高等代数（张禾瑞版）教案-第3章行列式

3.3 n 阶 行 列 式

教学目的：

1、 理解和掌握n阶行列式的定义和性质。

2、 能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。 教学内容：

1、 行列式的定义：

任意取n个数aij（i=1,2,…,n;j=1,2,…,n）,排成以下形式： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n

(1)

……………. an1 an2 … ann.

2考察位于（1）的不 同的行与不同的列上的 n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形式：

a1j1 a2j2 … anjn, （2） 这里下标j1,j2,...,jn是1，2，…，n这n个数码的一个排列。反过来，给了n个数码的任意一 个排列，我们也能得出这样的一个乘积。因此，一切位于（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n!个。

我们用符号?(j1 j2…jn)表示排列j1 j2…jn的序数。

a11a21 定义 用符号 ...an1a12a22...an2...a1n...a2n

........ann表示的 n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积a1j1 a2j2…anjn.项a1j1 a2j2…anjn符号为（-1） ,也就是说，当j1 j2…jn是偶排列时，这一项的符号为正，当j1 j2…jn是奇排列时，这一项的符号为负。

一个n阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。特别，当n=1时，一阶行列式?a?就是数a.

例1 我们看一个四阶行列式

a0 D=0b00. 0h0cd0efg00根据定义，D是一个4！=24项的代数。然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至含有一个因子0，因而等于0。与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个和第四个是奇排列。因此

D=acfh-adeh+bdeg-bcfg.

2、 转置行列式：

a11a21 设 D=...an1a12a22...an2...a1n...a2n..

........ann如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式

a11a21D’=...an1a12a22...an2...a1n...a2n

........annD’叫做D的转置行列式。

引理 3.3.1 从n阶行列式的第i1,i2,…,in行和第j1,j2,...,jn列取出元素作乘积

ai1j1ai2j2…ainjn, (3)

这里i1i2…in和j1j2...jn都是1,2,…,n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是（-1）

s?t,s=?( i1i2…in),t=?( j1j2...jn).

证 如果交换乘积（3）中某个因子的位置，那么（3）的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换。假定经过这样一次对换后所得的两个反序分别为s’和t’，那么由定理3.2.2，s’-s和t’-t都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以（s’+s）-(s+t)=(s’-s)+(t’-t)是一个偶数。因此s’+t’与s+t同时是偶数或同时是奇数，从而

（-1） =（-1）.

另一方面，由定理3.2.1，排列i1i2…in总可以经过若干次对换变为12…n.因此，经过若干次变换因子的次序，乘积（3）可以变为（4） a1k1a2k2…ankn,这里k1k2…kn是n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是（-1） 。然而?（12…n）=0.由上面的讨论可知（-1）

s?ts'?t's?t=（-1）

n(12...)?n(k1k2...kn)=（-1）

n(k1k2...kn)。

引理被证明。

现在设 a1k1a2k2…ankn是n阶行列式D的任意一项。这一项的元素位于D的不同的行和 不同的列，所以位于D的转置行列式D’的不同的行和不同的列，因而也是D’的一项。由引理3.3.1，这一项在D里和 在D’里的符号都 是（-1）。反过来，D’的任意一项也是D的一项，并且D中不同的两项显然也是D’中不同的两项。因为D与D’的项数都是n！，所以D与D’是带有相同符号的相同项的代数和，既D=D’。于是有 命题 3.3.2 行列式与它的转置行列式相等。

命题 3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 证 设给定行列式

n(k1k2...kn)a11.....ai1 D=.....aj1a12...a1n...............ai2...ain................ aj2...ajn...................an1an2...ann交换D的第I行与第j行得

a11a12...a1n......................aj1aj2...ajn D1=....................

ai1ai2...ain....................an1an2...ann(旁边的i和j表示行的序数)。

D的每一项可以写成

a1k1…aiki…a

jkj…ankn. (5)

因为这一项的元素位于D1的不同的行和不同的列，所以它也是D1的一项。反过来，D1的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着D1的不同项。因此D与D1含有相同的项。

D中的符号是（-1）

n(k1...ki...kj...kn)。然而在D1中，原行列式的第 i行变成第j行，第j行变

=（-1）

n(k1k2...kn)?1成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到?（1…j…i…n）是一奇数，（5）在D1中的符号是 （-1）

n(1..j...i...n)?n(k1k2...kn)?1

因此（5）在D和D1中的符号相反。所以D与D1的符号相反。

交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。

推论 3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。

命题 3.3.5 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个行列式。

证 设把行列式D的第i行的元素ai1,ai2,…,ain乘以k而得到行列式D1。那么D1的第i行的元素是 kai1,kai2,…,kain.

D的每一项可以写作 a1j1…aiji…anjn. (6)

D1中对应的项可以写作 a1j1…（kaiji）…anjn= k a1j1…aiji…anjn. (7) (6)在 D中的符号与（7）在D1中的符号都是（-1）

n(j1j2...jn)。因此，D1=kD.

