初一《第一章》1.1有理数与数轴

同步课程˙有理数和数轴

有理数和数轴 知识回顾

一、正数与负数

二、有理数 三、数轴

四、相反数

知识讲解

一、正负数的概念

（1）正数：像3、1、?0.33等的数，叫做正数；

在小学学过的数，除0外都是正数，正数都大于0．

（2）负数：像?1．?3.12．?负数都小于0；

0既不是正数，也不是负数；

17．?2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数． 5一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号；

正数前面的“＋”可以省略，注意3与?3表示是同一个正数．

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（3）用正．负数表示相反意义的量：

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如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然． 譬如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为?3km．

“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量．

二、有理数的分类

有理数:整数与分数统称有理数.

??正整数???自然数?整数零?????有理数(按定义分类)??负整数??分数?正分数???负分数???正整数正有理数???正分数??有理数(按符号分类)?零(零既不是正数,也不是负数)

?负整数?负有理数????负分数?注：⑴正数和零统称为非负数；

⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.

三、数轴

数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.

注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.

⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. ⑶数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的直线；

②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.

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数轴画法的常见错误举例：

错例 23原因 无原点 201没有正方向 单位长度不统一 没有单位长234 0 度 有理数与数轴的关系： 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.

在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如?. 利用数轴比较有理数的大小：

数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.

四、相反数

相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. 相反数的性质：

⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0． 相反数必须成对出现，不能单独存在．

例如?5和?5互为相反数，或者说?5是?5的相反数，?5是?5 的相反数， 而单独的一个数不能说是相反数．

另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开． 例如?3与?3互为相反数，而?3与?2虽然符号不同，但它们不是相反数． ⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．

这两点是关于原点对称的．

⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．

一般地，数a的相反数是?a；这里以a表示任意一个数，可以为正数．0．负数，也可以是任意一个代数式．注意?a不一定是负数．

当a?0时，?a?0；当a?0时，?a?0；当a?0时，?a?0. ⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则a?b?0， 反之，若a?b?0，则a与b互为相反数．

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同步课程˙有理数和数轴 ⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；

一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.

同步练习

一 正负数的概念

【例1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ）

A．150 B．-150 C．150米 D．-150米

【变式练习】飞机上升了-80米，实际上是（ ）

A．上升80米 B．下降-80米

C．先上升80米，再下降80米 D．下降80米

【例2】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是

负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2）℃，【例3】生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±

由此可知在 ___范围内保存该药品才合适．

【例4】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记

为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，-6，-2，+4，-5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？

答：他们 ____（填：有或没有）回到出发点，在A地的正 ______方向，距A地 ____千米．②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油 _______升.

二 有理数的分类

25【例5】下列各数中：+3、?2.1、?、9、、?(?8)、??3，负有理数有（ ）

37A．2个B．3个C．4个D．5个

【例6】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【例7】下列说法正确的是（ ）

A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，是有理数 C．正整数和负整数统称为整数

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D．整数和分数统称为有理数

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【例8】既是正数，又是分数的数是（ ）

A．+2 B．0 C．3.5 D．?21 3【例9】最小的正整数是 _____，最大的负整数是 _______.

【变式练习】有理数中，是整数而不是正数的数是 _______，是负数而不是分数的是 ________． 【变式练习】请写出三个既是负数，又是分数的有理数：__________

三 数轴

【例10】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的

有理数是（ ）

A．3 B．5 C．-3D．2

【例11】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（ ）

A．-1 B．5 C．3或?3 D．-1或5

【例12】有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）

a1b1

A．a＞b B．a＞?b C．a＜b D．?a＜b

【例13】在数轴上，-2与-5之间的有理数有（ ）个．

A．无数个 B．4个 C．3个 D．2个

【例14】老师在黑板上画数轴，取了原点O后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴

上画出单位长1，再将圆环拉直成一线段，在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点，则A点表示的数是 __________．

【例15】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．

87654321012345678

（1）若折叠后，数1表示的点与数?1表示的点重合，则此时数-2表示的点与数表示的点重合； （2）若折叠后，数3表示的点与数?1表示的点重合，则此时数5表示的点与数表示的点重合；若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ______，B点表示的数为______．

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四 相反数

1【例16】? 的相反数是（ ）

2A．2 B．

11 C．-2 D．? 22【例17】如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）

A．+a和-??a?互为相反数 B．+a和?a一定不相等 C．?a一定是负数

D．???a?和+??a?一定相等

【例18】若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ）

A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b

【例19】相反数不大于它本身的数是（ ）

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数

【变式练习】的相反数是它本身．

【例20】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数，则x=_________

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课后练习

【习题1】在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）

A．胜二局与负三局 B．盈利3万元与支出3万元 C．气温升高3℃与气温为-3℃ D．向东行20米和向南行20米

【习题2】在有理数中，不存在这样的一个数a，它（ ）

A．既是自然数又是整数 B．既是分数又是负数 C．既是非正的数又是非负的数 D．既是正数又是负数

【习题3】-8的相反数是（ ）

A．-8 B．?11 C． D．8 88【习题4】在2，+8，

13 ，?3，-5，0，-7，87，0.5，-6.79中负整数的个数是（ ） 24A．4个 B．5个 C．2个 D．3个

【习题5】在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是（ ）

A．-1 B．3 C．±2 D．-1或3

323【习题6】下列数：-0.5，? ，0.1，-3，0，-（+0.75），?(?) ，?．其中是负分数的有（ ）：

535A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【习题7】如果+9%表示“增加9%”，那么“减少6%”可以记作（ ）

A．-6%B．-4%C．+6%D．+4%

【习题8】食堂购进10袋大米，每袋以100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数

记为负数，称重记录如下：

+5，-3，+7，0，0，+2，-4，-1，+8，-2． 食堂共购进大米 ________千克．

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【习题9】下列说法中错误的是（ ）

A．正整数．负整数．零统称为整数 B．正分数．负分数统称为分数 C．整数．分数和零统称为有理数 D．0是偶数，也是自然数

【习题10】下列说法：①-2.5既是负数．分数，也是有理数；②-25既是负数，也是整数，但不是自然

数；③0既不是正数，也不是负数；④0是非负数．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【习题11】数轴上的A点表示的数是-3，数轴上另一点B到A点的距离是2，则B点所表示的数是

________．

【习题12】数轴上表示互为相反数a与-a的两个点（ ）

A．到原点的距离一样远 B．到原点的距离不一样远 C．表示数a的点在原点的右边 D．表示数-a的点在原点的左边

【习题13】已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点

A、B表示的数分别是 __________

【习题14】下列说法正确的有（ ）

①有理数的绝对值一定比0大；

②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等； ③互为相反数的两个数的绝对值相等；

④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数； ⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示； ⑥符号不同的两个数互为相反数．

A．②④⑤⑥ B．③⑤ C．③④⑤ D．③⑤⑥

【习题15】某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每

天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）： 星期 增减 一 +5 二 -2 三 -4 四 +13 五 -10 六 +16 七 -9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车__________辆； （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_________辆；

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（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车________辆；

（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是________元． 9 / 9

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