第三节 函数的单调性与最值

第三节 函数的单调性与最值

1. (2010?北京)给定函数：①y=x

11，②y=log(x+1)，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间(0,1)22上单调递减的是( )

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

2. 函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是( ) A. (-∞，0]，(-∞，1] B. (-∞，0]，[1，+∞) C. [0，+∞)，(-∞，1] D. [0，+∞)，[1，+∞)

3. 已知f(x)=???3a?1?x?4a,(x?1)是(-∞，+∞)上的减函数，那么实数a的取值范围是

logx,(x?1)?a( )A. (0,1) B. ?0?

?1??3??11??1?C. ? D. 1? ???73??7?4. (2011?杭州学军中学月考)设M为实数区间，a＞0且a?1，若“a∈M”是“函数

f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是( )

A. (1，+∞) B. (1,2)

C. (0,1) D. ?0?

5. 函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调递增函数，满足f(x?y)=f(x)+f(y)，f(3)=1，当f(x)+f(x-8)≤2时，x的取值范围是( )

A. (8，+∞) B. (8,9] C. [8,9] D. (0,8)

6. 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)=min{2x，x+2,10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7. (2011?海安如皋联考)若函数f(x)=mx2+x+5在[-2，+∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

8. (2010?重庆)已知t＞0，则函数y=

?1??2?t2?4t?1的最小值为________． t9. (改编题)已知函数y=f(x)，当x2＞x1＞1时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)＞0恒成立，则f??5??，f(2)，?2?f(3)的大小关系为________．

10. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，若f(2-a2)＞f(a)，则实数a的取值范围为________．

11. 对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.

12. 已知函数f(x)=

11-(a＞0，x＞0)． ax(1)求证：f (x)在(0，+∞)上是增函数；

(2)若f(x)在?,2?上的值域是?,2?，求a的值．

22

13. 若f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且对于任意x＞0满足f?(1)求f(1)的值；

?1????1???

?x??=f(x)-f(y)． ?y?(2)若f(6)=1，试求解不等式f(x+3)-f?考点演练

?1??＜2. ?x?4. D 解析：

函数y＝loga|x－1|可看作由y＝logau与u＝|x－1|复合而成，∵u＝|x－1|在(0,1)上为减函数，由复合函数单调性知，y＝logau也为减函数，故0＜a＜1，又因为是充分不必要条件，故应选D.

5. B 解析：

2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f(x(x－8))≤f(9)，因为函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x＞0且x－8＞0且x(x－8)≤9，解得8＜x≤9.

6. C 解析：

f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值，即f(x)max＝f(4)＝6.

1?7. ??0，4? 解析：

当m＝0时，f(x)＝x＋5，在[－2，＋∞)上单调递增，∴m＝0适合；

m＞0，??1

当m≠0时，f(x)为二次函数，其对称轴为x＝－，故需满足?1

2m

??－2m≤－2，

1

综上可得：0≤m≤.

4

8. －2 解析：

t2－4t＋11

∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥－2，当且仅当t＝1时，ymin＝－2.

tt

5?9. f(3)＞f??2?＞f(2) 解析：∵当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0， ∴f(x2)－f(x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)． ∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，

5?∴f(3)＞f??2?＞f(2)． 10. (－2,1) 解析：

当x≥0时，f(x)＝x2＋2x为增函数，

1

解得0＜m≤.4

∵f(x)是奇函数，∴f(x)在R上为增函数． ∵f(2－a2)＞f(a)，∴2－a2＞a， ∴a2＋a－2＜0，∴－2＜a＜1. ∴实数a的取值范围是(－2,1)． 11. [－2，＋∞) 解析：

令y＝x2＋a|x|＋1，易知该函数为偶函数， 当x≥0时，y＝x2＋ax＋1.

a?4－a2?①当a＜0时，ymin＝f?－2?＝，

4

4－a2

又∵函数为偶函数，∴在R上ymin＝，

4

4－a2∴≥0，解得－2≤a≤2，

4

又∵a＜0，∴－2≤a＜0； ②当a≥0时，ymin＝f(0)＝1，

又∵函数是偶函数，∴在R上ymin＝1，此时y≥0恒成立． 综上可知，a的取值范围是[－2，＋∞)．

12. (1)方法一：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0.

11??11?11x2－x1

∵f(x2)－f(x1)＝??a－x2?－?a－x1?＝x1－x2＝x1x2＞0， ∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

11?111

－′＝2＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上为是增函数． 方法二：∵f(x)＝－，∴f′(x)＝??ax?axx

1?1111

，2上的值域是?，2?，又f(x)在?，2?上单调递增，∴f??＝，f(2)＝2，∴(2)∵f(x)在??2??2??2??2?22

a＝. 5

13. (1)令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.

1?(2)∵f(6)＝1，由f(x＋3)－f??x?<2，

1?

得f(x＋3)－f??x?<2f(6)． ∴f[x(x＋3)]

x?x＋3??∴f??6?

x?x＋3?x?x＋3?－3＋317又∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且>0，∴<6，解得0

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