（新课标）2016高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概

课时作业71 古典概型

一、选择题

1．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( )

A．2 C．6

B．4 D．8

解析：设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、

AD、BC、BD、CD，共6个．

答案：C

2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )

2A. 31C. 3

1B． 21D． 6

解析：从A、B中各任意取一个数，有(2,1)，(2,2), (2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共216种情况，其中两数之和为4的有(2,2)，(3,1)两种情况，∴所求概率为P＝＝. 63

答案：C

3．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( )

1A. 61C. 3

1B． 41D． 2

解析：不妨设取出的三个数为x，y，z(x

个数中取三个数共有C10种结果，故所求概率为3＝. C106

答案：A

4．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为( )

5

A. 21

2B． 7

1

1C. 38D． 21

4

解析：从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有C10＝210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出8011111

球的编号互不相同”，则事件A包含了C5·C2·C2·C2·C2＝80个基本事件，所以P(A)＝

2108

＝.故选D. 21

答案：D

5．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是( )

1A. 33C. 4

C5A21

解析：所求的概率P＝3＝.

A53答案：A

32

2B． 33D． 5

?x＋1

6．在二项式?4?2·?

1A. 61C. 3

?

?n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的?x?

1

B． 45D． 12

项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

?x＋1

解析：注意到二项式?4?2·???1

n－r?n的展开式的通项是Tr＋1＝Cr·?n·(x)

??2·4x??

??r＝?x?

2n－3rr－r02－21－12

Cn·2·x.依题意有Cn＋Cn·2＝2Cn·2＝n，即n－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝

4

?x＋1

0(n≥2)，因此n＝8.∵二项式?4?2·?

?3r－r?8的展开式的通项是Tr＋1＝Cr·x4－，其8·2

?4x?

6

3

A6·A75

展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于9＝，选D.

A912

答案：D 二、填空题

7．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，

2

三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．

105

解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P＝＝.

3618

5

答案：

18

x2y2

8．曲线C的方程为2＋2＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件Amnx2y2

＝“方程2＋2＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.

mn解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m>n，又只剩下一半情况，即有15种，因此P(A)155＝＝. 3612

5

答案：

12

9．某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________．

C41

解析：(间接法)甲乙二人均没入选的概率为3＝，从而甲、乙有至少有一人入选的概率C6514为1－＝.

55

4答案：

5三、解答题

10．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将

3

3

扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲乙两人抽到的牌的所有情况；

(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？

(3)甲乙约定，若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．

解：(1)方片4用4′表示，则甲乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．

2(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.

3(3)甲抽到的牌比乙大，有(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，(3,2)，共5种情况． 5757

甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.因为<，所以此游戏不公平．

1212121211．某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：

男生 女生 围棋社 5 15 舞蹈社 10 30 拳击社 28 m 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．

(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率； (2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的分布列．

解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人， ∴

618

＝，∴m＝2. 28＋m20＋40＋28＋m设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”， C28C248

则P(A)＝6＝.

C30145(2)由题意可知：X＝0,1,2，

C2892C28C248

P(X＝0)＝6＝，P(X＝1)＝6＝，

C30145C30145C28C251

P(X＝2)＝6＝＝，

C3014529

4

26

5

1

5

1

X的分布列为

X 0 1 2 4

P 92 14548 1451 29

1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量

m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )

1A. 61C. 4

1B． 31D． 2

解析：由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．

m⊥n即m·n＝0，

所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，

1

满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率为.

6答案：A

2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

1A. 85C. 8

4

3B． 87D． 8

解析：方法1：由题意知基本事件总数为2＝16， C4

对4名同学平均分组共有2＝3(种)，

A2对4名同学按1,3分组共有C4种，

所以周六、周日都有同学参加共有3×A2＋C4A2＝14(种)． 147

由古典概型得所求概率为＝. 168

方法2：周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动，此时只有一种情况；同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况，所以周六、周日均有同学参加公益147

活动的情况共有16－2＝14(种)．故所求概率为＝.故选D.

168

答案：D

3．从n个正整数1,2，?，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概

5

2

12

12

1

率为，则n＝________.

14

解析：由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是Cn＝

答案：8

2

n?n－1?

21

＝2÷＝28，∴n＝8.

14

4．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从

A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量

的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的所有可能取值；

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1. →→

(2)数量积为－2的有OA2·OA5，共1种；

→→→→→→→→→→→→

数量积为－1的有OA1·OA5，OA1·OA6，OA2·OA4，OA2·OA6，OA3·OA4，OA3·OA5，共6种； →→→→→→→→

数量积为0的有OA1·OA3，OA1·OA4，OA3·OA6，OA4·OA6，共4种； →→→→→→→→

数量积为1的有OA1·OA2，OA2·OA3，OA4·OA5，OA5·OA6，共4种． 故所有可能的情况共有15种． 7

所以小波去下棋的概率为P1＝；

15

4

因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率

15

P＝1－P2＝1－＝. 4111515

6

1

率为，则n＝________.

14

解析：由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是Cn＝

答案：8

2

n?n－1?

21

＝2÷＝28，∴n＝8.

14

4．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从

A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量

的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的所有可能取值；

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1. →→

(2)数量积为－2的有OA2·OA5，共1种；

→→→→→→→→→→→→

数量积为－1的有OA1·OA5，OA1·OA6，OA2·OA4，OA2·OA6，OA3·OA4，OA3·OA5，共6种； →→→→→→→→

数量积为0的有OA1·OA3，OA1·OA4，OA3·OA6，OA4·OA6，共4种； →→→→→→→→

数量积为1的有OA1·OA2，OA2·OA3，OA4·OA5，OA5·OA6，共4种． 故所有可能的情况共有15种． 7

所以小波去下棋的概率为P1＝；

15

4

因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率

15

P＝1－P2＝1－＝. 4111515

6

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