2012届山东省青岛市高三第二次模拟试题数学文卷

高三自评试题

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：锥体的体积公式为：V?1Sh,其中S3为锥体的底面积，h为锥体的高.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．已知集合M??m,?3?,N?x2x?7x?3?0,x?Z,如果M?N??,则m等于

??（ ）

A．?1 B．?2 C．?2或?1 D．?2．设复数z?1?3 222(其中i为虚数单位)，则z?3z的虚部为（ ） i22A．2i B．0 C．?10 D．2

3．设x,y?R，则“x?y?9” 是“x?3且y?3”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

?log2x,x?01的值是（ ）

4．已知函数f(x)???x，则f(f(1))?flog32?3?1,x?0??A．5 B． 3 C．?1 D．5．设m,n是两条不同的直线, ?,?,?是三个不同的平面．有下列四个命题：

①若?//?，m??，n??，则m//n； ②若m??，m//?，则???；

第 1 页 共 12 页

7 2开始 a?1,b?1 a?①？ 是 b?2b?1 否 b 输出 结束 a?a?1

③ 若n??，n??，m??，则m??； ④ 若???，???，m??，则m??． 其中错误命题的序号是（ ） ．．

A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③ 6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31， 则图中判断框内①处应填（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．函数y?9??x?5?的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（ ） A．

23 4B．2 C．3 D．5 8．以下正确命题的个数为（ ）

①命题“存在x?R，x2?x?2?0”的否定是：“不存在x?R，x2?x?2?0”；②

?xx函数f(x)?x?()的零点在区间(,)内； ③ 函数f(x)?e?e的图象的切线的斜

1312x1132??a?恒过样本中心x,y，且至少过一个样本点. 率的最大值是?2；④线性回归直线?y?bxA．3 B．1 C．0 D．2 9．下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛 得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ） A．68 B．70

C．69 D．71

甲

乙

??65873

4412742285115923410．已知函数f(x)?cosx?中真命题的序号是（ ）

1?π1?πx,x?[?,]，sinx0?,x0?[?,]．那么下面命题222222①f(x)的最大值为f(x0) ② f(x)的最小值为???? ③?? EMBED Equation.DSMT4 ??????在?? EMBED Equation.DSMT4 ??[?④ f(x)在[x0,]上是增函数

A．①③ B．①④ C．②③

D．②④

?2,x0]上是增函数

π2第 2 页 共 12 页

11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （ ） A．外接球的半径为311正视图

3 B．表面积为7?3?1 3D．外接球的表面积为4?

21侧视图

C．体积为3 212．过双曲线

xy??1(a?0,b?0)的左焦点a2b222俯视图

a2的切线，切点为E,延长FE交双曲线右支于点P，若F(?c,0)(c?0)作圆x?y?4????????????OF?OP?2OE,则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．

1010 C． D．10 52第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．若tan??2,则sin?cos?? .

????????14．已知直线y?x?a与圆x?y?4交于A、B两点，且OA?OB?0，其中O为坐标

22原点，则正实数a的值为 .

15．设等轴双曲线y?x?1的两条渐近线与直线x?2围成的三角形区域（包含边界）为

22M，P(x,y)为M内的一个动点，则目标函数z?2x?y的最大值为 . 16．已知函数f?x?的定义域为??1,5?，部分对应值如下表, f?x?的导函数y?f??x?的图象如图所示. 下列关于f?x?的①函数f?x?的极大值点为0，4； ②函数f?x?在?0,2?上是减函数；

③如果当x???1,t?时，f?x?的最大值是2，那么t的最大值为4；

x f?x? －1 1 0 2 4 2 5 1 命题：

第 3 页 共 12 页

④当1?a?2时，函数y?f?x??a有4个零点； ⑤函数y?f?x??a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量m?(sinx,3sinx),n?(sinx,?cosx)，设函数f(x)?m?n. （Ⅰ）求函数f(x)在[0,3?]上的单调递增区间； 2（Ⅱ）在?ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若

f(A)?sin(2A??6)?1，b?c?7，?ABC的面积为23，求边a的长．

18．（本小题满分12分）

一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆)，若按A,B,C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A类轿车有10辆. （Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a.记这8辆轿车的得分的平均数为x，定义事

2件E?{a?x?0.5，且函数f?x??ax?ax?2.31没有零点}，求事件E发生的概率.

轿车A 舒适型 标准型 100 300 轿车B 150 450 z 轿车C 600 19．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABC?A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方

形，

AC?AB?1，AC?A1B，B1C1//BC，B1C1?1（Ⅰ）求证：面A1AC?面ABC； （Ⅱ）求证：AB1//面AC11C.

1BC. 2A1C1B1AB

第 4 页 共 12 页 C

20．（本小题满分12分）

已知集合A?xx??2n?1,n?N?,B?xx??6n?3,n?N?，设Sn是等差数列?an?的前n项和,若?an?的任一项an?A?B,且首项a1是A?B中的最大数,

?????750?S10??300.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式; （Ⅱ）若数列?bn?满足bn?(2an?13n?9， )2求a1b2?b2a3?a3b4?b4a5???a2n?1b2n?b2na2n?1的值.

