2011年广州市高三年级调研测试-数学（文科）（参考答案及评分标

试卷类型：A

2011年广州市高三年级调研测试

数学（文科）

本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。考试用时120 分钟。 2011.01 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 函数g?x?? A．xx??3 C．xx??3x?3的定义域为

?? B．?xx??3? ? D．?xx??3?

?2．已知i为虚数单位, 则复数z?i(1?i)在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设向量a?(2,0),b?(1,1),则下列结论中正确的是

A．|a|?|b| B． a?b?

1 C．a//b D．(a?b)?b 24．已知直线l经过坐标原点，且与圆x2?y2?4x?3?0相切，切点在第四象限，则直线l的 方程为

A．y??3x B．y?3x C．y??33x x D．y?335.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

平均环数x 甲 乙 丙 丁 8.6 8.9 8.9 8.2

方差s 23.5 3.5 2.1 5.6 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A．甲 B． 乙 C． 丙 D．丁

6.如果执行图1的程序框图，若输入n?6,m?4，那么输出的p等于

A．720 B．360 C．240 D．120

27.“x?2”是“x?3x?2?0”成立的 图1

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.定义x?y?x3?y, 则h??h?h?等于 A．?h B．0

C．h D．h

9. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为

333xx4正视图4侧视图85，则正视图中x的值为 3 A．5 B．4 12?? C．3 D．2 10.若把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移

?个单位, 沿y4俯视图图2轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸

长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y?sinx的图象,则y?f?x?的解析式为 A．y?sin?2x???????? B．?1y?sin2x?????1

2?4?? C．y?sin?

?????1?1x???1 D．y?sin?x???1

4?2??2?2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）

11．已知等比数列?an?的公比是2，a3?3，则a5的值是 .

- 2 -

12．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a?2,b?3，

则

sinA? .

sin(A?C)?x??2,x????,1?,13.设函数f?x???2 若f?x??4，则x的取值范围是 .

x,x?1,??.????MB（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，

ANDO BC是直径，MN与⊙O相切, 切点为A，?MAB?35,

C? 则?D? .

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：?图3?x?2t,（t为参

?y?1?4t数），圆C的极坐标方程为??22sin?，则直线l与圆C的位置关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知向量a?(sin?,2),b?(cos?,1), 且a//b，其中??(0, （1）求sin?和cos?的值； （2）若sin(???)??2)．

3?, 0???，求cos?的值． 5217.（本小题满分12分）

某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数 分布)如下表：

学历 本科 研究生 35岁以下 35～50岁 50岁以上 80 30 20 20 x y （1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本 看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；

（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以 下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上 的概率为

- 3 -

5，求x、y的值. 3918.（本小题满分14分）

如图4，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，

△PAD是等边三角形，已知BD?2AD?4，AB?2DC?25．

P

（1）求证：BD?平面PAD；

（2）求三棱锥A?PCD的体积．

D C

A B

19.（本小题满分14分） 图4

1x2y2?1a?3的离心率e?. 直线x?t（t?0）与曲线E交于 已知椭圆E:2?2a3?? 不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C． （1）求椭圆E的方程；

（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A,B，求?ABC的面积的最大值.

20．（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?1?an(n?N).各项为正数的数列{bn}中， 对于一切n?N,有

**?k?1n1bk?bk?1?nb1?bn?1， 且b1?1,b2?2,b3?3.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）设数列{anbn}的前n项和为Tn,求证:Tn?2.

21.（本小题满分14分） 已知函数f?x??x?a(a?R), g?x??lnx. x（1）求函数F?x??f?x??g?x?的单调区间；

（2）若关于x的方程

g?x??f?x??2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a的值.x2 - 4 -

2011年广州市高三调研测试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题： 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 B

二、填空题：11．12 12．

2? 13.???,?2???2,??? 14．125 15．相交 3三、解答题： 16．（1）解：∵a?(sin?,2),b?(cos?,1), 且a//b，

sin?cos??，即sin??2cos?. ?? 2分 21255???22 ∵ sin??cos??1, ???0,?, 解得sin??,cos??,

55?2? ∴

255. ?? 6分 ,cos??55????3（2）解:∵0???，0???，∴??????. ∵sin(???)?,

2222542 ∴ cos(???)?1?sin(???)?. ?? 8分

5 ∴cos??cos[??(???)]?cos?cos(???)?sin?sin(???) ?? 10分

∴sin?? ?25. ?? 12分 517．(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m， ∴

30m?, 解得m?3. ?? 2分 505 ∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S1、S2 ；B1、B2、B3 .

从中任取2人的所有基本事件共10个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3).

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1), (S2, B2), (S2, B3), (S1, S2). ?? 4分

∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为(2)解: 依题意得：

7. ?? 6分 10105?，解得N?78. ?? 8分 N39482010?? ∴ 35～50岁中被抽取的人数为78?48?10?20. ∴. ?? 10分

80?x5020?y 解得x?40, y?5. ∴x?40, y?5. ?? 12分

18.（1）证明：在△ABD中，由于AD?2，BD?4，AB?25，∴AD?BD?AB. ? 2分

∴ AD?BD．又平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD，BD?平面ABCD， ∴BD?平面PAD. ?? 4分 （2）解：过P作PO?AD交AD于O.

