一笔画解析--谢谢-经典——一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD周长为800米

一笔画解析--谢谢-经典——一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD周长为800米

一、原始题干：

一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD周长为800米，土地周围和中间的道路如下图所示，其中DE、BF分别与AB和CD垂直。如要从该土地上任何一点出发走完每一段道路（只能沿着已有路径走），问需要行进的距离最少是

多少米（）

A1000+1100+1100+D1000+

这个题目，我做的时候也是消奇点，但是我开始做的时候看到EF不能连起来，只能连接AC。就选了D。实际上还可以连接AE或者CF。选择B。

1.严谨分析：

第一步：对于满足“覆盖题目直线线段条件的路径”走法中任意一种走法来说，把其在紧邻的两点之间重复走的路径看作这两点之间的新的曲线路径（曲率足够小，长度等于对应线段长度的曲线。重复走一次，这两点之间就多一条曲线，重复走两次，这两点间之间就多两条曲线……，这些曲线我们称为相应线段的伴随曲线）（注意这种看法没有改变走的总路径的长度，所以这么看不影响分析结果），这样看的话：这种走法形成的图形（图中的直线路径+重复走形成的曲线路径）一定是一笔画图形，且这种走法的长度就是这个一笔画图形的线条总长度，且这个一笔画图形中的曲线一定是沿着图中已有的线段（即如果图中两点不存在直接的线段连接，那么这两个点之间必然也没有曲线连接）。所有可行走法对应的一笔画图形组成的集合我们称为A。A中一笔画图形的特点：直线部分是上图中的直线，曲线部分沿着上图中的直线，曲率足够小使得曲线长度等于其沿着的线段。现在的问题就是寻找A中哪个一笔画图形的长度最小。

第二步：我们按照A中一笔画图形的特点构造一笔画图形，即给上图沿着线段添加这样的曲线——曲率足够小使得曲线长度可以看作对应线段的长度，使上图变为一笔画图形，所有按照该方法构成的一笔画图形的集合我们成为B。不

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难知道，A中任何一个元素一定在B中，所以B包含A。同理，由于B中图形都是一笔画图形，所以存在一个路径一笔走完，且覆盖图中所有直线，且走过的曲线都是对应线段的伴随曲线，所以B中每一个一笔画图形都在A中，即A包含B。所以A=B。不难知道在所有构造的一笔画图形中，在AE或者CF之间添加曲线，添加的曲线长度最短，一笔画图形总长度最短，即B中在AE或者CF 之间添加曲线构造的一笔画图形总长度最短。所以B中这个长度最短的一笔画的长度就是最短路径。

2.简化解题思维：

第一步：对于满足“覆盖题目直线线段条件的路径”走法中总路程最短的一种走法来说，把其在紧邻的两点之间重复走的路径看作这两点之间的新的曲线路径（重复走一次，这两点之间就多一条曲线，重复走两次，这两点间之间就多两条曲线……）（注意这种看法没有改变走的总路径的长度，所以这么看不影响分析结果），这样看的话，这种走法形成的图形（图中的直线路径+重复走形成的曲线路径）一定是一笔画图形，且这个一笔画图形中的曲线一定是沿着图中已有的线段（即如果图中两点不存在直接的线段连接，那么这两个点之间必然也没有曲线连接）。

第二步：最短走法形成的一笔画图形有2个奇点或者0个奇点。图中有4个奇点，沿着路径添加曲线至少消去2个奇点，使图形变为一笔画图形，且添加的曲线尽量短。不难知道满足这个要求的添加方法是在AE或者CF之间添加一条曲线。这种方法形成的一笔画图形长度就是用户可能走的最短长度。

3.反向分析

在图中沿着已有线段添加曲线，使上图变为一笔画图形。

对满足洋红色条件的一笔画图形按照一笔走完的原则走完一定符合满足覆盖题目所有直线线段的条件，且路径长度为一笔画图形的线条总长度。

不难知道，在所有满足上面洋红色条件的一笔画图形中，在AE或者CF之间添加曲线，添加的曲线长度最短，所以这种添加方法形成的一笔画图形的线条总长度最小。可以知道，对于这个一笔画图形（在AE或者CF之间添加一条曲线形成的一笔画图形）来说，按照一笔走完的原则走完的路径一定覆盖了图中所

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有直线，符合“走完图中所有直线”的要求，且路径长度是一笔画图形线条总长度，但这个路径是不是最短的呢？

