《数值分析》所有参考答案

习题1

1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。

（1）x1*＝451.023， x1＝451.01；

*（2）x2＝－0.045 113， x2＝－0.045 18；

（3）x3＝23.421 3， x3＝23.460 4； （4）x＝， x4＝0.333 3；

3*4**1（5）x5＝23.496， x5＝23.494； （6）x6＝96×105， x6＝96.1×105； （7）x7＝0.000 96， x7＝0.96×10?3； （8）x8＝－8 700， x8＝－8 700.3。 解：(1) x1?451.023 x1?451.01

x?x1?0.013?**1****12?10?1，x1具有4位有效数字。x1?451.0

(2) x2??0.045 113 x2??0.045 18

12?10?4?x2?x2?0.045 18?0.045113=0.000 067???0.045*12?10?3

x2具有2位有效数字，x2

*(3)x3?23.4213 x3?23.4604

* x3?x3?23.4213?23.4604?23.4604?23.4213?0.0391?12?10?1

x3 具有3位有效数字，x3?23.4 (不能写为23.5)

(4) x4?*13 ，x4?0.3333

1

x4?x4?0.000033??*(5) x5?23.496，x5*12?10?4 ,x4具有4位有效数字，x4?0.3333

?23.494

12?10?2*x5?x5?23.496?23.494?0.002?x5?7

x5

具有4位有效数字，

96?10?0.96?10?7523.50 (不能写为23.49)

x6?96.1?10?75*(6) x6?

?2?0.961?107

*x6?x6?0.001?10?12?10?10

x6具有2位有效数字，x6?0.96?107?96?105

*?3(7) x7?0.00096 x7?0.96?10

x7?0.96?10*?3* x7?x7?0 x7精确

*(8) x8??8700 x8??870.03

*x8?x8?0.3?12?100

x8具有4位有效数字，x8??8700精确

2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83;

(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。

问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1)

x1=0.1062，x2=0.947，x1+x2=1.0532

e(x1)?12?10?4，e(x2)?12?10?3

12?10?4e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)??12?10?3

=0.00055

2

x1?x2?[1.0532?0.00055**，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375]

?10x1?x2?(2)

x1=23.46， x2??12.753

10.707

e(x1)?12?10?2，e(x2)?12?3

e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)?**12?10?2?12?10?3=0.0055

x1?x2?[10.707?0.0055, 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]

x1x2?18.76201,

?2(3)

x1?2.747

?3x2?6.83

12e(x1)?12?10, e(x2)??10

e(x1x2)?x2e(x1)?x1e(x2)?x2e(x1)?x1e(x2)?6.83?**12?10?3?2.747?12?10?2?12?10?2?(0.683+2.747)=0.01715

x1x2?[18.76201?0.01715,18.76201?0.01715]?[18.74486,18.77916]

(4)

x1?1.473 ,

?3x2?0.064 ,

?3x1x2?23.015625

e(x1)?x112?101x2, e(x2)?x12x212?10 e(x1?12?10x2?3)?1x2e(x1)?x12x2e(x2)

?3e(x2)?e(x1)?e(x2)?10.064?1.4730.0642?12?10

=0.187622

x1**x2?[23.015625?0.187622, 23.015625+0.187622]

=[22.828003 , 23.203247] 3.对一元2次方程x2?40x?1?0，如果399?19.975

具有5位有效数字，

求其具有5位有效数字的根。

3

解：x2x2?40x?1?0

399?120?399?3?40x?400?399x1?20?**399 , x2?20?

记

x?*399 ,x?19.975 e(x)?12?10

12?10?3x1?20?x=20+19.975=39.975 e(x1)?e(x2)?

?

x1具有x2?5位有效数字。

?120?19.975?139.975?0.0250156347?

120?x

e(x2)??e(x)(20?x)e(x)2 ，

1?10?32e(x2)?(20?x)2?239.975?0.313?10?6?12?10?6

因而

x2具有

5位有效数字。

得到 x2?x2?0.025016

也可根据

x1x2?1

1x1??0.02501563?4 739.97511e(x2)??e(x1)2x1 e(x2)?e(x1)2x1?2239.975?10?6

4.若x1?0.937具有3位有效数字，问x1的相对误差限是多？设

f(x)?1?x，求f(x1)的绝对误差限和相对误差限。

解：x1?0.937

e(x1)?12?10?3

4

1er(x1)?e(x1)x11?x?2?10?30.937?0.534?10?3

f(x)? ,f?(x)?12??121?x11?x

,

11?0.937?12?10?3e(f)?f?(x)e(x)??e(x)

