四川省郫县一中2010届高三第一次月考（数学理）

置索国际教育 模拟考试

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、复数

(1?i)i2（其中i是虚数单位）等于

(A)?2 (B)2 (C)?2i (D)2i

2、与命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题等价的命题是

(A)若q不正确，则p不正确 (B)若p正确，则q正确 (C)若p正确，则q不正确 (D)若q不正确，则p正确

3、若?an?为等差数列，a3?4，a8?19，则数列?an?的前10项的和为

(A)230

1x(B)140

?1115 (C)

(x)，若f?1 (D)95

4、函数f(x)?2?的反函数为f

(a)?0，则实数a的取值范围是

(A)(??,2)

(B)(2,??) (D)(?2,2)

(C)(??,?2)?(2,??)

5、函数f(x)?cosx?2?????,? ??3??3sinx，x?[??,0]的减区间是

?(A)???2?,? (B) ???33?? (C) ??,0?

?3??? (D)??????,0 ?6?6、从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科1人．若学生甲不能参加物理竞赛，则不同的参

赛方案共有

(A)24种 (B)28种 (C)48种 (D)72种

ax27、常数a、b满足limx??2?5x?4x?2?b，则a?b的值为

(A)?32 (B)?12 (C)32 (D)12

8、平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝

（A）3 （B）23 （C）4 （D）12

9、如图，直角三角形ABC的边AC?3,BC?4，?ACB?90，三顶点在球O上，若OC与三角形ABC

所在平面成30的角，则球O的表面积为 (A)50?9?? (B)

50?3

1

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(C)100?9

2 (D)

100?3

10设函数f(x)?g(x)?x，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为) A．4 B．?14 C．2 D．?12

11、已知函数f (x)的定义域为[a，b]，函数f (x)的图象如右图所示，

则函数f (| x |)的图象是( ) y c a O b x

c y y c y c y －b a Aa ．O B. C. D. －a x O b x a O b O b x －c 12．设函数y?f(x)在（??，+?）内有定义。对于给定的正数K，定义函数

f?f(x),f(x)?Kk(x)??

?K,f(x)?K取函数f(x)=2?x?e?x若对任意的x?(??,??)，恒有fk(x)=f(x)，则

A．K的最大值为2 B. K的最小值为2

C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13、(x?2)6x的展开式中常数项是 ；

??14、已知a?2，b?3，a?b?7，则向量a与向量b的夹角为___________；

?x?y?5?0,15、若x,y满足不等式组??2x?y?2?0,，且z?2x?3y的最小值为?4，那么实数a的值为_______；

??x?y?a?0,16、对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：

① 若f(x)是奇函数，则f(x?1)的图象关于点A（1，0）对称； ② 若函数f(x?1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)为偶函数； ③ 若对x?R，有f(x)?f(2?x)，则函数f(x)关于直线x=1对称；

④ 若对x?R，有f(x?1)??1f(x),则f(x)的周期为4。

其中正确命题的序号是 .

2

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三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. （17）（本题满分12分）

已知向量??a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2).

（Ⅰ）若a?b，求tan?的值；

（Ⅱ）若??|a|?|b|,0????,求?的值。

（18）（本题满分12分）

一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面．． 上的数字分别为x1、x2，记???x1?3?2??x2?3?2.

（1）分别求出?取得最大值和最小值时的概率；

（2）求?的分布列及数学期望.

（19）（本题满分12分）

如图，三棱锥P—ABC中， PC?平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点， 且CD?平面PAB． P (1) 求证：AB?平面PCB；

D (2) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

B（3）求二面角C-PA-B的大小．

CA

3

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20、(本小题满分12分)

已知函数f?x??mx?nx2（m,n?R）在x?2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x?y?0平行。

(Ⅰ)求m，n的值；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间。

（21）（本题满分12分）

已知{an}是公比为q的等比数列（q?1），且a1,a3,a2成等差数列。 （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{bn}是以1为首项，2q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n?2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

（22）（本题满分14分）

qx?2lnx，且f(e)?qe?pe?2，其中e是自然对数的底数.

设函数f(x)?px?（1）求p与q的关系；

（2）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （3）设g(x)?

2ex，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数p的取值范围.

4

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理科数学参考答案及评分意见

一、 选择题(每小题5分，共60分)

1、(A)；2、(B)；3、(C)；4、(A)；5、(C)；6、(B)； 7、(D)；8、(B)；9、(C)；10、(A)；11、(B)；12、(D)； 二、填空题（每小题3分，4小题，共计16分） 13、160； 14、

?； 15、?132； 16、①②③；

三、解答题（6小题，共74分） 17、（1）

2；（2）

?或

3?

32418、（Ⅰ）掷出点数x可能是：1、2、3、4.

则x?3分别得：?2、?1、0、1，于是?x?3?2的所有取值分别为：0、1、4.

因此?的所有取值为：0、1、2、4、5、8.

??????2分

当x221?x2?1时，???x???x?8??1?1?11?32?3?可取得最大值8，P??4416?????4分 当x时，???x3?2??x22?3??0??1?1?11?x2?31?可取得最小值0，P??4416?????6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知?的所有取值为：0、1、2、4、5、8.

且P???0??P???8??1?4?2P16；P???1?16；P????416；???4??2P16；???5??416.

所以?的分布列为：

? 0 1 2 4 5 8 P 1 1 1 1 1 1 16448416 ???????10分

即?的期望E??0?1?1?1?2?1?4?1?5?1?8?1?316448416.