21．（本小题满分12分） 已知函数f?x??13x?ax2?bx?a,b?R?. 3（Ⅰ）若曲线C:y?f?x?经过点P?1,2?，曲线C在点P处的切线与直线x?2y?14?0垂直，求a,b的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数g?x??m?1?f?x??x?（m为实常数，m??1）

32????7??的极大值与极小值之差；

（Ⅲ）若f?x?在区间?1,2?内存在两个不同的极值点，求证：0?a?b?2. 22．（本小题满分14分）

x2y2?设F1,F2分别是椭圆D：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直

3ab线交椭圆D于A,B两点, F1到直线AB的距离为3,连结椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.

（Ⅰ）求椭圆D的方程；

（Ⅱ）过椭圆D的左顶点P作直线l1交椭圆D于另一点Q.

(ⅰ)若点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上的一点,且满足NP?NQ?4,求实数t的值;

第 5 页 共 12 页

(ⅱ)过P作垂直于l1的直线l2交椭圆D于另一点G，当直线l1的斜率变化时,直线GQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

高三自评试题

数学 (文科) 参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C D B A A B D D C A B C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.

25 14. 2 15. 6 16. ①②⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得

f(x)?sin2x?3sinxcosx?1?cos2x3?sin2x

221??sin(2x?) ???????????????????????????3分 26??3??2x??2k??令2k??,k?Z 262?2??x?k??解得：k??，k?Z 63??2??3???x??0,?，??x?63?2?所以函数

，或

7?3??x?62

f(x)在[0,3??2??7?3??]上的单调递增区间为[,]，?,????????6分 263?62?第 6 页 共 12 页

（Ⅱ）由

f(A)?sin(2A??1 2?6)?1得：

1???sin(2A?)?sin(2A?)?1 266化简得：cos2A?又因为0?A??2，解得：

A??3??????????????????????9分

由题意知：S?ABC又b?c?1bcsinA?23，解得bc?8， 2?7,所以a2?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc(1?cosA)

1?49?2?8?(1?)?25

2故所求边a的长为5. ??????????????????????????12分 18. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为

n辆,由题意得:

5010?n100?300,所以

n?2000.

z=2000-100-300-150-450-600=400 ????????????4分

(Ⅱ) 8辆轿车的得分的平均数为x1?(9.4?8.6?9.2?9.6?8.7?9.3?9.0?8.2)?9 8 ????????????????6分 把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a对应的基本事件的总数为8个, 由

a?x?0.5，且函数f?x??ax2?ax?2.31没有零点

?a?9?0.5???8.5?a?9.24??????????????????10分 2???a?9.24a?0?E发生当且仅当a的值为：8.6, 9.2, 8.7, 9.0共4个,

?p?E??41? ??????????????????????????12分 8219．（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）?四边形

ABB1A1为正方形, ?A1A?AB?AC?1, A1A?AB

?A1B?2 ?????????????2分 ?A1B ?AC?AC?2 ??A1AC?90? 11?A1A?AC ????????????4分 ?AB?AC?A，?A1A?面ABC

第 7 页 共 12 页

又?A1A?面A1AC，?面A1AC?面ABC ????????????6分

AE，C1E，B1E

（Ⅱ）取BC的中点E，连结

?B1C1//BC，B1C1?1BC，?BC11//EC,BC11?EC 2?四边形CEBC11为平行四边形 ?B1E//C1C

?C1C?面AC11C，B1E?面AC11C ?B1E//面AC11C????????8分

1?B1C1//BC，B1C1?BC，

2A1C1B1AEBC?B1C1//BE,B1C1?BE

?四边形BB1C1E为平行四边形?B1B//C1E，且B1B?C1E

又?ABB1A1是正方形，?A1A//C1E，且A1A?C1E

AE?面AC?AEC1A1为平行四边形，?AE//AC11,?AC11?面AC11C，11C

?AE//面AC11C ???????????????????????????10分 ?AE?B1E?E，?面B1AE//面AC11C

?AB1?面B1AE，?AB1//面AC11C ??????????????????12分

20．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题设知: 集合

A中所有元素可以组成以?3为首项,?2为公差的递减等差数列；集合B中

所有的元素可以组成以?3为首项,?6为公差的递减等差数列. 由此可得,对任意的n?N,有A?B??B

A?B中的最大数为?3,即a1??3 ???????????????????3分

设等差数列

?an?的公差为d,则an??3?(n?1)d,S10?10(a1?a10)?45d?30

2因为?750?S10??300, ??750?45d?30??300,即?16?d??6

由于B中所有的元素可以组成以?3为首项,?6为公差的递减等差数列, 所以d??6m(m?Z,m?0),由?16??6m??6?m?2，所以d??12

所以数列

?an?的通项公式为an?9?12n（n?N?） ?????????????8分

第 8 页 共 12 页

（Ⅱ）bn?(2an?13n?92)?()n??????????????????????9分 22

于是有a1b2?b2a3?a3b4?b4a5???a2n?1b2n?b2na2n?1

?b2(a1?a3)?b4(a3?a5)?b6(a5?a7)???b2n(a2n?1?a2n?1)

