2012届山东省青岛市高三第二次模拟试题数学文卷
更新时间:2024-03-29 22:18:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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高三自评试题
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟. 注意事项:
1.答卷前,考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式为:V?1Sh,其中S3为锥体的底面积,h为锥体的高.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
21.已知集合M??m,?3?,N?x2x?7x?3?0,x?Z,如果M?N??,则m等于
??( )
A.?1 B.?2 C.?2或?1 D.?2.设复数z?1?3 222(其中i为虚数单位),则z?3z的虚部为( ) i22A.2i B.0 C.?10 D.2
3.设x,y?R,则“x?y?9” 是“x?3且y?3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
?log2x,x?01的值是( )
4.已知函数f(x)???x,则f(f(1))?flog32?3?1,x?0??A.5 B. 3 C.?1 D.5.设m,n是两条不同的直线, ?,?,?是三个不同的平面.有下列四个命题:
①若?//?,m??,n??,则m//n; ②若m??,m//?,则???;
第 1 页 共 12 页
7 2开始 a?1,b?1 a?①? 是 b?2b?1 否 b 输出 结束 a?a?1
③ 若n??,n??,m??,则m??; ④ 若???,???,m??,则m??. 其中错误命题的序号是( ) ..
A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③ 6.执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为31, 则图中判断框内①处应填( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.函数y?9??x?5?的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该数列的公比的数是( ) A.
23 4B.2 C.3 D.5 8.以下正确命题的个数为( )
①命题“存在x?R,x2?x?2?0”的否定是:“不存在x?R,x2?x?2?0”;②
?xx函数f(x)?x?()的零点在区间(,)内; ③ 函数f(x)?e?e的图象的切线的斜
1312x1132??a?恒过样本中心x,y,且至少过一个样本点. 率的最大值是?2;④线性回归直线?y?bxA.3 B.1 C.0 D.2 9.下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛 得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A.68 B.70
C.69 D.71
甲
乙
??65873
4412742285115923410.已知函数f(x)?cosx?中真命题的序号是( )
1?π1?πx,x?[?,],sinx0?,x0?[?,].那么下面命题222222①f(x)的最大值为f(x0) ② f(x)的最小值为???? ③?? EMBED Equation.DSMT4 ??????在?? EMBED Equation.DSMT4 ??[?④ f(x)在[x0,]上是增函数
A.①③ B.①④ C.②③
D.②④
?2,x0]上是增函数
π2第 2 页 共 12 页
11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的 ( ) A.外接球的半径为311正视图
3 B.表面积为7?3?1 3D.外接球的表面积为4?
21侧视图
C.体积为3 212.过双曲线
xy??1(a?0,b?0)的左焦点a2b222俯视图
a2的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若F(?c,0)(c?0)作圆x?y?4????????????OF?OP?2OE,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.
1010 C. D.10 52第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13.若tan??2,则sin?cos?? .
????????14.已知直线y?x?a与圆x?y?4交于A、B两点,且OA?OB?0,其中O为坐标
22原点,则正实数a的值为 .
15.设等轴双曲线y?x?1的两条渐近线与直线x?2围成的三角形区域(包含边界)为
22M,P(x,y)为M内的一个动点,则目标函数z?2x?y的最大值为 . 16.已知函数f?x?的定义域为??1,5?,部分对应值如下表, f?x?的导函数y?f??x?的图象如图所示. 下列关于f?x?的①函数f?x?的极大值点为0,4; ②函数f?x?在?0,2?上是减函数;
③如果当x???1,t?时,f?x?的最大值是2,那么t的最大值为4;
x f?x? -1 1 0 2 4 2 5 1 命题:
第 3 页 共 12 页
④当1?a?2时,函数y?f?x??a有4个零点; ⑤函数y?f?x??a的零点个数可能为0、1、2、3、4个. 其中正确命题的序号是 .
