空间解析几何复习资料含答案

空间解析几何练习题

1. 求点M(a,2. 设 A( 3,3. 证明 A(1,

b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点 对称点的坐标． x,2)与B(1, 2,4)两点间的距离为29，试求x．

2,3) B(3,1,5) C(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．

4. 设 ABC的三边 ， ， ，三边的中点依次为D，E，F，试用向量表示 ，，，并证明： ． 5. 已知：a i j 2k，b 3i j k求2a 3b，2a 3b．

6. 已知：向量与x轴，y轴间的夹角分别为 60， 1200求该向量与z轴间的夹角 ． 7. 设向量的模是5，它与x轴的夹角为

，求向量在x轴上的投影． 4

3,5)，C(3, 1, 2)计算：2 3，

8. 已知：空间中的三点A(0, 1,2)，B( 1,

4．

9. 设a 2,10. 设： 2,

0, 1 ，b 1, 2, 2 试求a b，2a 5b，3a b． 2,1 ，试求与a同方向的单位向量．

11. 设： 3 5 2， 2 4 7， 5 4， 4 3 试求（1）在y轴上的投影；（2）在x轴和z轴上的分向量；（3

． 12. 证明：( ) ( ) ． 13. 设：a 3,

2

2

0, 1 ，b 2, 1,3 求 ，( )．

14. 设a 2i xj k，b 3i j 2k且a b求x 15. 设 0,1,

2 ， 2, 1,1 求与和都垂直的单位向量．

0)，B( 2,1,3)，C(2, 1,2)求 ABC的面积．

16. 已知：空间中的三点A(1,1,

17. （1）设∥求 （2

1求

18.

3 5，试确定常数k使 k， k相互垂直．

19. 设向量与互相垂直，(a c)

3

，(b c)

6

1

2

3 ．

20. 设： 3 5， 2 3求a b

21. 设：a 3i 6j k，b i 4j 5k求（1）a a；（2）(3 2) ( 3)；（3）a与b的夹角．

22. 设：( )

23. 设：a 1,

6

1

．

（1）a b；（2）a b；（3）cos( )． 1,2 ， 1, 2,1 ，试求：

24.

3

26 72，求a b．

25. 设a与b相互垂直，

3 4，试求（1）(a b) (a b)；（2）(3a b) (a 2b)． 26. 设：a b c 0证明：a b b c c a

27. 已知：求（1）（2）（3）4） 3 2 ， 2，a b；a i b．( 2) (2 3)；( ) 28. 求与a 2,

2,1 b 8, 10, 6 都垂直的单位向量．

29. 已知：a 3, 6, 1 ，b 1,4, 5 ，c 3, 4,12 求(a c)b (a b)c在向量上的投影． 30. 设：a b c d，a c b d且b c，a d证明a d与b c必共线． 31. 设：a 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求非零向量a与b的夹角．

32. 设： 2, 3,6 1,2, 2 向量

在向量与

342，求向量的坐标．

33.

4 3，(a b) 34. 求过点P0(7,35. 过点P0(1,36. 过点M(1,37. 过点A(3,

6

求以 2和 3为边的平行四边形面积．

2, 1)，且以 2, 4,3 为法向量的平面方程．

0, 1)且平行于平面x y 3z 5的平面方程．

3,2)且垂直于过点A(2,2, 1)与B(3,2,1)的平面方程． 1,2)，B(4, 1, 1)，C(2,0,2)的平面方程．

38. 过点P0(2,1,1)且平行于向量 2,1,1 和 3, 2,3 的平面方程．

39. 过点Mo（1， 1，1）且垂直于平面x y z 1 0及2x y z 1 0的平面方程．

40. 将平面方程 2x 3y z 18 0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距． 41. 建立下列平面方程