e(f(x1))?12?11?x11?e(x1)?112??0.996?10?3

er(f)?e(f)f??121?xe(x)，

1211?0.93712er(f(x1))?21?x1?1e(x1)????10?3

=0.003975.取

2.01?1.42，

?3.97?10?3

2.01?2.002.00?1.41试按A?和

A?0.01(2.01?2.00)两种算法求A的值，并分别求出两种算法所得

问两种结果各至少具有几位有效A的近似值的绝对误差限和相对误差限，数字？

* 解：1) 记 x1?*2.01 ，x1?1.42 ，x2=2.00 ，x2?1.41

则 e(x1)?12?10?2 ，e(x2)?12?10?2

A* ?2.01?2.00?1.42?1.41?0.01

A1?1.42?1.41?0.01

e(A1)?e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)

e(A1)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)?12?10?2?12?10?2?10?2

5

er(A1)?e(A1)A1?10?20.01?1

不能肯定所得结果具有一位有效数字。 2 ) A*=0.01(2.01?2.00)，

A2?0.01(1.42?1.41)?0.012.83?0.00353356?

e(A2)?e(0.01 e(A2)?0.01?(x1?x2)1)??0.01?121(x1?x2)?10?22e(x1?x2)

?2(1.42?1.41)2?(?12?10)

?0.12486??10?4?12?10?4

? 具有2位有效数字。

e(A2)A2?0.12486?100.00353356?4 er(A2)??0.3533547?10?2

3) A*?A1?A2?A1?A*?A2 A*?A1?A2?A1?A*?A2 ?0.00353356?0.01?? A1无有效位数。

12?10?4?0.006??12?10?2

6.计算球的体积所产生的相对误差为1%。若根据所得体积的值推算球的半径，问相对误差为多少？ 解：

V?4323?R ,dV?4?RdR

dVV?4?RdR432=3

dRR

?R36

er(R)?er(V)

31由 er(V)=10?2 知 er(R)?13?10?2

7.有一圆柱，高为25.00 cm，半径为20.00?0.05 cm。试求按所给数据计算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。 解：1) V(R)??R2h

er(V)?V?(R)?RVer(R)?2?hR?0.05201200R?Rh2er(R)?2er(R)

er(V)?2er(R)?2???0.005

2) S(R)?2?Rh

er(S)?S?(R)?RSer(R)?2?h?0.0520R2?Rher(R)?er(R)

er(S)?er(R)??0.0025

答 计算体积的相对误差限为0.005，计算侧面积的相对误差限为0.0025 9.试改变下列表达式，使计算结果比较精确：

1?1?cosx?2(1) ??, 当x??1时；

?1?cosx?(2) (3) (4)

x?1?11?2xsinxx, 当x??1时；

1?x1?x?, 当x??1时；

1?cosx, 当x??1时。

7

11 解 : (1) ??1?cosx?2?1?cosx???2?2sin???2cos2??x?2?2??tgxx?2?2?

(2) (3) =

x?1?11?2xx?1?x1?x1x?1??x

?(1?x)?(1?x?2x)(1?2x)(1?x)2?2(1?x)?(1?x)(1?2x)(1?2x)(1?x)

2x(1?2x)(1?x)1?cosxsinx

22sin?2sinx2x2x2?tgx2(4)

cos10.若1个计算机的字长n?3，基数??10，阶码?2?p?2，问这台计算机能精确表示几个实数。 解：n?3, ??0, L??2, U?2

所能精确表示的实数个数为

1?2(??1)?n?1(U?L?1)?1?2?9?102?(2?2?1)?9001 11.给定规格化的浮点数系F:??2，n?3,L??1,U?1,求F中规格化的浮点数的个数，并把所有的浮点数在数轴上表示出来。 解：??2, n?4, L??1, U?1

所有规格化浮点数个数为

1?2(??1)?n?1(U?L?1)?1?2?1?23?(1?1?1)?49 机器零 0 p=1

?0.1000?21,

?0.1001?21,

?0.1010?21,

?0.1011?21

8

?0.1100?21, , , , ,

?0.1101?21,

0?0.1110?21,

0?0.1111?21

?1 p=0

?0.1000?2?0.1100?20?0.1001?2?0.1101?2, , , ,

?0.1010?2?0.1110?2?0.1010?2, ,

?0.1011?2?0.1111?200000 p=?1

?0.1000?2?0.1100?2?1?0.1001?2?0.1101?2?1?1,

?0.1011?2

?1?1?0.1110?2?1,

?0.1111?2?1

12.设有1计算机：n?3，?L?U?2,??10,试求下列各数的机器近似值（计算机舍入装置）： (1) 41.92; (4) 0.918; (7) 1.82?103; (10) 3.879?10?10;

