2010届中考数学动点问题专项训练1 - 图文

动点问题专题训练

1、（09包头）如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与

△CQP是否全等，请说明理由；

A ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多B 点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

解：（1）①∵t?1秒， ∴BP?CQ?3?1?3厘米，

∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．

又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，

D Q P 的运动速度为

的运动速度从长时间点P与C ∴△BPD≌△CQP． ············································································· （4分） ②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，

又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t?∴vQ?BP4?秒， 33CQ515································································· （7分） ??厘米/秒． ·

44t3（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得解得x?15x?3x?2?10， 480秒． 380?3?80厘米． ∴点P共运动了3∵80?2?28?24，

∴点P、点Q在AB边上相遇，

80秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ········································· （12分） 332、（09齐齐哈尔）直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出

4∴经过

发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四5个顶点M的坐标． y （3）当S?

解（1）A（8，0）B（0，6） ················ 1分 （2）?OA?8，OB?6 ?AB?10

B P x 8?点Q由O到A的时间是?8（秒）

16?10?2（单位/秒） ·· 1分 ?点P的速度是8O Q A 当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t

S?t2 ········································································································· 1分

当P在线段BA上运动（或3?t≤8）时，OQ?t，AP?6?10?2t?16?2t, 如图，作PD?OA于点D，由

PDAP48?6t?，得PD?， ····························· 1分 BOAB51324?S?OQ?PD??t2?t ······································································ 1分

255（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）P?，? ···························································································· 1分

?824??55???824??1224??1224?···················································· 3分 I1?，?，M2??，?，M3?，?? 5??55??55??5

3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B

两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

解：（1）⊙P与x轴相切.

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），

与y轴交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.

在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P

时,作PE⊥CD于E.

13∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，

22 ∴PE=33. 2在线段OB上

∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB， ∴

33AOPE4?,即=2， ABPB45PB315, 2315， 2∴PB?∴PO?BO?PB?8?∴P(0,315?8)， 2∴k?315?8. 2315－8)， 2当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－∴k=－315－8， 2∴当k=形.

315315－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角224（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，

点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

解：

5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，

B

AB E Q D A P

C 图16

=

5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

解：（1）1，；

（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得

QFt4?．∴QF?t． 45585∴S?(3?t)?t，

B 1245即S??t2?t．

（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． AQAP由△APQ ∽△ABC，得， ?ACABE Q A D P

C 2565图4

B 即?t33?t9． 解得t?． 58Q D A P

E C ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ =90°． AQAP由△AQP ∽△ABC，得 ， ?ABACt3?t15即?． 解得t?． 538

图5

B （4）t?545或t?． 214Q G ①点P由C向A运动，DE经过点C．

连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

34PC?t，QC2?QG2?CG2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2．

55A P D C(E) B G 图6 Q D 由PC2?QC2，得t2?[35(5?t)]2?[4?45(5?t)]2，解得t?52．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7． (6?t)2?[35(5?t)]2?[4?45(5?t)]2，t?45】

14

6（09河南））如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，BC?2．点O是AC的中点，过E l C 线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交O 点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋

? ?． A D B （1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰梯形，的长为 ； C ②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，O 的长为 ；

（2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说A B

（备用图）

解（1）①30，1；②60，1.5； ????????4分 （2）当∠α=900

时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900

，∴BC//ED.

∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ????????6分 在Rt△ABC中，∠ACB=900

，∠B=600

,BC=2,

∴∠A=300.

∴AB=4,AC=23. ∴AO=

12AC=3 . ????????8分 在Rt△AOD中，∠A=300

，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形 ????????10分

7（09济南）如图，在梯形ABCD中，

AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动

A D N B M C

点O的直AB边于转角为此时AD此时AD明理由．

M从

点B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

解：（1）如图①，过A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，则四边形ADHK是矩形

∴KH?AD?3． ················································································ 1分

在Rt△ABK中，AK?AB?sin45??42．2?4 2BK?AB?cos45??42?2························································· 2分 ?4 ·

2在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC?52?42?3

∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10 ················································· 3分 B

