四种命题相互关系练习题

课时作业(二)

[学业水平层次]

一、选择题

1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )

A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．

【答案】 A

2．(2014·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”

为真命题，故选C.

【答案】 C

3．(2014·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )

A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0” C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”

【解析】 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.

【答案】 B

4．(2014·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是( )

A．若x≠3，则x2－2x－3≠0 B．若x＝3，则x2－2x－3≠0 C．若x2－2x－3≠0，则x≠3 D．若x2－2x－3≠0，则x＝3

【解析】 其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.

【答案】 C 二、填空题

5．(2014·三门峡高二期末)命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是________________．

【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”． 【答案】 若x2>4，则x>2

6．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_________________．

【解析】 ax2－2ax－3≤0恒成立． 当a＝0时，－3≤0成立；

??a<0，

当a≠0时，? 2

?Δ＝4a＋12a≤0.?

解得－3≤a<0. 故－3≤a≤0. 【答案】 －3≤a≤0

7．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．

【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．

【答案】 ② 三、解答题

8．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

【解】 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．

否命题为：若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

f(b)

(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)

因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．

9．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

【解】 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

判断真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， 因为a<1，所以4a－7<0，

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集． 故原命题的逆否命题为真．

[能力提升层次]

1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( ) A．若a·b≠0，则a不垂直于b B．若a⊥b，则a·b＝0 C．若a不垂直于b，则a·b≠0 D．若a·b≠0，则a⊥b

【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．

【答案】 C

2．(2014·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是( )

A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数 B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数 C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数 D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数

【解析】 “x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.

【答案】 C

3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的字间距序号)．

①若A∩B＝A，则AB；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

【解析】 ①错误，若A∩B＝A，则A?B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．

【答案】 ②④

4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假 。 (1)等高的两个三角形是全等三角形； (2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

【解】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．

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