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第七章 图论

1设P={u,v,w,x,y},画出图G={P，L}，其中 （1）L={uv,ux,uw,vy,xy};

(2)L={uv,vw,wx,wy,xy},并指出各个点的度。 解 对应于（1）的图如图7—1所示。

其中各点的度为：dG (u)=3, dG (x)=2, dG (y)=2, dG (v)=2, dG (w)=1.

对应于（2）的图如7—2所示。各点的度为：dG (u)=1, dG (x)=2, dG (y)=2, dG (v)=2, dG (w)=3。

U V U V X Y Y

W W

X

图7—1

2 设图G有5个点，4条边，在同构的意义下，画出图G的所有可能形式。

解 图7—3是图G的所有可能形式。

1

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g)

图7—2 图7--3

3 图G=（P，L）如图7—4所示，试画出G的三个不同支撑子图。

图7--4

解 图7—5（a）,(b),(c)就是图G的三个支撑子图。

（a） (b) (c) 图7--5

4 是否可以画一个图，使各点的度与下面给出的序列一致，如可能，画出一个符合条件的

2

图，如不可能，说明原因。 （1）3，3，3，3，3，3； （2）3，4，7，7，7，7； （3）1，2，3，4，5，5；

解 （1）可以，如图7—6所示：

图7—6

（2）不可能。在六个顶点中，奇数度点为5个，与定理2相矛盾。

（3）不可能。考虑两个度为5的顶点，设其为u和v，因为只有6个顶点，因此u和v除自身之外的个顶点皆相连。而除u，v之外的4个顶点中的每一个都至少是两条边的端点，即这4个顶点的度都至少是非，这与其中某一个顶点的度为1矛盾。

/ 2

5 设G是有限图，M，A分别是G的关联矩阵和相邻矩阵，证明：M*M和A 的对角线

上的元素恰好是G中所有点的度。

证 设L（G），P（G）的元素分别为n,m. 令B= M*M/ ，由矩阵的乘法定义知

nbii=

j?1/

aij * aji

i=1,2,3---------m

因为M/ 是M的转置矩阵，所以 aij= a/ji，，又因为aij非0即1，所以aij2 = aij 故

n得bii=

?j?1 aij * aji=

/

n?j?1 aij

2

n=?j?1 aij

即bii等于M的第I 行中所有1的个数，也就是bii等于M的第I行所对应的点

的度。故M*M/ 的对角线上的元素是G中所有点的度。

令C=A则Cii=

2

m?aji?ajij?1 I=1,2,------,m

mm因为A 是对称矩阵，所以aij=aji,aij2=aij,所以cii=?j?1aij?aji=

?j?1 aij=

2

m?j?1aij.

即cii等于第I行所有1的个数，即第I行所对应点的度，（I=1，2，-------M）。故A2的

对角线上的元素是G中所有点的度。 6 设G 是有限图，P（G），L（G）的元素分别为m,n,＆ △分别是G中点的最小度现最

3

大度。证明：＆≤2n／m≤△

证 因为 ＆ △分别是G中点的最小度和最大度，因此有m*＆≤ ≤m*△ 又因为 =2n，所以m*＆≤ 2n ≤m*△ 即 ＆≤2n／m≤△ 证毕

7 证明连通图中两条最长年简单路必有公共点。 证 用反证法。若不然，设两条最长路为l1=(u,-----u/),l2=(v----v/).因为图是连通的，故从u 到 v有路，设此路最后一次离开l1的点是w ,第一次进入l2的点是w，由题设可知，

/

w≠w,见图7—7：

L1 N’

L2 W’ V’

W

/

/

图7—7

取max{ (u,------,w),(w,-----, u/)}∪{(w,----,w/)}∪ max{ (v,-----, w/),( w/,-----, v/)便得到一条更长的简单路，与l1，l2是两条最长的简单路矛盾。因此，连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。

8 一公司在六个城市C1，C2，----，C6中每一个都有分公司，从CI到CJ的班机旅费由下列矩阵中第I行第J列的元素给出（∞表示没有直接班机）。 0 0 50 ∞ 40 25 10 50 0 15 20 ∞ 25 ∞ 15 0 10 20 ∞ 40 20 10 0 10 25 25 ∞ 20 10 0 55 10 25 ∞ 25 55 0

