广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（文）试题

绝密★启用前

海珠区2012学年高三综合测试（一）

数 学(文科)

本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室

号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在

答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。 参考公式：柱体体积公式V?Sh,其中S为柱体的底面积，h为柱体的高. 锥体体积公式V?

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高. 31．已知全集U??1,2,3,4,5,6,7?,A??2,4,5?,B??1,3,5,7?，则A??CUB??

A.?5? B.?2,4 ,7? C.?2,4,5,6? D.?1,2,3,4,?522．下面是关于复数z? 的四个命题:

1?i p1:z?2, p2:z?2i p3:z的共轭复数为?1?i p4:z的虚部为1 其中真命题为

A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4

2?x?0?3．设x,y满足约束条件?x?2y?3,则z?x?y的最大值是

?2x?y?3?A.3 B.?3 C. ?4．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是

3 D.0 2A. y??x3 B.y?cosx C. y?xx D.y?ex

??????5．已知向量a??1,2?,b???3,?1?,c?a??b???0?,若c?5,则?的值为

A.?2 B.?1 C.1 D.2

??????6．要得到函数y?sin?x??的图象可将函数y?sin?x??的图象上的所有点

6?6???? 个长度单位 6?B.向左平行移动 个长度单位 6?C.向右平行移动 个长度单位

3?D.向左平行移动 个长度单位

3A.向右平行移动

7．执行如图1所示的程序框图,输出的i值为

A.5 B.6 C.7 D.8

22开始 i?1,s?0 s?s?2i?1ii?i?18．已知椭圆C:xy??1?a?b?0?的离 a2b2s?100?否 是 心率为2,双曲线x2?y2?1的渐近线与 2输出i 椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的 四边形的面积为16,则椭圆C的方程为

结束 图1

x2y2x2y2A.??1 B.??1 C.

84126x2y2x2y2??1[来源:学.科.网] ??1 D.2051689. 在长为10cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的

长，则该矩形面积大于9cm的概率为

2A.1134 B. C. D. 10510510．已知函数f?x??x2?2x,g?x??ax?2?a?0?,对任意的x1???1,2?,都存在

x0???1,2?,使得g?x1??f?x0?,则实数a的取值范围是

?1??1?A.?0,? B.?,3? C. ?3,??? D.?0,3? ?2??2?二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）

11．cos750cos450?sin750sin450? . zxxk

12．一个几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积为 . [来源:学§科

§网]

俯视图 正视图

侧视图

1 2 1 0.5 2 0.5 1 1 图2

13．将石子摆成如图3的梯形形状.称数列5,9,14,20,?为“梯形数”.根据

图形的构成,数列第6项a6? ; 第n项an? .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

图3

?2t?x??214．（坐标系与参数方程选做题） 已知直线l的参数方程为? (t为参数)，圆?y?1?2t??2?x?cos??2C 的参数方程为? (?为参数),则圆心C到直线l的距离为 .

y?sin??zxxk

15．（几何证明选讲选做题）如图4，在?ABC中， DE//BC， EF//CD，若

BC?4,DE?2,DF?1，则AB的长为 .

BCDFEA图4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本小题满分12分)

在锐角?ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,向量

编号 1 2 3 4 5 x y 169 75 178 80 166 77 175 70 180 81 ???m??1,coBs?,n?sinB,?3,且m?n.

?? (1)求角B的大小; zxxk (2)若?ABC面积为

332,3ac?25?b,求a,c的值. 217．(本小题满分12分)

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x,y的含量（单位:毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据:

(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;

(2)当产品中的微量元素x,y满足x?175且y?75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;

(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率.

zxxk

18．(本小题满分14分)

如图

5,在三棱柱

ABC?A1B1C1中,侧棱与底面垂

0直,?BAC?90,AB?AC?AA1?2,点M,N分别为A1B和B1C1的中点.

(1)证明:A1M?平面MAC; (2)求三棱锥A?CMA1的体积; (3)证明:MN//平面A1ACC1.

A1B1MABNC1C图5

19．(本小题满分14分)

已知等差数列?an?满足a3?5,a5?2a2?3,又数列?bn?中,b1?3且

3bn?bn?1?0?n?N??

(1)求数列?an?,?bn?的通项公式;

(2)若数列?an?,?bn?的前n项和分别是Sn,Tn,且cn?项和Mn;

(3) 若Mn?9logm源学科网ZXXK]Sn?2Tn?3?.求数列?cn?的前nn3?m?0,且m?1?对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.4[来

zxxk

20．(本小题满分14分)

设抛物线C:x?2py?p?0?的焦点为F,A?x0,y0??x0?0?是抛物线C上的一定

2点.

(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点, S为C的准线上一点,若?QRS的面积为4,求p的值;

(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为

M?x1,y1?,N?x2,y2?.若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线

C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.