(2) 328.7 (5)0.007 845; (8) 4.71?10?6(3) 0.0483 (6)98 740;

;

(9)6.644 5?1021; 。

(11) 3.196?10?100;

(12) 13.654?1099 解：n?3, L??2, U?2, ??10 (1) 41.92 (2) 328.7 (3) 0.0483 (4) 0.918 (5) 0.007845 (6) 98740 (7) 1.82?103 (8) 4.71?10?6 (9) 6.6445?1021 (10) 3.879?10?10

9

(11) 3.196?10?100 (12) 13.654?1099

fl(41.92)?0.419?10fl(328.7)

2

溢出

?1fl(0.0483)?0.483?10fl(0.918)?0.918?100

?2fl(0.007845)?0.785?10fl(98740)

溢出

3fl(1.82?10) fl(4.71?10?6 溢出 溢出

)

fl(6.6445?10fl(3.879?1021) )

溢出 溢出

19127fl(3.196?10?100) 溢出

?10fl(13.654?1099) 溢出

16.考虑数列1，，，

3pn?131，

181，?。设p0?1，则用递推公式

pn?1 (n=2，3，?)

可以生成上述序列。试考察计算pn的算法的稳定性。 解：pn?~13pn?1, n?1,2,3,?

~。若p0有误差，则实际按如下递推

pn?13~pn?1

?13pn?1?~pn?pn13~pn?1=

13(pn?1?pn?1)

~记 en?pn?pn, 则有

en?13en?1???13n13ne0

en?e0

,误差逐步缩小，数值稳定

19127en?13en?117.考虑数列1，，，

31，

181，?。设p0?1，p1?13，则用递推公

式

pn?103pn?1?pn?2 (n=2，3，?)

可以生成上述序列。试问计算的上述公式是稳定的吗？ 解：pn?103pn?1?pn?2, n?2,3,?

。若p0和p1有误差，则实际按如下 10

递推： pn?~103~pn?1?pn?2, n?2,3,?

~~。

记 en?pn?pn ,则有 en?1103en?1?en?2

，n?2,3,?

11 en?en?1?3en?1?en?2?3(en?1?en?2)?3n?1(e1?e0) (A)

333 en?3en?1?en?1?en?2?(en?1?3en?2)?331113n?1(e1?3e0)

(B)

9(A)-(B) 得

en??3n?1(e1?e0)?n?1(e1?3e0)?

8?33? 只需 e1?e0?0 , 则 limen??因而递推过程不稳定

3n??1?11?118.已知p(x)?125x?230x?11x?3x?47，用秦九韶法求p(5)。 解： 125 0 230 ?11 3 ?47 5 625 3125 16775 83820 419115

125 625 3355 16764 83823 419068

p(5)?419068

19.已知f(x)?3?x?(x?4)2 解：f(x)?4(x?4)5

11

?6(x?4)?4(x?4)3235532，用秦九韶法求f(3.9)及f(4.2)。

?6(x?4)?(x?4)?(x?4)?7

令z?x?4，则x0?3.9时，z0?x0?4??0.1，由 ?6 4 0 1 1 7

-0.1 -0.4 0.04 0.596 -0.1596 -0.08404 4 -0.4 -5.96 1.596 0.8404 6.91596 得

f(3.9)?6.91596；

x0?4.2时，z0?x0?4?0.2，由

4 0

?6 1 1 7

0.2 0.8 0.16 -1.168 -0.0336 0.19328 4 0.8 -5.84 -0.168 0.9664 7.19328 得

f(4.2)?7.19328。

12

习题2

1. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：

(1) x?cosx?0； (2) 3x?cosx?0； (3) sinx?e?x?0； (4) x2?e?x?0。

解：(1) x?cosx?0 (A) f(x)?x?cosx ，f?(x)?1?sinx?0 ,x?(??,?)

f(0)?0?cos0?1,f(?1)??1?cos(?1)??1?cos1?0 ? 方程(A) 有唯一根 x*?[?1,0] (2) 3x?cosx?0 (B) f(x)?3x?cosx,

f?(x)?3?sinx?0, x?(??,?)时

0??1?0，f(1)?3?1?cos1?3?cos1?0 f(0)?3?0?cos ? 方程(B) 有唯一根 x*?[0,1] (3)

sinx?e?x?0 (C)

sinx?e?x

?xf1(x)?sinx, f2(x)?e

方程(C)有无穷个正根，无负根 在[2k?,2k??在[2k???2?2] 内有一根 x1(k)，且lim[x1(k)?2k?]?0

k??(k)(k)?(2k?1)?]?0 ]内有一根x2，且lim[x2k??,2k???(示图如下) k?0,1,2,3?