又平面PAD?平面ABCD， ∴PO?平面ABCD． ?? 6分

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222

∵△PAD是边长为2的等边三角形， ∴PO?3. 由（1）知，AD?BD，在Rt△ABD中， 斜边AB边上的高为h?PAD?BD45. ?? 8分 ?AB51145D∵AB∥DC，∴S△ACD?CD?h??5??2. ?? 10分 C225O1123∴VA?PCD?VP?ACD?S△ACD?PO??2?3?. ?? 14分

A333B1x2y2a2?31?1a?3的离心率e?, ∴ 19．（1）解：∵椭圆E:2??. ?? 2分

2a3a2x2y2??1． ?? 4分 解得a?2.∴ 椭圆E的方程为43?x?t,12?3t2?222（2）解法1：依题意，圆心为C(t,0)(0?t?2)． 由?x 得y?. y4?1,???43??12?3t2∴ 圆C的半径为r?． ?? 6分

2∵ 圆C与y轴相交于不同的两点A,B，且圆心C到y轴的距离d?t，

22112?3t2∴ 0?t?，即0?t?．

7212?3t2222∴ 弦长|AB|?2r?d?2?t?12?7t2． ??8分

412∴?ABC的面积S??t12?7t ?? 9分

2?127???7t?12?7t2?1277t???2?12?7t22?37. ?? 12分 742时，等号成立. 737 ∴ ?ABC的面积的最大值为． ?? 14分

7?x?t,212?3t?22解法2：依题意，圆心为C(t,0)(0?t?2)． 由?x 得y?. y24?1,???43当且仅当7t?12?7t2，即t?12?3t2∴ 圆C的半径为r?． ?? 6分

212?3t222 ∴ 圆C的方程为(x?t)?y?．

4∵ 圆C与y轴相交于不同的两点A,B，且圆心C到y轴的距离d?t， 22112?3t2∴ 0?t?，即0?t?．

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12?3t212?7t2 在圆C的方程(x?t)?y?中，令x?0，得y??，

4222 ∴ 弦长|AB|?12?7t2． ?? 8分 ∴?ABC的面积S?1?t12?7t2 ?? 9分 2?127???7t?12?7t2?1277t???2?12?7t22?37. ??12分 7 当且仅当7t?12?7t2，即t? ∴ ?ABC的面积的最大值为20．（1）解：∵Sn?1?an，

当n?1时,a1?S1?1?a1, 解得a1?当n?2时,an?Sn?Sn?142时，等号成立. 737． ?? 14分 71. ??1分 2a1??1?an???1?an?1?,得2an?an?1, 即n?. ?? 3分

an?12n?1111?1?1∴数列{an}是首项为, 公比为的等比数列.∴an?????n. ?? 4分

222?2?2n1n* ∵ 对于一切n?N,有?， ① ?bk?bk?1b1?bn?1k?1当n?2时, 有

bk?bk?1b1?bn1nn?1① ? ② 得： ??bn?bn?1b1?bn?1b1?bnk?1?n?11?n?1， ②

化简得: (n?1)bn?1?nbn?b1?0, ③

用n?1替换③式中的n，得：nbn?2?(n?1)bn?1?b1?0, ④ ??6分 ③－④ 整理得：bn?2?bn?1?bn?1?bn， ∴当n?2时, 数列{bn}为等差数列. ∵b3?b2?b2?b1?1,∴ 数列{bn}为等差数列. ?? 8分 ∵ b1?1,b2?2 ∴数列{bn}的公差d?1. ∴bn?1??n?1??n. ?? 10分 (2)证明:∵数列{anbn}的前n项和为Tn,

123n112n?2?3???n, ⑤ ∴Tn?2?2???n?1 , ⑥ 222222221111n⑤－⑥得：Tn??2???n?n?1 ?? 12分

22222n1??1???1????2??2?????n?1?n?2. ∴T?2?n?2?2. ??14分

?nn?112n?12n21?2a21． (1)解: 函数F?x??f?x??g?x??x??lnx的定义域为?0,???.

x ∴Tn?第 3 页 共 4 页

a1x2?x?a ∴F?x??1?2??.

xxx212 ① 当??1?4a?0, 即a??时, 得x?x?a?0,则F'?x??0.

4 ∴函数F?x?在?0,???上单调递增. ??2分

'12时, 令F'?x??0, 得x?x?a?0, 4?1?1?4a?1?1?4a解得x1?. ?0,x2?221?1?1?4a(ⅰ) 若??a?0, 则x2??0.

42∵x??0,???, ∴F'?x??0, ∴函数F?x?在?0,???上单调递增. ?? 4分

② 当??1?4a?0, 即a?? (ⅱ)若a?0,则x??0,∴函数F?x?在区间?0,?????1?1?4a??1?1?4a?''x?,??时, ; 时, F?x??0, Fx?0????????22????????1?1?4a??1?1?4a?,??上单调递减, 在区间上单调递增.? 6分 ??????22???综上所述, 当a?0时, 函数F?x?的单调递增区间为?0,???;

??1?1?4a???1?1?4a?,??, 递增区间为???????. ? 8分 22????g?x?lnxalnx?x2?2ex?a. (2) 解: 由2?f?x??2e, 得2?x??2e, 化为

xxxxlnx1?lnx''令h?x??, 则h?x??.令h?x??0, 得x?e. 2xx''当0?x?e时, h?x??0; 当x?e时, h?x??0.

当a?0时, 函数F?x?的递减区间为?0,∴函数h?x?在区间?0,e?上单调递增, 在区间?e,???上单调递减. ∴当x?e时, 函数h?x?取得最大值, 其值为h?e??22而函数m?x??x?2ex?a??x?e??a?e,

21. ?? 10分 e2当x?e时, 函数m?x?取得最小值, 其值为m?e??a?e. ?? 12分

g?x?112∴ 当a?e?, 即a?e?时, 方程2?f?x??2e只有一个根. ?? 14分

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