?9?9logm即logm3 43?1 43?1恒成立； ????12分 43当0?m?1时，由logm?1 ?logmm，

43得m? ，

43?0?m?. ????13分

4当m?1时，logm ?实数m的取值范围是?m0?m?分

20. (本小题满分14分)

（本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力） 解: (1)由题设F?0,??3?或m?1?. ????144???p?p??p??,设则Qx,,R?x,??1??1? ????1分 2?2??2??2QR??x???x??11?pp??????22?2

?2x12?22p?p?2p. ????2分 21?由?QRS的面积为4,得:?2p?p?4, ????3分

2得:p?2. ????4分 (2)由题意A1??x0,y0? ????5分 首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率. 解法一：设抛物线在A1处的切线的斜率为k,则其方程为

y?k?x?x0??y0 ????6分

??y?k?x?x0??y0联立?

2??x?2py得x?2pkx?2px0k?2py0?0

将2py0?x02代入上式得:x2?2pkx?2px0k?x02?0 ????7分

2

????2pk??4?2px0k?x02??0 ????8分

2即p2k2?2px0k?x02?0 即?pk?x0??0 得k??2x0. px0.????9分 p即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为?解法二：由x2?2py得y?12x， ????6分 2p

?y'?x ????7分p[来源:Zxxk.Com]?抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1??x0,y0?处的切线的斜率为? ????9分 再求直线MN的斜率.

x0. p解法一：设直线AM的斜率为k1,则由题意直线AN的斜率为

?k1. ????10分

直线AM的的方程为y?y0?k1?x?x0?,则直线AN的的方程为y?y0??k1?x?x0?. [来源:Z_xx_k.Com]

2??x?2py联立?

y?kx?x?y?1?0?0?得x2?2pk1x?2pk1x0?x02?0????(1) ????11分

?方程(1)有两个根x0,x1,?????2pk1??4?2px0k1?x02??0

2?x0,1?2pk1?? 2,

即

x0?x1?2pk1x1?2pk1?x0,同理可得

x2??2pk1?x0 ????12分

直线MN的斜率kMNx22x12?xy?y2p2px1?x2?2x0???0. ????13分 ?21??2ppx2?x1x2?x12p?直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.???14

分

解法二:?kAM??kAN ????10分

?y0?y1y?y2 ????11分 ??0x0?x1x0?x2x02x12x02x22??222xxx2p2p2p2p将y0?0,y1?1,y2?2分别代入上式得:, ??x0?x1x0?x22p2p2p整理得2x0?x1?x2. ????12分

?直线MN的

x22x12?xy?y2p2px1?x2?2x0???0. ????13分 ?21??2ppx2?x1x2?x12p斜率kMN?直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜

率. ???14分

21.(本小题满分14分)

（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力） 解：（1）当a??1时，f(x)?x?lnx, 得f'(x)?1?1, x ????1分

令f'(x)?0,即1?解得x?1,

1?0, x所以函数f(x)在(1,??)上为增函数， ????2分 据此，函数f(x)在[e,e]上为增函数，

22222 ????3分[来源:学科网ZXXK]

而f(e)?e?1,f(e)?e?2, ????4分 所以函数f(x)在[e,e]上的值域为[e?1,e?2] ????5分

[（2）由f'(x)?1?aa,令f'(x)?0,得1??0,即x??a ????6分 xx[

当x?(0,?a)时,f'(x)?0,

函数f(x)在(0,?a)上单调递减； ????7分 当x?(?a,??)时,f'(x)?0, 函数f(x)在(?a,??)上单调递增； 若1??a?e,即?e?a??1, 易得函数f(x)在[e,e2]上为增函数， 此时，f(x)max?f(e2),

要使f(x)?e?1对[e,e2]恒成立， 只需f(e2)?e?1即可，

????8分

?e2?e?1所以有e?2a?e?1,即a? ????9分

22?e2?e?1?(e2?3e?1)?(?e)??0, 而

22?e2?e?1??e,所以此时无解 即

2若e??a?e2,即?e?a??e2,

2??a,e易知函数f(x)在[e,?a]上为减函数，在???上为增函数，

????10分

要使f(x)?e?1对x?[e,e]恒成立，

2?a??1?f(e)?e?1?只需?,即??e2?e?1, ????11分 2?f(e)?e?1?a?2??e2?e?1?e2?e?1?(?1)??0 由

22?e2?e?1e2?e?12?(?e)??0 和

22?e2?e?1. 得?e?a?22 ????12分

2若?a?e,即a??e，易得函数f(x)在[e,e]上为减函数， 此时，f(x)max?f(e),要使f(x)?e?1对x?[e,e2]恒成立， 只需f(e)?e?1即可

所以有e?a?e?1,即a??1,又因为a??e,所以a??e.

????13分

2222

综

合上述，实数

a的取值范围是

??e2?e?1???.???,2?? ????14分

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