???????12分

19、解法一：（1） ∵PC?平面ABC，AB?平面ABC，

P∴PC?AB．??????????1分 ∵CD?平面PAB，AB?平面PAB， DE∴CD?AB．??????????3分 B又PC?CD?C，

CA∴AB?平面PCB． ??????????4分

F（2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF． 则?PAF 为异面直线PA与BC所成的角．???5分 由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

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∴CF?AF．

由三垂线定理，得PF?AF． 则AF=CF=2，PF=PC2?CF 2?6， 在Rt?PFA中， tan∠PAF=

PF?6AF=3，

2∴异面直线PA与BC所成的角为

?．?????????????7分

3（3）取AP的中点E，连结CE、DE． ∵PC=AC=2，∴CE ?PA，CE=2． ∵CD?平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得 DE ?PA．

∴?CED为二面角C-PA-B的平面角．?????????????9分 由（1）AB?平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=2． 在Rt?PCB中，PB=PC2?BC2?6，

CD?PC?BC?2?2?2PB．

632在Rt?CDE中， sin∠CED=

CD?3?6CE

23．∴二面角C-PA-B的大小为arcsin

6．??????12分

3Pz解法二：（1）同解法一．

（2）由(1)知AB?平面PCB，∵PC=AC=2， D又∵AB=BC，可求得BC=2． B以B为原点，如图建立坐标系．

CAxy则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0）， C（2，０，0），P（2，０，2）．

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AP?(2,?2,2)，BC?(2,0,0)．???????5分 则AP?BC?2?2+0+0=2．

cos?AP,BC??AP?BC=2=

1．

AP?BC22?22 ∴异面直线AP与BC所成的角为

?．?????????7分

3（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

AB?(0,?2,0)，AP?(2,?2,2)，

?则?AB?m?0,?? 即??2y?0,?

??AP?m?0.??2x?2y?2z?0.解得?y?0,? 令z= -1, 得 m= (

2，0，-1)．

?x??2z 设平面PAC的法向量为n=(x',y',z')．

PC?(0,0,-2)，AC?(2,?2,0)，

? 则?PC?n?0,???2z'?0,? 即?

??AC?n?0.??2x'?2y'?0.'解得??z?0,? 令x'=1, 得 n= (1，1，0)．???????????9分??x'?y'

cos?m,n??m?n2．

mn=

?33?23 ∴二面角C-PA-B的大小为arccos3．????????????12分

3220、（Ⅰ）f/(x)?mx?2x(mx?n)mx?2nx4????????????2分x3?

?f?x??mx?nx2（m,n?R）在x?2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x?y?0平行?2m??f/?2n?0?(2)?0??8?f/即(1)??3???m?2n??3?1???????????5分解得：?m??3??n?3

7

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???????????6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?3x?6x3/3x?6x3

令?0解得x?2或x?0

?f(x)在(2,??)为增函数，在(??,0)为增函数3x?6x3???????????9分令?0解得0?x?2

?f(x)在(0,2)为减函数???????????12分

221（Ⅰ）由题设2a3?a1?a2,即2a1q?a1?a1q,

?a1?0,?2q?q?1?0.???????????3分

?q?1或q??1.又?q?1?q??1222，

???????????5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知q??n(n?1)212,则bn?1?(n?1)(?1)??n?2 ?n2?Sn?n?(?1)??3n2.

当n?2时,Sn?bn?Sn?1??(n?1)(n?4)2,???????????9分

故对于n?N?,当n?2或3时,Sn?bn;当n?4时,Sn?bn;当n?5时,Sn?bn.

???????????12分

qepe

?2lne?qe??2 ????1分

22、解：（1）由题意得f(e)?pe? ?(p?q)(e?而e?1e1e)?0

?0，所以p、q的关系为p?q ????3分

qx?2lnx?px?2（2）由（1）知f(x)?px?px2px?2lnx，

f(x)?p?'?2x?px?2x?px2 ????4分

令h(x)?px?2x?p，要使f(x)在其定义域(0,??)内是单调函数，只需h(x)在(0,??)内满足：

h(x)?0或h(x)?0恒成立. ????5分

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①当p?0时，h(x)??2x，因为x＞0，所以h(x)＜0，f'(x)??2xx2＜0，

∴f(x)在(0,??)内是单调递减函数，即p?0适合题意；????6分

1p1p②当p＞0时，h(x)?px?2x?p，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为x?2?(0,??)，∴h(x)mni?p?，

只需p?1p?0，即p?1时h(x)?0,f(x)?0，

'∴f(x)在(0,??)内为单调递增函数，故p?1适合题意. ????7分

1p③当p＜0时，h(x)?px?2x?p，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为x?2?(0,??)，只要h(0)?0，

即p?0时，h(x)?0在(0,??)恒成立，故p＜0适合题意. 综上所述，p的取值范围为p?1或p?0. ????????9分 （3）∵g(x)?2ex在?1,e?上是减函数，

∴x?e时，g(x)min?2；x?1时，g(x)max?2e，即g(x)??2,2e?，?10分

①当p?0时，由（2）知f(x)在?1,e?上递减?f(x)max?f(1)?0＜2，不合题意；????11分 ②当0＜p＜1时，由x??1,e??x?1x?0，

又由（2）知当p?1时，f(x)在?1,e?上是增函数， ∴f(x)?p(x?1x)?2lnx?x?1x?2lnx?e?1e?2lne?e?1e?2＜2，不合题意；?????12分

③当p?1时，由（2）知f(x)在?1,e?上是增函数，f(1)?0＜2，又g(x)在?1,e?上是减函数， 故只需f(x)max＞g(x)min，x??1,e? ，而f(x)max?f(e)?p(e?即p(e?1e)?2lne＞2， 解得p＞

4ee?121e)?2lne，g(x)min?2，

4ee?12 ，

综上，p的取值范围是(

，??). ????????14分

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