贝塞尔函数的有关公式

C.贝塞尔函数的有关公式 贝塞尔方程

的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。有 第一类柱贝塞尔函数Jp(z)

p为整数n时，J?n=(?1) nJn； p不为整数时，Jp与J?p线性无关。 第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)

n为整数时N?n=(?1) nNn。

第三类柱贝塞尔函数Hp(z) (柱汉开尔函数)： 第一类柱汉开尔函数 Hp(1)(z)= Jp(z)+j N p(z)

第二类柱汉开尔函数 Hp(2)(z)= Jp(z)?j N p(z)

大宗量z??

小宗量z?0

，为欧拉常数

见微波与光电子学中的电磁理论 p668

Jn(z)的母函数和有关公式

函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到

在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得

又可得

如z=x为实数

贝塞尔函数的加法公式

Jn(z)的零点?ni

J’n(z)的零点?ni

半整数阶贝塞尔函数

Jn+1/2(z)的零点?np

J'n+1/2(z)的零点?'np

D．朗斯基行列式及其它关系式

E．修正贝塞尔函数有关公式

贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程

方程的两个线性无关的解为

Ip(z)=j?pJp(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。

Kp(z)=(?/2)jp+1Hp(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。

大宗量z??

小宗量z?0

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