各态历经性的解释1

各态历经性的解释

一个随机信号X(n)，其均值、方差、均方值及自相关函数等，均是建立在集合平均的意义上的，如自相关函数

N?X(m)?E[X(n)X(n?m)]?lim*1NN???xi?1*(n,i)x(n?m,i) (1.2.18)

为了要精确地求出?X(m)，需要知道x(n,i)的无穷多个样本，即i?1,2,?,?，这在实际工作中显然是不现实的。因为我们在实际工作中能得到的往往是对X(n)的一次实验记录，也即一个样本函数。

既然平稳随机信号的均值和时间无关，自相关函数又和时间选取的位置无关，那么，能否用一次的实验记录代替一族记录来计算X(n)的均值和自相关函数呢？对一部分平稳信号，答案是肯定的。

对一平稳随机信号X(n)，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，我们则称X(n)为各态遍历信号。其意义是，单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历。这样，我们就可以仿照确定性的功率信号那样来定义各态遍历信号的一阶和二阶数字特征。

由上面的讨论可知，具有各态遍历性的随机信号，由于能使用单一的样本函数来做时间平均，以求其均值和自相关函数，所以在分析和处理信号时比较方便。在实际问题中，所观测的物理现象并不能保证是各态历经。但是，在实际处理信号时，对已获得一个物理信号，往往首先假定它是平稳的，再假定它是各态遍历的。按此假定对信号处理后，可再用处理结果来检验假定的正确性。各态历经在直观上也不难理解，由于过程平稳的假设，保证了不同时刻的统计特性是不同的，即只要一个实现时间充分长的过程能表现出各个实现的特征来，就可用一个实现来表示总体的统计特性。在后面的讨论中，如不作特殊说明，我们都认为所讨论的对象是平稳的及各态遍历的，并将随机信号X(n)改记为x(n)。

应该指出，各态历经信号一定是平稳随机信号，但平稳随机信号并不都具备各态历经性。

一个无限长的信号过程的功率谱密度函数的概念可以这样理解：它是无限多个无限长信号样本函数的功率谱密度函数的集合平均。考虑到如果各态历经假设成立（集合平均可以用时间平均代替）以及考虑到功率谱密度函数不含相位信息，因而不含信号的时间轴位置信息，所以，一个平稳随机信号的一个样本功率谱密度函数蕴涵着集合统计平均的实质。从而，一个随机信号功率谱密度函数和自相关函数（作为一对傅氏变换对）都表达了随机信号的统计平均特性。

在工程实际中所遇到的功率谱可分为三种：一种是平的谱，即白噪声谱，第二种是“线谱”，即由一个或多个正弦信号所组成的信号的功率谱，第三种介于二者之间，即既有峰点又有谷点的谱，这种谱称为“ARMA谱”。 一个平稳的随机序列w(n)，如果其功率谱Pw(ej?)在|?|??的范围内始终为一常数，

2如?w，我们称该序列为白噪声序列。其自相关函数

?w(m)?12???P??w(ej?)ej?md???w?(m)

2是在m=0处的δ函数。由自相关函数的定义，?w(m)?E[w(n)w(n?m)]，它说明白噪声序列在任意两个不同的时刻是不相关的，即E[w(n?i)w(n?j)]?0，对所有的i?j。若w(n)是高斯型的，那么它在任意两个不同时刻又是相互独立的（注：两个随机变量x,y，若有P(xy)?P(x)P(y)，则称x、y是相互独立的。两个独立的随机变量必然是不相关的，但反之不一定成立，对高斯型随机变量，二者等效的）。这说明，白噪声序列是最随机的，也即由w(n)无法预测w(n+1)。“白噪声”的名称来源于牛顿，他指出，白光包括了所有频率的光波。

以上讨论说明，白噪声是一种理想化的噪声模型，实际上并不存在。由于它是信号处理中最具代表性的噪声信号，因此人们提出了很多近似产生白噪声的方法。 若x(n)有L个正弦组成，即

Lx(n)??Ak?1ksin(?kn??k)

式中Ak，?k是常数，?k是均匀分布的随机变量，可以求出

L?x(m)?Px(ej??k?1LAk22cos(?kn)

2)??k?1?Ak2[?(???k)??(???k)]

此即为线谱，它是相对与平谱的另一个极端情况。显然，介于二者之间的应是又有峰点又有谷点的连续谱。这样的谱可以由一个ARMA模型来表征。有关ARMA模型的定义将在后面介绍。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1s8t.html