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知向量m?(sinx,3sinx),n?(sinx,?cosx),设函数f(x)?m?n. (Ⅰ)求函数f(x)在[0,3?]上的单调递增区间; 2(Ⅱ)在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若
f(A)?sin(2A??6)?1,b?c?7,?ABC的面积为23,求边a的长.
18.(本小题满分12分)
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆),若按A,B,C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A类轿车有10辆. (Ⅰ)求z的值;
(Ⅱ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a.记这8辆轿车的得分的平均数为x,定义事
2件E?{a?x?0.5,且函数f?x??ax?ax?2.31没有零点},求事件E发生的概率.
轿车A 舒适型 标准型 100 300 轿车B 150 450 z 轿车C 600 19.(本小题满分12分)
如图,在多面体ABC?A1B1C1中,四边形ABB1A1是正方
形,
AC?AB?1,AC?A1B,B1C1//BC,B1C1?1(Ⅰ)求证:面A1AC?面ABC; (Ⅱ)求证:AB1//面AC11C.
1BC. 2A1C1B1AB
第 4 页 共 12 页 C
20.(本小题满分12分)
已知集合A?xx??2n?1,n?N?,B?xx??6n?3,n?N?,设Sn是等差数列?an?的前n项和,若?an?的任一项an?A?B,且首项a1是A?B中的最大数,
?????750?S10??300.
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)若数列?bn?满足bn?(2an?13n?9, )2求a1b2?b2a3?a3b4?b4a5???a2n?1b2n?b2na2n?1的值.
21.(本小题满分12分) 已知函数f?x??13x?ax2?bx?a,b?R?. 3(Ⅰ)若曲线C:y?f?x?经过点P?1,2?,曲线C在点P处的切线与直线x?2y?14?0垂直,求a,b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试求函数g?x??m?1?f?x??x?(m为实常数,m??1)
32????7??的极大值与极小值之差;
(Ⅲ)若f?x?在区间?1,2?内存在两个不同的极值点,求证:0?a?b?2. 22.(本小题满分14分)
x2y2?设F1,F2分别是椭圆D:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,过F2作倾斜角为的直
3ab线交椭圆D于A,B两点, F1到直线AB的距离为3,连结椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.
(Ⅰ)求椭圆D的方程;
(Ⅱ)过椭圆D的左顶点P作直线l1交椭圆D于另一点Q.
(ⅰ)若点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上的一点,且满足NP?NQ?4,求实数t的值;
第 5 页 共 12 页
(ⅱ)过P作垂直于l1的直线l2交椭圆D于另一点G,当直线l1的斜率变化时,直线GQ是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
高三自评试题
数学 (文科) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分. C D B A A B D D C A B C
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13.
25 14. 2 15. 6 16. ①②⑤
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题意得
f(x)?sin2x?3sinxcosx?1?cos2x3?sin2x
221??sin(2x?) ???????????????????????????3分 26??3??2x??2k??令2k??,k?Z 262?2??x?k??解得:k??,k?Z 63??2??3???x??0,?,??x?63?2?所以函数
,或
7?3??x?62
f(x)在[0,3??2??7?3??]上的单调递增区间为[,],?,????????6分 263?62?第 6 页 共 12 页
(Ⅱ)由
f(A)?sin(2A??1 2?6)?1得:
1???sin(2A?)?sin(2A?)?1 266化简得:cos2A?又因为0?A??2,解得:
A??3??????????????????????9分
由题意知:S?ABC又b?c?1bcsinA?23,解得bc?8, 2?7,所以a2?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc(1?cosA)
1?49?2?8?(1?)?25
2故所求边a的长为5. ??????????????????????????12分 18. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为
n辆,由题意得:
5010?n100?300,所以
n?2000.
