武汉大学2007-2008第二学期《高等数学B》试题及其答案

武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》（180学时）考试试题 （A卷） 一、（36分）试解下列各题：

??2x?y?0xyz???4x?2y?3z?6??124的平面方程； 1、求通过直线且平行于直线

2、在两边向量为AB?{0,4,?3},AC?{4,?5,0}的?ABC中，求AB边上的高h；

3、求曲面x?y?z?6在点(1,?2,1)处的切平面和法线方程；

4、设z=e

xy222?2z

xy； +y2lnx，求二阶偏导数抖

5、计算二重积分

??xydxdyD0，其中D?{(x,y)|x?y?a,x?0,y?0}；

2226、交换积分次序

??1dx?1?x2x?1f(x,y)dy。

z?x?y?二、（10分）求函数

1xy(x?0,y?0)的极值。

三、（12分）设函数g(x)具有连续导数，曲线积分Lx[e??g(x)]ydx?g(x)dy与路径无关,

g(0)?? 1、求满足条件

(1,1)12的函数g(x)；

2、计算

(0,0)?[ex?g(x)]ydx?g(x)dy的值。

1357????24816四、（12分）证明级数

收敛，并求其和。

?x2y?x2?y2,f(x,y)???0,?五、（15分）1、求函数

2、问微分方程yx2?y2?0x2?y2?0的二阶偏导数

fxy(0,0)；

????y???2y??0的哪一条积分曲线y?y(x)通过点(0,?3)，在这点处有

倾角为arctan6的切线，且

y??|x?0?fxy(0,0)。

F?i?zj?六、（15分）试求向量

ezx?y22k22z?x?y,z?1,z?2所围成

穿过由

区域的外侧面（不包含上、下底）的流量。

武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》（180学时A卷)考试试题参考解答 ??2x?y?0?4x?2y?3z?6x?y)?0?一、解: 1、通过直线?的平面束方程为：4x?2y?3z?6??(2

（1）

xyz??124，则 欲使平面（1）平行于直线4?2??2(2??)?12?0????5代入（1）得所求平面方程为：2x?y?z?2?0

ijkS? 2、?ABC的面积为:

hS?|AB||AB|?0?16?9?52又,,故h?5 3、设

1125|AB?BC|?04?3?2224?50,

F?x2?y2?z2?6,Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z

故得曲面在点(1,?2,1)处的法向量为：?2,?4,2??2{1,?2,1}。 故切平面方程为：(x?1)?2(y?2)?(z?1)?0即x?2y?z?6

x?1y?2z?1??1?21 法线方程为：

4、

zx=yexyxy(?)xy2?y2yxe1y2xyxyzxy?e?yxe??+x，xx，

?a4xydxdy??cos?sin?d??rdr???8 00 5、D23a6、由已知得：0?y?1,?1?y?x?y?1，所以有：原式

??z?1?1?0?x2y??x???z1??1?2?0??yxy???x?1?y?1??2??10dy?y?1?1?y2f(x,y)dy

二、解：

又求二阶导数：

A?zxx?2x?3y?1,B?zxy?x?2y?2,C?zyy?2y?3x?12 在点(1,1)处，B?AC??3?0,A?2?0，故z(1,1)?3为所求极小值。

?Q?P?Q??g(x)P?[e?g(x)]y?x?y 得 三、解：1、由 且

??dx12xx?dx?xg(x)?e[(?eedx?c]?e[?e?c]x?g?(x)?g(x)??e2解得：

x由

g(0)??11g(x)??ex2 2，得：c?0 所以

2、

1x1x11eydx?edy?edy?e??2222(0,0)0(1,1)1

un?12(n?1)?12n?112n?1lim?lim/?n?1n?n??un??n222n 四、解：级数可写为n?12，由

???1?2n?1nn????1???nn?1nn?1n?1n?1n?1n?12222 故级数收敛。

?? 作函数级数

s(x)??nxn?1n?1x?此级数的收敛区间为|x|?1，两边积分，有：

?x?n?1n?1

n?1n?0s(x)dx???0nxdx??x?x1?x

s(x)? 将上式两边微分得：

2n?11?s()?1?4?1?3n2 故n?12

??1|1(1?x)2 |x?

五、解：1、

fx(0,0)?limx?0f(x,0)?f(0,0)0?0?lim?0x?0xx

22当x?y?0时，

2xy(x2?y2)?2x3y2xy3fx(x,y)??2(x2?y2)2(x?y2)2

所以

fxy(0,0)?limy?0fx(0,y)?fx(0,0)0?0?lim?0y?0yy

32r?0,r2?2,r3??12、此方程的特征方程为：r?r?2r?0，解得：1，即微分方程的通解

为：

y?c1?c2e2x?c3e?x，由积分曲线通过点(0,?3)，故得

c1?c2?c3??3， （1）

2x?x?又在这点处有倾角为arctan6 的切线，故有y|x?0?(2c2e?c3e)|x?0?tan(arctan6)，

即 由题设知

2c2?c3?6， （2）

，即

4c2?c3?0y??|x?0?(4c2e2x?c3e?x)|x?0?0 （3）

联立（1）、(2)、(3)解得：

c1?0,c2?1,c3??4

2x?x则所求积分曲线为：y?e?4e

六、解： 补充有向平面

?1:z?1,?2:z?2方向分别向下和上，记?为圆台外侧，法向向外，

?是由

22 z?1,z?2,z?x?y所围成的闭区域，??为?的边界曲面的外侧，则所求流

量为：

????Fds??(????????)dydz?zdxdz????ezx?y22dxdy?

ezx?y222z2?z

???dydz?zdxdz??ezx?y22dxdy?????dv??edz?d??dr?2?e2100

??dydz?zdxdz??ezx2?y2dxdy??x?y?1??ex2?y2dxdy??2?e

??dydz?zdxdz??ezx2?y2dxdy?x?y?4??e2x2?y2dxdy?4?e2

所以??2?e(1?e)

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