（1）过点（ 3，1， 2）及z 轴；

（2）过点A（ 3，1， 2）和B（3，0，5）且平行于x 轴； （3）平行于x y 面，且过点A（3，1， 5）；

（4）过点P1（1， 5，1）和P2（3，2， 2）且垂直于x z 面． 42. 求下列各对平面间的夹角

（1）2x y z 6， x y 2z 3；（2）3x 4y 5z 9 0，2x 6y 6z 7 0． 43. 求下列直线方程

（1）过点（2， 1， 3）且平行于向量 3， 2，1 ； （2）过点Mo(3，4， 2)且平行z 轴； （3）过点M1（1，2，3）和M2（1，0，4）； （4）过原点，且与平面3x y 2z 6 0垂直． 44. 将下列直线方程化为标准方程

x 2y 3z 4 0 x 2y 2 3x 2z 1 0 （1） ； （2） ； （3）

3x 2y 4z 8 0y z 4y z 0

45. 将下列直线方程化成参数式方程

x 6z 1

x 5y 2z 1 0

（1） ； （2） 25．

5y z 2 y 2 0

46. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x y 2z 1 0及x 2y z 1 0 的直线方程．

x 4y 3z

的平面方程． 521

x 1y 1z 1x 1y 1z 1

48. 求通过两直线 与 的平面方程． 1 12 121

47. 求过点（3，1， 2）且通过直线 64．求下列各对直线的夹角 （1）

x 1yz 4x 6y 2z 3 ，； 1 2751 1

（2）

5x 3y 3z 9 0 2x 2y z 23 0

， ．

3x 2y z 1 0 3x 8y z 18 0

x 7y z 0

相互平行．

x y z 2 0

x 1yz 1

49. 证明直线 与 4 13

50. 设直线 lx 1y 3z 4

求n为何值时,直线l 与平面2x y z 5 0 平行？ 1 2n

51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x y 5z 7 0的夹角为52. 设直线l在平面 :x y z 1 0 内，通过直线l1: 与平面 的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程． 53. 求过点（1，2，1）而且与直线

． 3

y z 1 0

x 2z 0

x 2y z 1 0

与

x y z 1 0 2x y z 0

平行的平面方程．

x y z 0

54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z 4 0的距离，求它的轨迹方程． 55. 直线l:

2x y 1 0

与平面 :x 2y z 1 0 是否平行？若不平行，求直线l与平面

3x z 2 0

的交点，若平行，求直线l与平面 的距离．

x 3 4t

x 1yz 5

56. 设直线l经过两直线l1:，l2: y 21 5t 的交点，而且与直线l1与l2都 18 3 z 11 10t

垂直，求直线l的方程． 57. 已知直线：l1:

x y z 1 0

1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相交，求直线l的方程． 及点 p(3，

2x y z 4 0

58. 方程：x2 y2 z2 4x 2y 2z 19 0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径． 59. 判断方程：x2 y2 z2 2x 6y 4z 11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．

z2 5x

60. 将曲线： 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

y 0 4x2 9y2 36

61. 将曲线： 绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

z 0

62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的

x2y2z2y22

x z2 2； （1 10； （2） （3） （4） x2 y2 z2 1；(z a)2 x2 y2．

4343

63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形

x2y2z222

1． 1； （3）z 4x； （4）4y （1）3x 4y 1； （2） 323

2

2

自测题 (A)

(一) 选择题

1．点M(4, 1,5)到 x y 坐标面的距离为 （ ） A．5 B．4 C．1 D．42

2．点A(2, 1,3)关于y z 坐标面的对称点坐标 （ ） A．(2, 1, 3) B．( 2, 1,3) C．(2,1, 3) D．( 2,1, 3)

3．已知向量a 3,5, 1 ,b 2,2,2 ,c 4, 1, 3 ，则2a 3b 4c （ ） A． 20,0,16 B． 5,4, 20 C． 16,0, 20 D． 20,0,16 4．设向量 4 2 4， 6 3 2，则(3 2)( 3)=（ ） A．20 B． 16 C．32 D． 32 5．已知：A(1,2,3),B(5, 1,7),C(1,1,1),D(3,3,2)，则prj A．4 B．1 C．

