBv c =，c qBv 沿-y 方向，qE 沿+y 方向，彼此抵消，可写成)()(E F v f c B -=。因任一时刻v v v c t '+=，所以)()()(v f v f v f B c B t B '+=，或改写成：)()()(v f E F v f B t B '=+。始终的三个速度和B f 都在xOy 平面上，其物理意义是：正离子在复合场中受的两个真实的力B f (t v )和F(E)的矢量和，可以用一个洛伦磁力分力)(v f B '来代替，这样做的一个先决条件是把正离子运动看成以下两个分运动的合成：①沿+x 方向的c v =E/B 的匀速直线运动；②在xOy 平面上的一个匀速圆周运动，其理由是：)(v f B '是平面力，轨迹又是平面的不是三维空间的，所以)(v f B '必与v '垂直，在O 点v '就是-c v ，之后)(v f B '不对离子作功，v '大小不变，)

(v f B '充当向心力。这个圆周运动特征量是：

qB m T π2=，m qB T =π=ω2，

2qB mE qB v m r ='=。 解：t=0时刻，正离子位于O 点，此时起离子具有两个速度：一是速度方向始终不变、大小为c v =E/B 的速度。由这个速度引起的洛伦磁力跟电场力抵消。另一个速度是在O 点时沿-x 方向的大小为E/B 的速度，该速度引起的洛伦磁力指向(0，+2qB mE

)点，这点就是t=0时的圆心。

之后该圆心以速率c v 沿平行于x 轴正向的方向无滑动开始平动，正离子是该圆周上的一个点，且t=0是恰好就是该圆与x 轴的切点即坐标原点，此后，正离子相对圆心以角速度ω顺时针绕行。在xOy 平面上，粒子的轨迹被称为旋轮线，其坐标值随时间的变化为参数方程：

z=0 (1)

t m qB qB mE t B E t r t v x c sin sin 2

-=-=ω (2) )cos 1(cos 2t m qB qB

mE t r r y -=-=ω (3) 有一定数学能力的人不妨尝试把参数t 消去得出y 与x 的关系式，用来表示其轨迹的方法。 点评：设想一个轮子沿地面做无滑动的滚动，轮子边缘用红颜料涂上色，观察这个边缘所得的运动轨迹就是旋轮线。

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§3.5 应用

3．5．1、质谱仪

密粒根油滴实验可测定带电粒子的电量，而质谱仪能测定带电粒子荷质比q/m ，两者结合可测定带电粒子质量。如图3-5-1为质谱仪的原理图。

图中粒子源产生质量m 、电量q 的粒子，由于初始速度很小，可以看做是静止的。粒子经加速电压U 后，速度为v ，由动能定理：

2

21

mv qU =

带电粒子进入磁感强度为B 匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，粒子运动半圈后打在P 点的照相底片上，测得x ，则半径

2x

R =

，根据向心力公式

R mv qvB /2=

得

228/x B U m q =

3．5．2、磁流体发电机

磁流体发电机是一种不依靠机械传动，而直接把热能转变为电能的装置。

如图3-5-2所示为磁流体发电机原理图。在距离为d 的两平行金属板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B 。从左侧有高速运动的等离子体(含有相等数量正、负离子)射入其间，离子在洛伦磁力作用下发生偏转，正离子向上偏、负离子向下偏，结果M 板带正电，N 板带负电，使M 、N 板成为能提供正、负电荷的电源两极，随着电荷的聚集，两板间产生电场阻碍电荷偏转，最终稳定时，射入两板间离子所受洛伦磁力与电场力平衡

qvB qE =

两板间场强v B E ?=，两板间电势差为

d Bv d E U ?=?=

电键K 断开时，此电势差即为磁流体发电机电动势，即：Bvd =ε

当电键K 闭合时，M 、N 板放电，对外做功，此时两板间电势差小于电动势。 3．5．3、回旋加速器

回旋加速器是利用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动周期与速度无关的原理，实现对粒子反复加速的装置。如图3-5-3所示，回旋加速器核心部分是两个D 型金属扁盒，两D 型盒之间留有狭缝，在两D 型盒之间加高频交变电压，于是狭缝间形成交变电场，由于电屏蔽，D 型金属盒内电场几乎为零。D 型盒置于真空容器中，整个装置又放在巨大电磁铁两极之

B

S 图3-5-1

图3-5-2

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 间。磁场垂直于D 型盒。狭缝中心处有粒子源0S ，当0S 发出带电粒子首先通过狭缝被加速，调节高频交变电压变化周期与粒子在D 型盒中运动周期相