推论 3.3.6 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 推论 3.3.7 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 推论 3.3.8 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 证 设行列式D的第i行与第j行（i≠j）的对应元素成比例。那么这两行的对应元素只差同一个因子k，即 ai1=ka因此

j1,ai2=ka

j2,…,ain=kajn.

a11.....ai1D= .....aj1a12...a1na11....................ai2...ainkaj1............... = .....aj2...ajnaj1.....an1a12.....kaj2.....aj2.....an2...................a1n.....kajn..... ajn....................an1an2...ann.............ann由推论 3.3.6，可以把公因子k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论 3.3.4 ，这个行列式等于零。

命题 3.3.9 设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和：

a11..... D=bi1?ci1a12.....bi2?ci2.....an2.......a1n..........an1...bin?cin .............ann 那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行的元素是bi1,bi2,…,bin,D2的第i行的元素是ci1,ci2,…,cin，而D1与D2的其它各行都和D的一样。

同样的性质对于列来说也成立。

（）

证 D的每一项可以写成 a1j1…(biji+ciji)…anjn的形式，它的符号是（—1）?j1j2…jn.去掉括弧，得a1j1…（bij1+cij1）…anjn=a1j1…biji…anjn+a1j1…ciji…anjn.

但一切项a1j1…biji…cnjn附以原有符号后的和等于行列式

a11a12...a1n....................D1= bi1bi2...bin ，

....................an1an2...ann

一切项a1j1…ciji…anjn附以原有符号后的和等于行列式

a11a12...a1n........................D2=ci1ci2...cin . ........................an1an2...ann因此 D=D1+D2.

命题 3.3.9 显然可以推广到第i行（列）的元素是m项的和的情形（m?2）.

命题 3.3.10 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

证 设给定行列式

a11a21 D= ...an1a12a22...an2...a1n...a2n , ........anna12......ai2?kaj2......aj2......an2...a1n...............ain?kajn............. ...ajn...............ann把D的第j行的元素乘以同一数k后，加到第i行(i?j)的对应元素上，我们得到行列式

a11......ai1?kaj1 D’= ......aj1......an1由命题 3.3.9 D’=D+D1 此处

a11.....kaj1 D1= .....aj1.....an1a12.....kaj2.....aj2.....an2...................a1n.....kajn..... . ajn.............annD1的第i行与第j列成比例；由推论 3.3.8 ， D1=0。所以D’=D. 我们给出两个利用行列式的性质来简化行列式计算的例子。

例 2 计算行列式

1?a12?a13?a1 D = 1?a1?a23 2?a2?a233?a2 3?a3根据命题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一还不错的对应的元素(即把D的第一列的元素同乘以-1后加到第二列和第三列的对应元素上),得

1?a112 D = 1?a2 12 1?a312这个行列式有两列车员成比例,所以根据推论3.3.8, D=0.

例 3 计算n阶行列式

011?1101?110?1 D = 1?????111?0我们看到,D的每一列的元素的和都是n-1.把第二,第三,…,第n行都加到第一行上,得

n?1n?1n?1?n?11 D = 01?111110?1?????11?01?11 根据推论3.3.6,提出第一行的公因子n-1,得

101?110?1 D=( n - 1 ) 1?????111?0由于某种原因第二,第三,,第n行减去第一行,得

111???10?100?1 D= ( n - 1 ) 0???00000 ????1由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积(-1)n-1.所以

D=(-1)n-1(n-1)

31?12?513?4D?201?11?53?3

在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得

51?11?1113?1D?0010?5?530

根据定理3.4.1

511

把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得

D?1?(?1)3?3?111?1?5?501

所以D=40。

例5 计算阶行列式

?62?620?1?(?1)1?3?40.?5?5?5?5051

x0?n?0?0an?1按第一列展开，得

?1x0?0an?2000?1x?0??00000??1x?a1?1x

?0???xan?3?a2000??1x?a1???1?n?1x0?n?x0?0an?1?1x0?0an?20?1x?0??0?0000?0???x?1?an0x?00?????00?x?1

an?3?a2这里的第一个n?1阶行列式和

?n有相同的形式，把它记作?n?1；第二个n?1阶行列式等于

??1?n?1。所以

?n?x?n?1?an.

n(?2)都成立。因此有

这个式子对于任何

?n?x?n?1?an

2?x?n?2?an?1x?an

?x(x?n?2?an?1)?an

??????? 但。所以

例6 计算行列式

n?1n?2?x??ax???an?1x?an. 12

1a1Dn?a12?a12n?11a22a2?????1an2an?