公司所关心的是计算两城市间的费用最低的路线，对上述六城市中任意一对城市，计算两城市间费用 最低的路线。

解 首先，求C1到C2，----，C6的最短路线。

（1） 从C2，---，C6，中找出与C1距离最近的一个，为C6，于是l（C6）=10，最短

路线C1→C6。 （2） 从d（C1，Ci），l(C6)+d(C6,Ci)中选取最小者，其中i2,3,4,5,可得dC1，C5），于

是lC5）=25，最短路线C1→C5。 （3） 类似于步骤（2），依次可得：l（C4）=15，最短路线C1→C6→C4； l（C2）=35，最短路线C1→C6→C2； l（C3）=45，最短路线C1→C5→C3

4

对于城市C2，----，C6，可以用类似于C1的方法得到最短路线 。

9 设G是图，＆是G 中最小度，K 是一个正整数，若k≤＆，试证明G 中有一

条长为k的简单路。

证明 不妨设＆≥0，当＆=0时，命题显然成立。以下设＆≠0，任取一点v0,显然d(v0)≥＆, 故可找到一相邻点v1。

设已找到vi, i＜＆. 由 d(vi)≥＆, 看vi 的相邻点，至少有一个不同于v0，v1，---，是vi –1取这样一个点设为vi+1；如此下去可一直找到v﹠，而（v0，v1，---，v﹠）正是

一条长为﹠的简单路。因此，若k≤＆,则必有一条长为k的简单路。

10 设G为图（可能无限），无回路，但若外加任意一边于G 后就形成一回路，试7证明G必为树。

证 按树的定义可知，只需证G为连通即可。任取不相领两点v,v1,由已知，加上边vv1后就形成一回路。于是去掉边vv1，从v到v1仍有路v,…,v1,即v,v1相连。由v,v1 的任意性可知G是连通的。因此，G必为树。 证毕。 11 在具有n个顶点的完全图kn中需删去多少条边才能得到树？

解 n个点的完全图kn中共有Cn2条边，而n个点中的树中共有n-1条边。因此需要 删除cn-(n-1)=.(n-1)(n-2)/2条边后方可得到树。

12 分别用三种不同的遍历方式写出图7-8中二叉树点的访问次序。 A

B C G D

E J

H I

K L

F

2

图7-8 解 先根次序：ABDEHKLCFGIJ; 中根次序：DBEKHLAFCIGJ; 后根次序：DKLHEBFIJGCA. 13 分别写出下列表达式的后缀表示： （1） （a+b）*c;

(2) ln(a+b)-c+e*f.

解 （1）首先将表达式化成二叉树如图7-9（a）,由此可知表达式的后缀表示为：ab+c*.

5

C C E F 1N A B

图7-9

（2）首先将表达式化为二叉树，如图7-9（b）,从而表达式的后缀表示为： ab+㏑c-ef*+.

14 设有5个城市v1,…,v5,任意两城市之间铁路造价如下（以百万元为单位）： W(v1,v2)=4, W(v1,v3)=7, W(v1,v4)=16, W(v1,v5)=10, W(v2,v3)=13, W(v2,v4)=8, W(v2,v5)=17, W(v3,v4 )=3, W(v3 ,v 5)=10, W(v 4,v 5)=12.

试求出连接5个城市而且造价最低的铁路网。

解 首先将本题用一权图来描述，于是求解此题便成为求权图中的最优支撑树问题。

按克鲁斯卡尔算法，图7-10中（b）～ (e) 就是求解最优支撑树的过程。

V1 7

4

V3 16 13 V2

10 8 10 17 3

V4 12 V5

（a）

V3 3 V4

(b)

6

V1 V1 V1 7 7 4

V3 V2 V1 V2 V3 V2

3 3 3 10

(c) (d) (e)

15 试用克鲁斯卡尔算法求图7-11所示权图中的最优支撑树。

1

7

3 4

9 2

5

5 6

8 7 3

图7-11

解 图7-12（a）～ (e) 表示图7-11的最优支撑树。

1

1

1 2

3

(a) (b) (c)

1

3

1

3

2

3

5

2

3

7

2

(d) (e) 16 举出满足下列要求的具有5个点的有向图： （1）G有根，但是 不是强连通的；

（2）G存在一棵有向支撑子树，并标出这棵有向树； （3）G 是强连通的（将 G漠视为于是强连通的），但 G无根。 解 （1）如图7-13（a）, A是根，但是不存在从 B到D 的有向路。 （2）如图7-13（b），图7-13（c）是7-13（b）的一棵有向支撑树。 （3）如图7-13（d）。

(a) (b) (c) (d)

17 设 G（P,A）是有向图，G中任意两个不同点之间至多有一条弧，G中没有指向自身的弧，若不考虑G中弧的方向，把弧看成边，则 G是连通的。问 G是否有根？若能肯定 G有根，试给出证明，否则举出反例。