z=2000-100-300-150-450-600=400 ????????????4分
(Ⅱ) 8辆轿车的得分的平均数为x1?(9.4?8.6?9.2?9.6?8.7?9.3?9.0?8.2)?9 8 ????????????????6分 把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a对应的基本事件的总数为8个, 由
a?x?0.5,且函数f?x??ax2?ax?2.31没有零点
?a?9?0.5???8.5?a?9.24??????????????????10分 2???a?9.24a?0?E发生当且仅当a的值为:8.6, 9.2, 8.7, 9.0共4个,
?p?E??41? ??????????????????????????12分 8219.(本小题满分12分) 证明:(Ⅰ)?四边形
ABB1A1为正方形, ?A1A?AB?AC?1, A1A?AB
?A1B?2 ?????????????2分 ?A1B ?AC?AC?2 ??A1AC?90? 11?A1A?AC ????????????4分 ?AB?AC?A,?A1A?面ABC
第 7 页 共 12 页
又?A1A?面A1AC,?面A1AC?面ABC ????????????6分
AE,C1E,B1E
(Ⅱ)取BC的中点E,连结
?B1C1//BC,B1C1?1BC,?BC11//EC,BC11?EC 2?四边形CEBC11为平行四边形 ?B1E//C1C
?C1C?面AC11C,B1E?面AC11C ?B1E//面AC11C????????8分
1?B1C1//BC,B1C1?BC,
2A1C1B1AEBC?B1C1//BE,B1C1?BE
?四边形BB1C1E为平行四边形?B1B//C1E,且B1B?C1E
又?ABB1A1是正方形,?A1A//C1E,且A1A?C1E
AE?面AC?AEC1A1为平行四边形,?AE//AC11,?AC11?面AC11C,11C
?AE//面AC11C ???????????????????????????10分 ?AE?B1E?E,?面B1AE//面AC11C
?AB1?面B1AE,?AB1//面AC11C ??????????????????12分
20.(本小题满分12分) 解: (Ⅰ)由题设知: 集合
A中所有元素可以组成以?3为首项,?2为公差的递减等差数列;集合B中
所有的元素可以组成以?3为首项,?6为公差的递减等差数列. 由此可得,对任意的n?N,有A?B??B
A?B中的最大数为?3,即a1??3 ???????????????????3分
设等差数列
?an?的公差为d,则an??3?(n?1)d,S10?10(a1?a10)?45d?30
2因为?750?S10??300, ??750?45d?30??300,即?16?d??6
由于B中所有的元素可以组成以?3为首项,?6为公差的递减等差数列, 所以d??6m(m?Z,m?0),由?16??6m??6?m?2,所以d??12
所以数列
?an?的通项公式为an?9?12n(n?N?) ?????????????8分
第 8 页 共 12 页
(Ⅱ)bn?(2an?13n?92)?()n??????????????????????9分 22
于是有a1b2?b2a3?a3b4?b4a5???a2n?1b2n?b2na2n?1
?b2(a1?a3)?b4(a3?a5)?b6(a5?a7)???b2n(a2n?1?a2n?1)
11[1?()n]2?24(1?1)??????????12分
?24(b2?b4?b6???b2n)?24?2n121?221.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)?f??x??x2?2ax?b,
1,?曲线C在点P处的切线的斜率为2, 2?直线x?2y?14?0的斜率为??f??1??1?2a?b?2??① ?曲线C:y?f?x?经过点P?1,2?,
1?f?1???a?b?2??②
32?a??,??3由①②得:? ??????????????????????????3分
7?b?.?3?(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
13227m2?13f?x??x?x?x,?g?x??x?2x23333??,
4?4??g??x???m2?1?x?x??, 由g??x??0?x?0,或x?.