CD

AB= （ ）

1

D．2 2

6．设 2 2 ，则( ) ( ) （ ） A． i 3j 5k B． 2i 6j 10k C．2 6 10 D．3i 4j 5k 7．设平面方程为x y 0，则其位置（ ）

A．平行于x 轴 B．平行于y 轴 C．平行于z 轴 D．过z 轴． 8．平面x 2y 7z 3 0与平面3x 5y z 1 0 的位置关系（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 9．直线

x 3y 4z

与平面4x 2y 2z 3 0的位置关系（ ） 2 73

A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 10．设点A(0, 1,0)到直线

y 1 0

的距离为（ ）

x 2z 7 0

C．

A．5 B． (二) 填空题

16

11 D． 58

1．设A( 3,x,2)与B(1， 2，4)29，则x _________． 2．设 3 2， 2 ，则2 3 _______________． 3．当m=_____________时，2 3 5与3 m 2互相垂直．

rj4．设 2 ， 2 2， 3 4 2，则p

c

(a b)=．

4． 设 2 ， 2 3，则(2 ) ( 2)=_________． 5． 与A(3,2, 1)和B(4, 3,0)等距离的点的轨迹方程为_______________．

（5，1，7）（4，0， 2）6． 过点，且平行于z 轴的平面方程_______________．

7． 设平面：x y z 1 0,与2x 2y 2z 3 0 平行，则它们之间的距离_________．

（2， 8，3）8． 过点且垂直平面x 2y 3z 2 0 直线方程为______________．

10．曲面方程为：x2 y2 4z2 4，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． (三) 解答题

1．求平行于a 6,3, 2 的单位向量．

2．已知作用于一点的三个力F1 2,3, 4 ,F2 1,2,3 ,F3 3, 4,5 求合力的大小与方向．

3． 如果 2, 1,1 ， 1,2, 1 求在上的投影．

4． 用向量方法，求顶点在(2, 1,1),(1, 3, 5),(3, 4, 4)的三角形的三个内角． 5． 设 2， 2 ， 2 2，试将下列各式用,,表示． （1） (a b) c； （2）(a b) (a c)．

6． 求经过点（1,2,0）且通过z 轴的平面方程．

7． 在平面x y 2z 0上找一点p，使它与点(2,1,5),(4, 3,1)及( 2, 1,3)之间的距离相等． 8． 求过 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 的圆的方程，并求该圆在坐标平面xoy上的投影曲线方程． 9．求过点（1,2,1）且同时平行2x 3y z 1 0和3x y z 5 0两平面的直线方程． 10．方程：2x y z 1表示什么图形？

2

2

2

自测题（B）

(一) 选择题

1．设 2, 3,1 , 1, 1,3 , 1, 2,0 ，则( ) （ ） A．8 B．10 C． 0, 1, 1 D． 2,1,21

2．设 1, 1,2 , 2, 2,2 ，则同时垂直于a和b的单位向量（ ） A． {

12

,

1

11

,0} B． {,,0} C． {2,2,0} D． {2,2,0}

222

3

．若a 6i 3j 2k，b//a 14，则b （ ）

A． (12i 6j 4k) B． (12i 6j) C． (12i 4k) D． (6j 4k) 4．若M1(1,1,1),M2(2,2,1),M3(2,1,2)，则M1M2M1M3 （ ） A．

B． C． D． 6234

5．过M1(2， 1，4),M2( 1，3， 2)和M3(0，2，3)，的平面方程（ ） A．14x 9y z 15 0 B．2x 7y 8z 6 0 C．14x 9y z 15 0 D．14x 9y z 15 0 6．求平面x y 2z 6 0 与平面2x y z 5 0的夹角（ ） A．