A

D

A

D

N

C

B

C

K

H

G

M

（图①） （图②）

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BG?AD?3 ∴GC?10?3?7 ············································································· 4分 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN

∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C

∴△MNC∽△GDC

CNCM? ··················································································· 5分 CDCGt10?2t即? 5750解得，t? ···················································································· 6分

17∴

（3）分三种情况讨论：

①当NC?MC时，如图③，即t?10?2t

∴t?10 ·························································································· 7分 3D N A A D

N

B B C

M

（图④） （图③）

②当MN?NC时，如图④，过N作NE?MC于E 解法一：

由等腰三角形三线合一性质得EC?M H E

C

11MC??10?2t??5?t 22EC5?t?在Rt△CEN中，cosc? NCtCH3? 又在Rt△DHC中，cosc?CD55?t3? ∴t525解得t? ······················································································· 8分

8解法二：

∵∠C?∠C，?DHC??NEC?90? ∴△NEC∽△DHC

NCEC? DCHCt5?t即? 5325∴t? ·························································································· 8分

811③当MN?MC时，如图⑤，过M作MF?CN于F点.FC?NC?t

22∴

解法一：（方法同②中解法一）

1tFC3cosC??2?

MC10?2t560解得t?

17解法二：

∵∠C?∠C，?MFC??DHC?90? ∴△MFC∽△DHC ∴

B

A D

N F C

H M

（图⑤）

FCMC? HCDC1t10?2t即2?

3560∴t?

17256010综上所述，当t?、t?或t?时，△MNC为等腰三角形 ··············· 9分

8173

8（09江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

A E B

图1 A E B

D F C

B

A E P N D F C B

A E P D N F

C

M D F C

图4（备用）

图2

D

M

图3

（第25题） A

E B

图5（备用）

F C

85?16.···································································· 10分 ?点C的坐标为0，??12（09太原）问题解决 F M D 上一点如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边A CE1E（不与点C，D重合）?，压平后得到折痕MN．当时，求

CD2E

AM的值． BNB C N

方法指导： 图（1）

AM 为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2

BN

类比归纳

AMAMCE1CE1?，?，在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等

BNBNCD3CD4CE1AM?（n为整数），则于 ；若的值等于 ．（用含n的式子表示） CDnBN联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），

AMAB1CE1??m?1?，?，压平后得到折痕MN，设则的值等于 ．（用含m，n的

BNBCmCDn式子表示）

F

M D A

E

B C N

图（2）

解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．

B

N 图（1-1）

C E

A M F D 由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．

∴MN垂直平分BE．∴BM?EM，BN?EN． ···································· 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴?A??D??C?90°,AB?BC?CD?DA?2． ∵

CE1NC?2?x．?，?CE?DE?1．设BN?x，则NE?x，

CD2222 在Rt△CNE中，NE?CN?CE．

22 ∴x??2?x??1．解得x?255，即BN?． ········································· 3分 44 在Rt△ABM和在Rt△DEM中，

AM2?AB2?BM2，

DM2?DE2?EM2，

····························································· 5分 ?AM2?AB2?DM2?DE2．2222 设AM?y，则DM?2?y，∴y?2??2?y??1．

11 解得y?，即AM?． ····································································· 6分

44AM1?． ∴ ····················································································· 7分 BN55 方法二：同方法一，BN?． ······························································· 3分

4 如图（1－2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．

F G M A D

E

B C N

图（1-2）

∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形． ∴NG?CD?BC． 同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG?BN?5． 4??EBC??BNM?90°． ∵MN?BE， ??MNG??BNM?90°，??EBC??MNG． ?NG?BC，

在△BCE与△NGM中

??EBC??MNG，? ?BC?NG，∴△BCE≌△NGM，EC?MG． ························· ５分

??C??NGM?90°．?∵AM?AG?MG，AM=51?1?． ···················································· 6分 44∴

类比归纳

AM1?． ··················································································· 7分 BN52n?1?249?（或）；； ······························································· 10分

51017n2?1联系拓广

n2m2?2n?1 ······················································································ 12分 22nm?1

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