等，使粒子每次通过狭缝时都被电场加速，经过反复加速，

粒子速度越来越大，回旋半径也越来越大，趋近盒边缘时粒

子加速达到最大速度引出，如图3-5-4．

粒子在磁场中回旋时有：

r mv qvB /2=

qB mv r /=

qB m v r T ππ22==

粒子速度最大时r=R ，R 为D 型盒半径，所以粒子达最

大速度m v 为 m qBR v m /=

最大动能Km E

m R B q E Km 2222=

关于回旋加速器：回旋加速器的任务，是使某些微观带

电粒子的速率被增加到很大，因而具有足够动能，成为可用

于轰击各种靶元素的原子核甚至核内基本粒子的高能炮弹。

早期欧洲核子研究中心的质子同步加速器，造价2800

万美元，轨道半径560英尺(1英尺=0.305m)=170.8m ，最大磁场为1.4T ，质子在其中绕行总路程为5×104英里(1英里=1.6093km)=80465km=2倍赤道周长后引出，最大能量达到2.8×1010eV ，每次放出质子1011个。20世纪80年代末该加速器的效果已达到4×1011eV 。世界上最大的加速器在美国加利福尼亚，直径几乎达3km ，20世纪80年代末，其加速效果达到了1012eV 。我国80年代后半期最大的加速器为5×1010eV ，在四川省。

课本上说影响回旋加速器的加速能力的主要因素是相对论效应。其涵义是：在极高速运动中，微粒质量随速度增加而显著变大。相对论质量公式是：

2

0)(1/c v m m -=

0m 是微粒静止质量，m 是运动质量，c 是光速。当v ＜＜c 时，0m m ≈，但是当速度v 接近光速时，1→c v ，m 就变得非常大。

事实上，在汤姆逊发现电子后不久，科学家就发现了许多种元素都能自发地放出β射线(高速电子流)，但不同元素发射的β粒子速率不一样，导致同是电子流，荷质比有差异，速率越大其荷质比越小。用实验测定的荷质比其实不是0/m q 。而是m q /

。其中的一个实验结果见

图3-5-4

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表3-1，再把实验测出的m q /值由

20)(1//c v m q m q -=

换算，所得的0/m q 的数值确实很

接近一个恒量。恰恰是回旋加速器的这一实验结果，最早证实了爱因斯坦相对论的正确。

加速器令粒子质量变大，根据

Bq mv

r =

，粒子回旋轨道半径会变大，同时因为周期

Bq m T π2=

，或者频率m qB

f π2=

，使周期变大或频率变小，粒子在两个切开的半D 形盒内的

回旋运动就变的跟加速电压的震荡不同步，不合拍，不再保证粒子每经过一次狭缝就被加速一次。其次，质量越轻的粒子在能量未太高时速度就明显大，质量变大尤其显著，相对论效应对其继续加速的限制就越厉害。还有一个限制就是，根据粒子末能量表达式

2

22222)(2121r m B q m qBr m mv E

k ===，2

r E k ∞，r 为D 形盒的尺寸。比如要在1. 5T 的磁场

中令质子获得300eV 能量(对应速度0.99998c)，需磁场的直径为130m 。

上述两个原理上的限制，正在技术上得到逐步克服。措施也大致上有两方面：第一，因为

m qB f π2=

，所以π2qB

mf =

是一个恒量。采用适当的技术能控制加速电压振荡频率f 随粒

子质量变大而成反比地减少，就能做到粒子回旋运动和加速电场同步合拍，这种加速器通常

被称为同步加速器。第二，由于

Bq mv

r =

，当mv 变大时适当加大磁场B 值，可致半径r 的增

大减慢，现代加速器的磁场磁极一般做成环形，就是为了达到这个目的。

典型例题

磁流体发电机的示意图如图3-5-5所示，横截面为矩形

的管道长为l ，宽为a ，高为b ，上、下两个侧面是绝缘体，相距为a 的前后两个侧面是电阻可以忽略不计的导体，此两导体侧面与一负载电阻R 相连。整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于上、下侧面向上。现有电离气体(正、负带电粒子)持续稳定地流经管道，为了使

L

图3-5-5

更多资料 f568c4848762caaedd33d4e6 威海律师事务所 f568c4848762caaedd33d4e6 问题简化，设横截面上各点流速相同。已知流速与电离气体所受摩擦阻力呈正比；且无论有无磁场时都维持管两端电离气体的压强差为ρ。设无磁场存在时电离气体的流速为0v ，求有磁场存在时此磁流体发电机的电动势大小ε。已知电离气体的平均电阻率为ρ。

分析：由于气体流经管道过程中受摩擦和安培力作用，维持气体匀速运动，故必须使管

两端存在压力差，以克服上述的阻力，因而本题即可以从力的平衡角度解决问题，也可以从能量守恒的角度来考虑。

解法一：从力平衡角度看，设有磁场存在时，电离气体的流速为v 。其产生的电动势为 Bva =ε

闭合电路中电流 L R r I +=

ε，

r 为电源内阻，大小为

bl a r ρ=代入得

L B bl pa I +=/ε

管内气体所受安培力

L L B bl a v a B B bl a Ba BIa F +=+==//22ρρε

摩擦阻力 kv f =

稳定平衡时 F f pab +=

无磁场时，摩擦阻力0f ， 00kv f =

稳定平衡时 0f pab =

所以有： F pab kv f -== pab kv f ==00

两式比： pab RL bl pa v a B pab v v +-=/220

解得v ，综合以上各式得

)/(0B v pb bl pa R Ba pab l ++=ε

解法二：从能量观点看，无磁场时，外界压力的功率等于克服摩擦力的功率，即

000v kv pabv ?=

有磁场时，外界压力的功率等于克服摩擦力的功率加上回路电功率

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