福建省连城县第一中学2021届高三上学期月考(一)数学试题含答案

连城一中2020—2021学年上期高三年级月考一数学试卷

满分150分 考试时间120分钟 命题人： 审题人：

第Ⅰ卷（非选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1． 已知集合

,{}=||1|1B x x -<,则A ∩B=( ) A. B. C. D.

2. “2a >2b ”是“ln a >ln b ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3. 函数2()21f x mx x =-+的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )

A.()0,1

B.(1,)+∞

C.[1,)+∞

D. [0,)+∞

4. 已知函数2211()1

x x f x x ax x ?+

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )

A ．13

B ．12

C ．23

D ．1 6. 函数1()sin(ln )1

x f x x -=+的图象大致为（ ） {}|12x x <<{}|02x x <<{}|01x x <<{}|2x x <

7. 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34

，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )

A ． 1

B ．2

C ．3

D ． 4 8．已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 下列命题中是真命题的有( )

A.?x ∈R ，2x －1＞0

B.?x ∈N *，(x －1)2＞0

C.已知，，则

D.命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则

命题p 可写为 ?x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1

10. 若0＜a ＜1，b ＞c ＞1，则( )

A.? ??

??b c a ＞1 B.c －a b －a ＞c b C.c a －1＜b a －1 D.log c a ＜log b a

41

4=a 31

3=b 2

5ln =c c a b >>x y

-1 0

1 A x y 1 0

2 -2 -1 x y 1 2 -2 -1 0 C x y 1 -2 -1 0 2

11. 已知函数f (x )={x 2+4x ?3,x ≤1lnx +2,x >1

，则函数g (x )=f (x )?ax ?1 （a >0）的零点个数可能为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

12. 已知函数满足，且的图象交点为112288(,),(,),,(,),x y x y x y 则集合128128{,y }x x x y y ++???+++???+元素有 A.16

B.24

C.32

D.48

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥??-≤??-+≥?

，则3z x y =+的最大值等于▲

14. 已知x >0,y >0，且x +2y =1，则1x +12y 的最小值是 ▲ .

15. 已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝2，则当f (a )＝2f (a —3)时，实数a 等于___ ▲____.

16. 已知函数2

()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围是 ▲ ；若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是 ▲ .

（第一个空2分，第二个空3分）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）设条件p ：实数x 满足22430x ax a -+<, (0)a >

条件q ：实数x 满足2280x x +->; 已知q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。 )(x f 2

13)(,6)2()-2(--==++x x x g x f x f )()(x g x f 与

18（12分）函数f (x )＝

m ·2x ＋m －2

2x ＋1 为R 上的奇函数，

（1）求m 的值

（2）若f (x )＝k 在(－∞，0)上有解，求实数k 的取值范围．

19.（12分）设()()()log 1log 3a a f x x x =++-(01a a >≠,)，且()12f =.

(1)求a 的值及()f x 的定义域与单调递增区间。

(2)求()f x 在区间30,2??????上的最大值.

20．（12分）定义域在R 的单调函数()f x 满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈，且(3)6f =， （I ）求(0),(1)f f ；

（II ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；

（III ）若对于任意31

[]2

,x ∈都有2()(21)0f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围。

21.（12分）2020年9月3日，工业和信息化部消费品工业司发布2020年1－7月全国家用电冰箱产量4691.3万台，同比下降2.0%；房间空气调节器产量12353.0万台，同比下降14.0%；家用洗衣机产量3984.9万台，同比下降2.6%。为此，一公司拟定在2020年双11淘宝购物节期间举行房间空气调节器的促销活动，经测算该产品的年销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足P =30?200x+10(其中,为正常数).已知2020年生产该产品还需投入成本100+2P 万元

（不含促销费用），产品的销售价格定为4+

200

P 元/件.

（Ⅰ）试将2020年该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； （Ⅱ）问：2020年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

22.已知函数2,(0,1)()ln 2,[1,)

x mx xe x f x x x x -+?∈?=?-+∈+∞??，其中 2.71828e =是自然对数的底数，m ∈R ．

（1）若函数()f x 在()0,1上单调递增，求m 的取值范围； （2）对任意的1a b <<，求证：()()1(1)

f b f a b a a a -<-+

连城一中2020—2021学年上期高三年级月考一数学试卷

参考答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

8．D 【解析】因为函数在

内所有的零点之和，就是f(x)=2在

内所有的根之和，也就是y =f(x),y =2交点横坐标之和，画出y =f(x),y =2函数图象，如图，由图知x 1+x 2=2,x 3+

x 4=10，所以，x 1+x 2+x 3+x 4=

12，故选D ．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

12.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 8 14. 4 15.4 16. ； . 16. 解析：由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得. 若不等式有解，所以

因为 . 设， ，故在上单调递增，故， 所以，所以的取值范围是

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解：设22{430(0)}P x x ax a a =-+<>，可解得：(,3)P a a =，

设可解得：，

∵q 是的必要不充分条件

108

a <<(,112ln 2)-∞-+221()ax x f x x

-+='0x >2()ln f x ax x x =-+1x 2x 2210ax x -+=1212180,10,210,2a x x a x x a ???=->??+=>???=>??