11[1?()n]2?24(1?1)??????????12分

?24(b2?b4?b6???b2n)?24?2n121?221.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）?f??x??x2?2ax?b，

1，?曲线C在点P处的切线的斜率为2, 2?直线x?2y?14?0的斜率为??f??1??1?2a?b?2??① ?曲线C:y?f?x?经过点P?1,2?，

1?f?1???a?b?2??②

32?a??,??3由①②得：? ??????????????????????????3分

7?b?.?3?（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

13227m2?13f?x??x?x?x，?g?x??x?2x23333??，

4?4??g??x???m2?1?x?x??, 由g??x??0?x?0，或x?.

3?3?当m2?1?0，即m?1,或m??1时，x，g??x?，g?x?变化如下表

x g??x? ???,0? + 0 0 极大值 ?4??0,? ?3?- 4 30 极小值 ?4??,??? ?3?+ g?x? 由表可知：

?4??32?32g?x?极大?g?x?极小?g?0??g???0????m2?1????m2?1? ?????5分

?3??81?81第 9 页 共 12 页

当m2?1?0,即?1?m?1时，x，g??x?，g?x?变化如下表

x g??x? g?x? 由表可知：

???,0? - 0 0 ?4??0,? ?3?4 30 ?4??,??? ?3?- + 极小值 极大值 3232?4?g?x?极大?g?x?极小?g???g?0????m2?1??0???m2?1???????7分

8181?3?综上可知：当m?1,或m当?1???1时，g?x?极大?g?x?极小?322?m?1?； 81m?1时，g?x?极大?g?x?极小??322?m?1???????????????8分 81（Ⅲ）因为即x2f?x?在区间?1,2?内存在两个极值点 ，所以f?(x)?0，

?2ax?b?0在(1,2)内有两个不等的实根．

(1)(2)(3)(4) ??????????????????????10分

?f?(1)?1?2a?b?0,?f?(2)?4?4a?b?0,?∴??1??a?2,2????4(a?b)?0.由 （1）+（3）得：a?b由（4）得：a?b?a2?0，?????????????????????11分

?a，由（3）得：?2?a??1，

11?a2?a?(a?)2??2，∴a?b?2．

24故0?

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设F1,F2的坐标分别为(?c,0),(c,0),其中c由题意得

a?b?2 ????????????????????????????12分

?0

AB的方程为:y?3(x?c)

因F1到直线

AB的距离为3,所以有

?3c?3c3?1?3,解得c?3???????1分

第 10 页 共 12 页

所以有a2?b2?c2?3????????①

由题意知:

1?2a?2b?4,即ab?2??② 2?2,b?1

联立①②解得:ax2?y2?1 ????????????????4分 所求椭圆D的方程为4（Ⅱ）由（Ⅰ）知:P(?2,0), 设Q(x1,y1)

根据题意可知直线l1的斜率存在，可设直线斜率为k,则直线l1的方程为把它代入椭圆D的方程,消去

y?k(x?2)

y,整理得: (1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0

2?8k216k24k由韦达定理得?2?x1??,则x1?,y1?k(x1?2)?，

2221?4k1?4k1?4k?2?8k24k?8k22k，线段的中点坐标为PQ?Q?,(?,)??????6分 ?22221?4k1?4k?1?4k1?4k?(ⅰ)当k?0时, 则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴

于是NP?(?2,?t),NQ?(2,?t) 由NP?NQ??4?t2?4,解得:t??22 ?????????????????8分

8k22k1) ??(x?1?4k2k1?4k2当k?0时, 则线段PQ垂直平分线的方程为y?因为点N(0,t)是线段PQ垂直平分线的一点, 令x?0,得:t??6k1?4k2，于是NP?(?2,?t),NQ?(x1,y1?t)

4(16k4?15k2?1)14由NP?NQ??2x1?t(y1?t)?,解得: k???47(1?4k2)2代入t??2146k,解得: t??1?4k25综上, 满足条件的实数t的值为t??22或t??214 ?????????10分 511(ⅱ)设G?x2,y2?，由题意知l1的斜率k?0,直线l2的斜率为?k，则l2:y??k(x?2)

第 11 页 共 12 页

1?y??(x?2),?k由? 2x??y2?1,?4化简得：(k2?4)x2?16x?16?4k2?0．

2k2?84k∵此方程有一根为?2， 得x2?2．??????????12分 ?y2??2k?4k?4?2?8k4k?, 则kGQ?Q?,22??1?4k1?4k?24k4k?225kk?41?4k ???2222k?82?8k4(k?1)?k2?41?4k2?4k5k2?8k2所以GQ的直线方程为y???(x?) 2221?4k4(k?1)1?4k16k(k2?1)2?8k26令y?0，则x?。 ???225k(1?4k)1?4k56所以直线GQ过x轴上的一定点(?,0)???????????????????14分

5

T第 12 页 共 12 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1rlr.html