这个行列式叫做一个阶范得蒙（Vandermonde）行列式。 由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以a1，得

2n?12n?1a2?an10Dn?0?0根据定理3.4.1

1a2?a1a2(a2?a1)?1a3?a1a3(a3?a1)?????1an?a1an(an?a1)?

n?2n?2n?2a2(a2?a1)a3(a3?a1)?an(an?a1)a2?a1Dn?a2(a2?a1)?a3?a1a3(a3?a1)????an?a1an(an?a1)?

n?2n?2n?2a2(a2?a1)a3(a3?a1)?an(an?a1)提出每一列的公因子后，得

1a22Dn?(a2?a1)(a3?a1)?(an?a1)a2?n?2a21a32a3?????1an2an?

n?2n?2a3?an最后的因子是一个n?1阶的范得蒙行列式，我们用同样得

Dn?1代表它：

Dn?(a2?a1)(a3?a1)?(an?a1)Dn?1

此处是一个阶的范得蒙行列式。如此继续下去，最后得

Dn?1?(a3?a2)(a4?a2)?(an?a2)Dn?2

Dn?(a2?a1)(a3?a1)?(an?a1)?(a3?a2)?(an?a2)????(an?an?1).

3.5 克 莱 姆 规 则

教 学 目 的：

1． 理解克莱姆法则的条件，及应用范围。 2 应用克莱姆法则解线性方程组。 教 学 内 容：

设给定了一个含有n个未知量n个方程的线性方程组

a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1， a21x1+a22x2+……+a2nxn=b2， ……………………

an1x1+an2x2+……+annxn=bn.

利用方程组的系数可以构成一个n阶行列式

a11a21 D ...an1a12a22....an2...a1n...a2n.........ann （1）

这个行列式叫做方程组（1）系数的行列式.

定理3.5.1 (克莱姆(Cramer)规则) 一个含有n个未知量n个方程的线性方程组当它的行列式D?0时,有且仅有一个解 x1=

DnD1D , x2=2,……，xn=， （2） DDD此处Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项b1，b2，……bn.而得到的n阶行列式

证 n=1时是明显的.设n>1.令j是整数1,2,……，n中的任意一个.分别以A1j,A2j,…Anj乘方程组（1）的第一，第二，…，第n个方程然后相加，得 （a11 A1j+ a21 A2j+…+ an1 Anj）x1 +………………………………………… +（a1j A1j+a2j A2j+…+ anj Anj）xj +…………………………………………… +（a1n A1j+ a2n A2j+…+ ann Anj xn

= b1 A1j+ b2 A2j+… bn Anj

由定理3.4.2和3.4.3, xj的系数等于D而xi(i?j)的系数都是零；因此等式左端等于D xj，而等式右端刚好是n阶行列式

a11?b1?a1na21?b2?a2n Dj=??

??????????an1?bn?ann这样，我们得到

D xj= Dj .

令j=1,2,…，n我们得到方程组

D x1 =D1 ，D x2=D2，…，D xn=Dn. （3）

方程组(1)的每一解都是方程组(3)的解.事实上,设α1，α2，…αn是方程组（1）的一个解。那么在（1）中把xi代以αi（i=1，2，…，n），就得到一组等式。对于这一组等式施以方程组（1）到方程组（3）的变换，显然得到下面的一组等式：

D α1= D1 ，D α2= D2，D αn= Dn. 这就是说，α1，α2，…αn也是方程组（3）的一个解。

当D?0时，方程组（3）有唯一解，就是（2）。因此方程组（1）也最多有这一个解。 我们证明（2）是（1）的解。为此，把（2）代入方程组（1），那么（1）的第i(i=1,2,…，n)个方程的左端变为 a i1而

Dj= b1 A1j+ b2 A2j+… bn Anj，j=1，2，…n 计算出来，我们得到

ai1（b1 A11+…bi Ai1+… bnAn1）

DnD1D+ai22+…ain DDD1 D1+… D1 +ain（b1 A1n+…+ biAin+… bnAnn）

D1 = b1（a i1A 11+ai2A12+…+ ain Ain）+…

D1 + bi（a i1A i1+ai2Ai2+…+ ain Ain）+…

D +ai2（b1A12+…+ biAi2+… bnAn2）

+ bn（a i1A n1+ai2An2+…+ ain Ann）

1=b Di这里我们应用了定理3.4.2和3.4.3.这就是说,(2)是方程组(1)的解. 因此,当D?0时,方程组有且仅有一个解,这个解由公式(2)给出. 例 解线性方程组

2 x1+ x2-5x3+x4=3,

x1-3x2-6x4=9

2x2-x3+ 2 x4=-5 x1+4x2-7x3+3+6 x4=0 这个方程组的行列式

2D=

1?511?30?6=27

02?1214?76因为D?0,我们可以应用克莱姆规则.再计算以下的行列式

8 D1 =

1?519?30?6=81,

?52?12024?768?510?6=-103,

?12?7861D2 =

190?51201D3 =

1?39?6=-27

02?5214021?568D4=

1?309=27

02?1?514?70又克莱姆规则,得方程组的解是:

x1=3, x2=-4, x3=-1, x4=1

克莱姆规则只在D?0时才能应用.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1quf.html