3?3?当m2?1?0,即m?1,或m??1时,x,g??x?,g?x?变化如下表
x g??x? ???,0? + 0 0 极大值 ?4??0,? ?3?- 4 30 极小值 ?4??,??? ?3?+ g?x? 由表可知:
?4??32?32g?x?极大?g?x?极小?g?0??g???0????m2?1????m2?1? ?????5分
?3??81?81第 9 页 共 12 页
当m2?1?0,即?1?m?1时,x,g??x?,g?x?变化如下表
x g??x? g?x? 由表可知:
???,0? - 0 0 ?4??0,? ?3?4 30 ?4??,??? ?3?- + 极小值 极大值 3232?4?g?x?极大?g?x?极小?g???g?0????m2?1??0???m2?1???????7分
8181?3?综上可知:当m?1,或m当?1???1时,g?x?极大?g?x?极小?322?m?1?; 81m?1时,g?x?极大?g?x?极小??322?m?1???????????????8分 81(Ⅲ)因为即x2f?x?在区间?1,2?内存在两个极值点 ,所以f?(x)?0,
?2ax?b?0在(1,2)内有两个不等的实根.
(1)(2)(3)(4) ??????????????????????10分
?f?(1)?1?2a?b?0,?f?(2)?4?4a?b?0,?∴??1??a?2,2????4(a?b)?0.由 (1)+(3)得:a?b由(4)得:a?b?a2?0,?????????????????????11分
?a,由(3)得:?2?a??1,
11?a2?a?(a?)2??2,∴a?b?2.
24故0?
22.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)设F1,F2的坐标分别为(?c,0),(c,0),其中c由题意得
a?b?2 ????????????????????????????12分
?0
AB的方程为:y?3(x?c)
因F1到直线
AB的距离为3,所以有
?3c?3c3?1?3,解得c?3???????1分
第 10 页 共 12 页
所以有a2?b2?c2?3????????①
由题意知:
1?2a?2b?4,即ab?2??② 2?2,b?1
联立①②解得:ax2?y2?1 ????????????????4分 所求椭圆D的方程为4(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(?2,0), 设Q(x1,y1)
根据题意可知直线l1的斜率存在,可设直线斜率为k,则直线l1的方程为把它代入椭圆D的方程,消去
y?k(x?2)
y,整理得: (1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0
2?8k216k24k由韦达定理得?2?x1??,则x1?,y1?k(x1?2)?,
2221?4k1?4k1?4k?2?8k24k?8k22k,线段的中点坐标为PQ?Q?,(?,)??????6分 ?22221?4k1?4k?1?4k1?4k?(ⅰ)当k?0时, 则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴
于是NP?(?2,?t),NQ?(2,?t) 由NP?NQ??4?t2?4,解得:t??22 ?????????????????8分
8k22k1) ??(x?1?4k2k1?4k2当k?0时, 则线段PQ垂直平分线的方程为y?因为点N(0,t)是线段PQ垂直平分线的一点, 令x?0,得:t??6k1?4k2,于是NP?(?2,?t),NQ?(x1,y1?t)
4(16k4?15k2?1)14由NP?NQ??2x1?t(y1?t)?,解得: k???47(1?4k2)2代入t??2146k,解得: t??1?4k25综上, 满足条件的实数t的值为t??22或t??214 ?????????10分 511(ⅱ)设G?x2,y2?,由题意知l1的斜率k?0,直线l2的斜率为?k,则l2:y??k(x?2)
第 11 页 共 12 页
1?y??(x?2),?k由? 2x??y2?1,?4化简得:(k2?4)x2?16x?16?4k2?0.
2k2?84k∵此方程有一根为?2, 得x2?2.??????????12分 ?y2??2k?4k?4?2?8k4k?, 则kGQ?Q?,22??1?4k1?4k?24k4k?225kk?41?4k ???2222k?82?8k4(k?1)?k2?41?4k2?4k5k2?8k2所以GQ的直线方程为y???(x?) 2221?4k4(k?1)1?4k16k(k2?1)2?8k26令y?0,则x?。 ???225k(1?4k)1?4k56所以直线GQ过x轴上的一定点(?,0)???????????????????14分
5
T第 12 页 共 12 页
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