B． C． D． 2634

A1x B1y C1z D1 0

各系数满足（ ）条件，使它与y 轴相交．

A2x B2y C2z D2 0

B1D1

C．C1 C2 0 D．D1 D2 0

B2D2

7．直线

A．A1 A2 0 B．

8．设点Mo(3, 1,2)，直线l

x y z 1 0

，则MO到l的距离为（ ）

2x y z 4 0

A．

32332

B． C． D． 2542

x 2y 3z 4

与平面2x y z 6夹角为（ ） 112

5

A．30o B．60o C．90o D．arcsin

6

9．直线

10．过点( 1, 2, 5)且和三个坐标平面都相切的球面方程（ ）

A．(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 52 B．(x 5)2 (y 5)2 (z 5)2 52 C．(x 2)2 (y 2)2 (z 2)2 52 D．(x 5)2 (y 5)2 (z 5)2 52 (二) 填空题

1．设 2 3， 2 ， ，则 与是否平行__________． 2．设 {3,5,8}， {2, 4, 7}， {5,1, 4}，则4 3 在x轴上的投影_________________．

3．化简：( ) ( ) ( ) __________________． 4．直线 l:

5x 3y 2z 5 0

和平面 :4x 3y 7z 7 0的___________位置关系．

2x y z 1 0

5．过直线

4x y z 1 0

且与x 轴平行的平面方程___________________．

x 5y z 2 0

6．原点(0,0,0)到平面2x y kz 6，的距离为2，则k _________________．

7．与平面2x y 2z 5 0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．

8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：16x2 9y2 9z2 25 则曲面名称为________________．

22

z 2 x y

10．曲线 在y z 面上的投影方程______________． 22

z (x 1) (y 1)

(三) 解答题

1．设 {1,1,1}, {0,1,1}, {1,1,0}并令 x y z（x ,y ,z 为数量） 求 （1）； （2）当 {1,2,3}时，x,y,z． 2．求平行于a {6,3, 2}的单位向量．

3．确定k值，使三个平面：kx 3y z 2,3x 2y 4z 1,x 8y 2z 3通过同一条直线． 4．已知两个不平行的向量与，

2

1 4，设c 2(a b) 3(bXa)，

求（1） ( )； （2

； （3）与的夹角余弦． 5．求以向量i j,j k,k i为棱的平行六面体的体积． 6．垂直平分连接A(4,3, 1),B(2,5,3)的线段的平面方程．

7．求与平面2x 6y 3z 4平行平面，使点(3,2,8)为这两个平面公垂线中点．

8．在平面x y 2z 0上找一点p使它与点(2,1,5),(4, 3,1)及( 2, 1,3)之间的距离相等． 9．方程：4x2 y2 8x 4y 4 0表示什么曲面？

x2 y2 z2 6x 4y 0

9． 方程组 图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与半径．

2x y 2z 1 0

参考答案 参考答案

练习题

1．（1）(a, b,c)； （2）(a, b, c)； （3）( a, b, c)．

2．x 1或x 5． 3．算出距离后，证明满足勾股定理 4．略

5．2 3 ； 2 3 7i 5 7．

5

2． 8．2 3 { 11,8,18}, 4 {11,4, 13}． 2

221

9． { 1,2,1},2 5 {9, 10, 12},3 {7, 2, 5}． 10．单位向量为{, ,．

333

11．（1）7； （2）在x 轴的分向量13i，在z 轴的分向量 9； （3）u 299．

6． 45 或135 ． 7．

12．利用数量积运算法则． 13． 9； ()

935

． 14．x =4． 70

3

． (i 4j 2k)． 16．S ABC 15．单位向量：

221

1

17．(1)若a与b同向，则a b a b，若a与b反向，则a b a b；（2）cos(ab)． 3

18．k ． 19．a b c 63． 20．a b 16．

5

21．（1）46； （2） 2； （3）(ab)