会不会有一种走法，长度比上图标黄的部分确定的路径短呢？

对于满足“覆盖题目直线线段条件的路径”走法中总路程最短的一种走法来说，把其在紧邻的两点之间重复走的路径看作这两点之间的新的曲线路径（重复

走一次，这两点之间就多一条曲线，重复走两次，这两点间之间就多两条曲线……）（注意这种看法没有改变走的总路径的长度，所以这么看不影响分析结果），这

样看的话，这种走法形成的图形（图中的直线路径+重复走形成的曲线路径）一

定是一笔画图形，且这个一笔画图形中的曲线一定是沿着图中已有的线段（即如

果图中两点不存在直接的线段连接，那么这两个点之间必然也没有曲线连接）。所以这个一笔画图形是上面符合上面洋红色条件的一笔画图形集合中的一个，且

该路径长度为该一笔画图形线条总长度。

所以上面黄色部分确定的路径一定是最短的。

注意这个分析方法得到的最短路径是基于只能沿着已有路径走，不能在之

前没有直接路径连接的两点间开辟新路径这个前提的。

二、如果题目再添加个要求——必须从A点出发回到出发点，最短路径是多少？

1.简化解题思维：

第一步：对于满足“覆盖题目直线线段条件的路径”且“从A点出发回到A 点”走法中总路程最短的一种走法来说，把其在紧邻的两点之间重复走的路径看

作这两点之间的新的曲线路径（重复走一次，这两点之间就多一条曲线，重复走

两次，这两点间之间就多两条曲线……）（注意这种看法没有改变走的总路径的

长度，所以这么看不影响分析结果），这样看的话，这种走法形成的图形（图中

的直线路径+重复走形成的曲线路径）一定是一笔画图形且奇点数为0（因为从

一点出发最终回到原点），且这个一笔画图形中的曲线一定是沿着图中已有的线

段（即如果图中两点不存在直接的线段连接，那么这两个点之间必然也没有曲线

连接）。

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第二步：最短走法形成的一笔画图形没有奇点。图中有4个奇点，沿着路径添加曲线消去所有奇点，使图形变为一笔画图形，且添加的曲线尽量短。不难知道满足这个要求的添加方法是在AE和CF之间各添加一条曲线。这种方法形成的一笔画图形长度就是用户可能走的最短长度。

2.严谨分析

第一步：对于满足“覆盖题目直线线段条件的路径且从A回到A”走法中任意一种走法来说，把其在紧邻的两点之间重复走的路径看作这两点之间的新的曲线路径（曲率足够小，长度等于对应线段长度的曲线。重复走一次，这两点之间就多一条曲线，重复走两次，这两点间之间就多两条曲线……，这些曲线我们称为相应线段的伴随曲线）（注意这种看法没有改变走的总路径的长度，所以这么看不影响分析结果），这样看的话：这种走法形成的图形（图中的直线路径+重复走形成的曲线路径）一定是一笔画图形，且这种走法的长度就是这个一笔画图形的线条总长度，且这个一笔画图形中的曲线一定是沿着图中已有的线段（即如果图中两点不存在直接的线段连接，那么这两个点之间必然也没有曲线连接）。所有可行走法对应的一笔画图形组成的集合我们称为A。A中一笔画图形的特点：直线部分是上图中的直线，曲线部分沿着上图中的直线，曲率足够小使得曲线长度等于其沿着的线段，奇点数是0。现在的问题就是寻找A中哪个一笔画图形的长度最小。

第二步：我们按照A中一笔画图形的特点构造一笔画图形，即给上图沿着线段添加这样的曲线——曲率足够小使得曲线长度可以看作对应线段的长度，使上图变为没有奇点的一笔画图形，所有按照该方法构成的一笔画图形的集合我们成为B。不难知道，A中任何一个元素一定在B中，所以B包含A。同理，由于B中图形都是无奇点一笔画图形，所以存在一个路径从A出发一笔走完回到A，且覆盖图中所有直线，且走过的曲线都是对应线段的伴随曲线，所以B中每一个一笔画图形都在A中，即A包含B。所以A=B。不难知道在所有构造的一笔画图形中，在AE和CF之间各添加一条曲线，添加的曲线长度最短，一笔画图形总长度最短，即B中在AE和CF之间各添加曲线构造的一笔画图形总长度最短。所以B中这个长度最短的一笔画的长度就是最短路径。

3.其他思路

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在图中沿着已有线段添加曲线，使上图变为奇点数为0的一笔画图形。

对满足上面浅蓝色条件的一笔画图形，完全可以按照一笔走完的原则从A 出发回到A点，这个路径满足覆盖题目所有直线线段的条件，且路径长度就是一笔画图形的所有线条的总长度。

不难知道，在所有满足上面浅蓝色条件的一笔画图形中，在AE和CF之间各添加一条曲线，添加的曲线长度最短，所以这种添加方法形成的一笔画图形的线条总长度最小。对于这个一笔画图形（在AE和CF之间各添加一条曲线形成的一笔画图形）来说，按照一笔走完的原则从A出发回到A走过的路径一定覆盖了图中所有直线，且路径长度为该一笔画图形线条总长度。但这个路径是不是最短的呢？

对于满足“覆盖题目直线线段条件的路径”且“从A点出发回到A点”走法中总路程最短的一种走法来说，把其在紧邻的两点之间重复走的路径看作这两点之间的新的曲线路径（重复走一次，这两点之间就多一条曲线，重复走两次，这两点间之间就多两条曲线……）（注意这种看法没有改变走的总路径的长度，所以这么看不影响分析结果），这样看的话，这种走法形成的图形（图中的直线路径+重复走形成的曲线路径）一定是一笔画图形且奇点数为0（因为从一点出发最终回到原点），且这个一笔画图形中的曲线一定是沿着图中已有的线段（即如果图中两点不存在直接的线段连接，那么这两个点之间必然也没有曲线连接）。所以这个一笔画图形是上面符合上面浅蓝色条件的一笔画图形中的一个，且该路径长度为该一笔画图形线条总长度。

所以上面红色部分确定的路径一定是最短的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1rdi.html