解 回答是否定的。举例如图7-13（d），将此有向图漠视为图以后，它是连通的，但它却无根。

18 设G=(P,A)为有向图，若G与根r，且无有向回路，问G是否是有向树？ 解 回答是否定的，举反例如图7-13中（a）。

19 证明：若r是有向图G的根，则G必含有一个以r为根的有向支撑树。

G1 G 2

图7-14 证 用如下方法来构造的支撑树：

令G0={r}，设已得GK是有向树，做GK+1如下：

选取P(G)中的某顶点v，使得v∈P(Gk)。设从v到r的有向路进入Gk后第一个顶点v’，进入Gk前的最后一个顶点是v”，再在GK中加入弧v”v’，及顶点v”。

8

又归纳法可证，GK是有向树。

按如上做法便可得到G中以r为根的支撑树。 20 能否对图7-14的边指定方向，使其成为欧拉图？

解 G可以，如图7-15（a）所示，由于G1中的每一个点都是平衡点。

G2不可以，图7-15（b）中所有点的度都是3，因此不论怎样指定边的方向，G2中的每个点都不是平衡点。因此不可能适当地指定G2中各边的方向，使其成欧拉图。

(a) (b) 图7-15

21 下列图形是否可以一笔画出？如可以的话画出欧拉图，否则说明原因。

G1 G 2 图7-16

解 不可以。因为中有8个度为奇数的顶点。

可以。按照边上的标号依次读下来，便可以一笔画出。见图7-17

9

1

5 6 16

4

12 13

11

10 9 14

7

2

8

3

图7-17

21 举出满足下列要求的具有5个点的图。

（1）没有哈密顿回路，也不能适当指定各边的方向使其具有欧拉路； （2）有哈密顿回路，但是不能适当指定各边的方向使其具有欧拉路； （3）没有哈密顿回路，但是能适当指定各边的方向使其具有欧拉路； （4）有哈密顿回路，也能适当指定各边的方向使其具有欧拉路。 解 见图7-18（a）～（d），它们分别满足条件（1）～（4）

（a） （b）

（c） （d）

图7-8

23 使用平面图定义及Jordan曲线性质证明K3..3是非平面图。

证 用反证法。K3..3如图7-19（a）所示，假设可以把K3..3画成一个平面图。

10

回路v1v6v3v4v1构成一个Jorand曲线，设其为C，如图7-19（b），顶点v2或在ext（C）中，不妨假定v2∈int（C），于是边v2v4，v2v6 将int（C）分成两个区域。设C1=v1v4v2v6v1，G2=v4v2v6v3v4,v5必然位于ext（C），int（C1），int（C2）三个区域之一。 (1) 若v5∈int（C），则v2v5与C相交，与K3..3是平面图矛盾。 (2) 若v5∈int（C1），则v3v5与C1相交，也矛盾。 (3) 若v5∈int（C2），则v1v5与C2相交，同样产生矛盾。 同理可证，当v2∈ext（C）时，也产生矛盾。 故假设不成立，即K3..3不是平面图。

V1

V2

V1

V6

Int(C1)

Ext(C)

V4

V5

V6 V4

（a） (b)

图7-19

24 设G是连通平面图，最短回路长度是k（k≥3），边数为u，顶点数为v，证明 u≤k(v-2)/(k-2) 证 因为最短回路长度是，而平面图的每一个面是由一个回路所围起来的，因此对于任一个面都有，于是有

∑f∈F(G)dG(f)≥k＆ 其中＆是图G的面数。

再由∑f∈F(G)dG(f)=2u

可知2u≥k＆，即2u/k≥＆，根据欧拉公式可得 v-u+2u/k≥2

由此可以推出u≤k(v-2)/(k-2).

25 利用上题结果说明下面各图不是平面图。

V3

11

（a） （b） 图7-20

解 图7-20（）中：边数u=9，顶点数v=6，最短路长k=4，因为

u=9≦k（v-2）/（k-2）=8 于是，由上题结果可知7-20（a）不是平面图。

图7-20（）中：边数u=15，顶点数v=10，最短路长k=5，因为 u =15≦k（v-2）/（k-2）=40/3 因此7-20（b）不是平面图。

26 若是平面图，并且的所有面全由长度为3的回路围成，证明：u=3v-6。

证 因为中所有面由长度为3的回路围成，因此对任意f∈F(G)，都有dG(f)=3，从而∑f∈其中﹠为F(G)dG(f)=3﹠。代入欧拉公式，得

v-u+2u/3=2

即 u=3v-6 证毕。

G的面数。再由∑f∈F(G)dG(f)=2u，其中u为G的边数，可得3﹠=2u，

12

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