8483

． 22．

3

． 2

1

23．（1）3； （2）3i 3j 3k； （3）．24． 30。 25．（1）24； （2）60．

2

26．略 27．（1）3i 7j 5k； （2） 21（4）i 2j． i 49j 35k； （3）j k； 122

28． {, ,． 29．14． 30．提示：验证(a d) (b c)是否为0．

333

31．(ab) ，提示：c d则c d 0。 32．c { 3,15,12},或c {3. 15. 12}．

3

33．30． 34．2x 4y 3z 3 0． 35．x y 3z 4 0．36．x 2z 3 0. 37．3x 3y z 8 0． 38．5x 3y 7z 0． 39．y z 2 0． 40．截距式：

xyz 1，在x y ,z 轴截距分别是 9, 6,18． 9618

41．(1)平行于x z 面； (2)过原点； (3)平行于z 轴； (4)平行于x 轴且过原点．

； （2）． 32x 2y 1z 3x 3y 4z 2

43．(1) ； (2) ； 3 21001x 1y 2z 3xyz

． (3) ； (4) 0 213 12x 4y 6z 4x 2yz 4

44．(1) ； (2) ； 2138211x 1y 1z 1

(3) ． 23 3

42（1）

x 2 5t x 6 2t

45． (1) y 1 t； (2) y 2 ．

z 3 5t z 1 5t

x 1y 1z 1 ． 47．8x 9y 22z 59 0． 48．5x 3y z 1 0． 31 1

xy 1z 49 50．n=4． 51．x 3y 0 或 3x y 0． 52．． 23 1

46．

53．x y z 0． 54．x2 y2 8(z 2)． 55．l// ,l与 16

．

56．

x 1y 16z 1x 3y 1z 2

． 57．．58．球心：(2,1, 1)，半径5． 65 22 374 11

59．球心：(1, 3,2)，半径5． 60．y2 z2 5x． 61．4x2 9y2 4z2 36．

x2y2 2y2

10 2 x

62．（1） 由 3 绕y轴旋转而成．（2） 绕y 轴旋转而成． 44

z 0 z 0

x2 y2 1 (z a)2 x2

（3） 绕x 轴旋转而成． (4) 绕z 轴旋转而成．

z 0 y 0

63．（1）母线平行于z 轴的椭圆柱面； （2）母线平行于z 轴的双曲柱面；

（3）母线平行于y 轴的抛物柱面； （4）母线平行于x 轴的椭圆柱面． 64．（1） 22

； （2）．

227

自测题(A)

(一) 选择题

1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．A． (二) 填空题

419

1．x 1或x 5； 2． 8a 9b 7c； 3．m ； 4．

329

5．5； 6．2x 10y 2z 11 0； 7．x y 4 0；

5x 2y 2x 3y2

； 9． z2 1绕z 轴旋转而成． 8．； 10．曲线612 34

(三) 解答题

6 3 2

1． (i j k) 2．F 2i j 4k； 大小F 21；

777

方向：cos

221

,cos

121

,cos

421

a acos ． 3．prjb

16

；

.9239B 0.38264．cosA 0.9239； A arcco0s； A 2230'； cos；

B 6730'； C 90．

5．（1）8i 3j 7k； （2） 2i j 4k． 6．2x y 0． 7．(,1,)．

7

515

x2 y2 z2 1 x2 y2 xy x y 0

8．圆 x y 投影 ． 9．4x 5y 7z 1 0．

x y z 1 z 0

10．表示双叶旋转双曲面，旋转轴为x 轴．

自测题(B)

(一) 选择题

1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B

(二) 填空题

1．不平行； 2．13； 3．2(a b)； 4．l在 内； 5．21y 7z 9 0；

2

6．k 2； 7．2x y 2z 23； 8．x 10z 25；

2y2 2yz z2 4y 3z 2 0

9．双叶双曲面； 10． ．

x 0

(三) 解答题

1．（1）d {x z,x y z,x y}； （2）x 2,y 1,z 1．

6 3 2

2． (i j k)．

777

3．k 2． 4．（1） 4； （2）c 8； （3）cos 5．2． 6．x y 2z 5 0． 7．2x 6y 3z 32 0． 8．点p(,1,)． 9．母线平行于z 轴的椭圆柱面．

10．是圆．圆半径为

3

． 3

7515

2131114，圆心(,, )． 3999

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