离散数学考试试题（A、B卷及答案）

离散数学考试试题(A卷及答案）

一、证明题（10分）

1) (P∧Q∧A?C)∧(A?P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))?C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）

证明: (P∧Q∧A?C)∧(A?P∨Q∨C)

?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)

?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C反用分配律 ??((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C

??( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C再反用分配律 ??( A∧(P?Q))∨C ?(A∧(P?Q))?C

2) ?(P?Q)? ?P??Q。

证明：?(P?Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P??Q。

二、分别用真值表法和公式法求(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。

主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由 析取范式经等值演算法算得。 证明：

公式法：因为(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))

?(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))分配律

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P

∨R∨?R)

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)

?M4∧M5∧M6使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制

为4

?m0∨m1∨m2∨m3∨m7

所以，公式(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。

真值表法：

P Q R 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Q?R 1 0 0 1 1 0 0 1 P?(Q∨R) 1 1 1 1 0 1 1 1 ?P∨(Q?R) 1 1 1 1 1 0 0 1 (P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)) 1 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可知，公式(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 三、推理证明题（10分）

1）?P∨Q，?Q∨R，R?SP?S。

证明：

(1)P 附加前提 (2)?P∨Q P

(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论） (4)?Q∨R P

(5)R T(3)(4)，I（析取三段论） (6)R?S P

(7)S T(5)(6)，I（假言推理） (8)P?S CP

2) ?x(P(x)?Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))

证明（1）?xP(x) (2)P(a)

(3)?x(P(x)?Q(y)∧R(x)) (4)P(a)?Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))

五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）

证明：因为

x∈(A∪B)－C?x∈(A∪B)－C

?x∈(A∪B)∧x?C ?(x∈A∨x∈B)∧x?C

?(x∈A∧x?C)∨(x∈B∧x?C) ?x∈(A－C)∨x∈(B－C) ?x∈(A－C)∪(B－C)

所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|x?y(mod m)}是等价关系。其中，x?y(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。X(modm)=y(modm) 证明：1）?x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x?x(mod m)，即xRx。

2）?x,y∈I，若xRy，则x?y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k∈I，所以y?x(mod m)，即yRx。

3）?x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）=fg（10分）。

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证明：

因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）：C→A。同理可推fg：C→A是双射。

因为∈fg?存在z（∈g?∈f）?存在z（∈f?∈g）?∈gf?∈（gf）,所以（gf）=fg。

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离散数学考试试题(B卷及答案）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T

证明: 左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)

? ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)

? ((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ?T (代入)

2) ?x?y(P(x)?Q(y))?(?xP(x)??yQ(y)) 证明：?x?y(P(x)?Q(y))??x?y(?P(x)∨Q(y))

??x(?P(x)∨?yQ(y)) ??x?P(x)∨?yQ(y) ???xP(x)∨?yQ(y) ?(?xP(x)??yQ(y))

二、求命题公式(?P?Q)?(P∨?Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）

解：(?P?Q)?(P∨?Q)??(?P?Q)∨(P∨?Q)

??(P∨Q)∨(P∨?Q) ?(?P∧?Q)∨(P∨?Q) ?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q) ?(P∨?Q)

?M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1 ?m0∨m2∨m3使之为真

三、推理证明题（10分）

1)(P?(Q?S))∧(?R∨P)∧Q?R?S

证明：(1)R (2)?R∨P (3)P

p

T（1）（2）析取三段论 p

T（3）（4）I假言推理 P

T（5）（6）I假言推理 CP

(4)P?(Q?S) (5)Q?S (6)Q (7)S

(8)R?S

2) ?x(A(x)??yB(y))，?x(B(x)??yC(y))?xA(x)??yC(y)。

证明：(1)?x(A(x)??yB(y)) P (2)A(a)??yB(y) T(1)ES (3)?x(B(x)??yC(y)) P

(4)?x(B(x)?C(c)) T(3)ES (5)B(b)?C(c) T(4）US (6)A(a)?B(b) T(2)US

(7)A(a)?C(c) T(5)(6)I假言三段论 (8)?xA(x)?C(c) T(7)UG (9)?xA(x)??yC(y) T(8)EG

四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。

解 ：

设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集

合，则命题可符号化为：?P??x?A(x)，?xA(x)?QQ?P。 (1)?P??x?A(x) P (2)?P???xA(x) T(1)E (3)?xA(x)?P T(2)E (4)?xA(x)?Q P (5)(?xA(x)?Q)∧(Q??xA(x)) T(4)E (6)Q??xA(x) T(5)I (7)Q?P T(6)(3)I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）

证明：

∵ x? A∩（B∪C）? x? A∧x?（B∪C）? x? A∧（x?B∨x?C）?（ x? A∧

x?B）∨（x? A∧x?C）? x?（A∩B）∨x? A∩C? x?（A∩B）∪（A∩C）∴A ∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图（10分）。有就是1，没就是0

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图（15分）。

r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3><5,5>}（自反闭包）

s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}（对称闭包） t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}（传递

闭包）

九、设f：A?B，g：B?C，h：C?A，证明：如果h?g?f＝IA，f?h?g＝IB，g?f?h＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f、g和h（10分）。

解 因IA恒等函数，由h?g?f＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由f?h?g＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由g?f?h＝IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。

由h?g?f＝IA，得f＝h?g；由f?h?g＝IB，得g＝f?h；由g?f?h＝IC，得h＝g?f。 五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问: (1) 有多少不同的由X到Y的关系? (2) 有多少不同的由X到Y的影射?

(3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?

（12分）是个群，u∈G，定义G中的运算“?”为a?b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：也是个群。

证明：1）?a,b∈G，a?b=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。

2）?a,b,c∈G，（a?b）?c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a?（b?c），运算是可结合的。

3）?a∈G，设E为?的单位元，则a?E=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。 4）?a∈G，a?x=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则x?a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。

所以也是个群。 六.

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闭包）

九、设f：A?B，g：B?C，h：C?A，证明：如果h?g?f＝IA，f?h?g＝IB，g?f?h＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f、g和h（10分）。

解 因IA恒等函数，由h?g?f＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由f?h?g＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由g?f?h＝IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。

由h?g?f＝IA，得f＝h?g；由f?h?g＝IB，得g＝f?h；由g?f?h＝IC，得h＝g?f。 五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问: (1) 有多少不同的由X到Y的关系? (2) 有多少不同的由X到Y的影射?

(3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?

（12分）是个群，u∈G，定义G中的运算“?”为a?b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：也是个群。

证明：1）?a,b∈G，a?b=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。

2）?a,b,c∈G，（a?b）?c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a?（b?c），运算是可结合的。

3）?a∈G，设E为?的单位元，则a?E=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。 4）?a∈G，a?x=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则x?a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。

所以也是个群。 六.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1sd5.html