108a <<()()()12122f x f x x x t +>++()()()1212max 2t f x f x x x <+-+????()()()12122f x f x x x +-+()22

11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ??=+--++??51ln(2)4a a

=---51()1ln(2)048h a a a a ??=---<< ???254()04a h a a -'=>()h a 10,8?? ???1()112ln 28h a h ??<=-+ ???

112ln 2t <-+t (,112ln 2)-∞-+{}2|280Q x x x =+->()(),42,Q =-∞-+∞p

0,2a a >∴≥。

18解：令x ＝0，得f (0)＝0，即m ＋m －2＝0，∴m ＝1，经检验，符合∴m ＝1，

k ＝f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1

.…………………………………………………………….6分 ∵x ∈(－∞，0)，∴1<2x ＋1<2.

∴1>

12x ＋1>12，∴－1

由得，所以函数的定义域为.单增区间（-1,1） (2)，

所以当时，是增函数；当时，是减函数， 故函数在上的最大值是. 20. 解： (I)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，即f(y)=f(0)+f(y)，∴f(0)=0，

∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)

∴结合f(3)=6，得3f(1)=6，可得f(1)=2；

(II)取y=?x ，得f(0)=f[x+(?x)]=f(x)+f(?x)=0，移项得f(?x)=?f(x)，

∴函数f(x)是奇函数； (III)∵f(x)是奇函数，且f(kx 2)+f(2x?1)<0在x ∈[,3]上恒成立， ∴f(kx 2)≠,2a =1030

x x +>??->?13x -<<()f x (13)-,()()()22log 1log 3f x x x =++-()()2log 13x x =+-????()22log 14x ??=--+??(]11

x ∈-,()f x )3(1x ∈,()f x ()f x 30,2??

????

()21log 42f ==12

12

∴kx 2<1?2x 在x ∈[,3]上恒成立。∴在x ∈[,3]上恒成立。令，由于?x ?3，∴.∴g(x)min =g(1)=?1.∴k

21解：（Ⅰ）由题意，得y=(4+

200P )P ?x ?(100+2P )=2P +100?x . ∵P =30?200x+10,将其代入上式并化简，得y =160?400x+10?x （）.

此即为所求产品的利润关于促销费用的函数关系式. ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得y =170?(

400x+10+x +10)≤170?40=130， 当且仅当400x+10=x +10，即x=10时，上式取等号. ……………………………7分

① 当a ≥10时, 促销费用需投入10万元，厂家的利润最大； ……………………8分

② 当0

22

400400(10)1(10)(10)x y x x -+'=-=++,由于，0

∴函数在

上单调递增， ∴当时,函数y =160?400

x+10?x 有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利

润最大.…11分

综上,当a ≥10时, 促销费用投入10万元，厂家的利润最大；

当a<10时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大. ……………………12分 22解：（1）当()0,1x ∈时，()2x

mx f x xe -+=， 此时()()()222'2221x mx x mx x mx f x x m e e x m e x x -+-+-+=+-+=-++，

函数()f x 在()0,1上单调递增，

则2210x mx -++≥在()0,1上恒成立，

222001021110

m m ?-?+?+≥∴?-?+?+≥?， 解得m 1≥；

122112k x x ????<- ? ?????

12()22111211g x x x x ??????=-=-- ? ? ???????

121123x ≤≤

（2）证明：依题意知，当[1,)x ∈+∞时，()ln 2f x x x =-+， 所以ln

()()ln ln ln ln 1111b

f b f a b b a a b a a b b a b a b a a

a ---+-==-=?----- 记()[)ln 1,1,g x x x x =--∈+∞，

因为()'1110x g x x x

-=-=≥， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，则()()10g x g ≥=， 从而[

)ln 1,1,x x x ≤-∈+∞，()* 又因为1a b <<，所以1b a >，由()*式，知ln 1b b a a <-，即ln

11b

a b a <-， 于是()()2ln

1111111111b

a a a

b a a a a a a a a --?-<-==<++-， 故当1a b <<时，不等式()()1(1)

f b f a b a a a -<-+成立.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1q6q.html