2008-2009第一学期工程数学试题（A卷）答案

《工程数学》试卷

中国矿业大学徐海学院2008－2009学年度第一学期

《工程数学》（A卷）试卷答案

一、解：z?（1）|z|?2??1?i

?1?i32,argz???;

4（2）指数形式：z?2e3??433；三角形式：z?2(cos??sin?)

44；

（3）（4）w?33z2008?21004(cos??2008?sin??2008)?2100444?1??i。

1xy?2?i zx?y2x2?y2二、解：令??u?iv，??u?iv，

??于是：u?xy,v?? 2222x?yx?yxy,v??将代入x2?y2?4，消去x,y得: 44122 u?v?

41经过变换得到半径为，圆心在原点的圆。

222（1）由x?y?4得，u?(2)由 x?1得u?v1y??y，将此式代入,v??，于是u1?y21?y221122?1?u?,整理得(u?)?v??? 21?y2?2?经过变换得到半径为

1?1?，圆心在?,0?原点的圆。 2?2?第1页 共9页

《工程数学》试卷

三、解：由题意知：

u?x2?axy?by2，v?cx2?dxy?y2

C－R方程可知：

?u?v?u?v? ??

?y?x?x?y即得：a?2,b??1,c??1,d?2

四、解：（1）设z?t?i(t?1)，则z?t?i(t?1)，dz?(1?i)dt

原式??[t?i(t?1)](1?i)dt?2?i

12（2）由起点z?1到点z?2直线段，设z?t,1?t?2，则z?t，

dz?dt；再由点z?2到终点z?2?i直线段 设z?2?it,0?t?1，则z?2?it，dz?idt

原式＝??21tdt??(2?it)idt?0131??2i?2?2i 22ez五、解：f(z)?2存在奇点为z1??1,z2?0，分别以z1,z2为

z(z?1)圆心做圆周C1,C2，于是柯西积分公式：

ezdzezez??Cz2(z?1)dz＝??C1z2(z?1)dz＋??C2z2(z?1)dz ezez2(z?1)zdz ＝?＋?C1(z?1)??C2z2dz

ez＝2?i2z

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?ez??1＋2?i??1!z?1??z??1＝

z??12?i e《工程数学》试卷

?1(?1)n六、（1）实部?交错级数收敛，?为收敛级数，级数收敛。

n(n?1)nn?1n?1???n??1??n??1?（2）实部??因为，?????????级数收敛，

?2n?1??2?n?1?2n?1?n?1?2????n??3??n??3?收敛；虚部收敛，级数 ?i???????收敛。?????5?n?1?2n?1?n?1?2n?1?n?1?5??nnnn?nnnn七、（12分）设函数f(z)?（1）0?z?1

z?1

z2(z?1)?z?1121f(z)?2?2(1?)?2(1??zn)

z(z?1)z1?zzn?1（2）1?z???

?z?11212111f(z)?2?2(1?)?2(1?)?2?2?n?3

z(z?1)z1?zzz1?1zn?1zz（3）求??z?1dz?2?iC?1?0， C为z?2正向边界。

z?2z2(z?1)1?k2k?Z，易判断极点为以及极点。

八、解：（1）z?（2）Res{f(z),1sin?z1?k}??? 2(cos?z)?z?1?k?2（3）

1tan?zdz?2?iRes{f(z),?k}??12i ???z?32 第二部分：《积分变换》 九、（1）F?tf(t)??idF(?) （2）Fd??f?(t)??i?F(?)

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（3）F?f(t?1)??F(?)e?i?（4）Fi?0t?ef(t)????F(???0)

十、解：y????3y???3y??y?1,y??(0)?y?(0)?y(0)?0。

两边同时L变换，并将初值代入式中得到： (s?3s?3s?1)Y(s)? 即得：Y(s)?321 s1 3s(s?1)1y(t)?Res[Y(s)est,0]?Res[Y(s)est,?1]?1?t2e?t?te?t?e?t

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