13

f2(x) 1 ? 2? 3? 4? x (4)

x2?e?x?0 (D) y f1(x) f2(x)

x2?e?x 2 ?xf1(x)?x, f2(x)?e2 1 方程(D) 有唯一根 x*?[0,1] ?2 ?1 1 x 当 x?0时 (D)与方程 ?x?e?x2?x (E) e2 y 同解 ?x 2 当 x?0时 (E)无根 1 22. 给定方程 x?x?1?0； ?2 ?1 x (1)试用二分法求其正根，使误差不超过0.05；

(2)若在[0 , 2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？ 解：x2?x?1?0

1) f(x)?x2?x?1?0 f(1)??1, f(1.5)??0.25?0,f(2)?1

x?[1.5,2]

*, x?*1?25?1.618034

14

1.5(?) 1.5(?) 1.5(?)

1.75(+) 2(+) 1.625(+) 1.75(+) 1.5625(+) 1.625(+)

1.625(+)

12?10?11.5625(?) 1.5937(5?)

(1.625?1.5625)2*?0.03125?

x?1.59375?1.6

2位有效近似值为 1.6 2)

a?a0?0， b?b0?2

ck?12(ak?bk) b?a2?5 x*?ck?12kk?1?12k

?105?12?10 ，2k?1

k?1?5ln10ln2?16.60

? 只要2等分18次

3. 为求x?5x?3?0的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。 解：f(x)?x3?5x?3?x(x2?5)?3

22f?(x)?3x?5?3(x?353)

当x?f(53)?53时， f?(x)?0; 当x?5353时 f?(x)?0

5510(?5)?3??333?3?0

15

f(?53)?10353?3?0， f(0)??3?0

f(2)?2(4?5)?3??5， f(3)?3?(9?5)?3?9

y

由草图可知唯一正根x*?(2,3) (1)

5x?x?3，x?3?5 353 2 3 x

?3 153(x?3)， ?1(x)?(x?3),

3153??构造迭代格式 xk?1?(xk?3) (I) ?11355x2

当 x?[2,3], 2)

3?(x)??1353?2?2125?1 ?迭代格式(I)发散

x?5x?3, x?5x?3, 构造迭代格式

xk?1?35xk?3， (II)

?2(x)?3?(x)?5x?3，?213?23(5x?3)?5?53?31(5x?3)2

当x?[2,3]时

?(x)??253?31(5?2?3)2?53?13169??53?13125?13?1

当x?[2,3]时

?2(x)?[?2(2),?2(3)]?[35?2?3,35?3?3]?[313,318]?[2,3] 迭代格式(II) 对任意

x0?[2,3]均收敛

16

3) x2?5x?3x?5?3x， x?5?3xk3x

(III)

?12 构造迭代格式 xk?1?3x12?5 ?3(x)??5?(x)?， ?3?(3x?5)(?3)x?2??32?x213x?5

当x?[2,3]时

?(x)? ?332?x213x?5?32?1x25?322??125?385?1

当x?[2,3]时 ?3(x)?[?3(3),?3(2)]?[6,6.5]?[2,3] 迭代格式(III) 对任意x0?[2,3]均收敛

?(x)??2?(2)?4) max?22?x?3531?13169?0.30145332

1?(x)? max?32?x?332?minx2?x?323x??5?min{2?232?5,3?233

?5} ?32min{46.5,96}3xk?5?1?0.0680

取格式(III) xk?1?

x0?2.5，x1?2.48998

，x3?2.49086，x2?2.49095

x*?2.49

4. 用简单迭代格式求方程x?x?0.2?0的所有实根，精确至有3位有效数。 解：f(x)?x3?x?0.2?x(x2?1)?0.2

22f?(x)?3x?1?3(x?313)

17

当 x?13时， f?(x)?0，

* x1* y x3 * x2 ?1 当x?f(?13?13 13 1 2 x

13时 f?(x)?0

)??1132(?1)?0.2???0.2?0 3333f(0)??0.2

f(13)??33?23?0.2?0 f(1)??0.2，f(2)?8?2?0.2?5.8 12121438f(?1)??0.2， f(?)?(?)(?1)?0.2??0.2?0

*x1?[?1,?313**]， x2?[?,0]，x3?[1,2]

121)x?x?0.2

3迭代格式 xk?1?xk?0.2，

?(x)?x3?0.2, ??(x)?3x2?0 当x?[?12,0]时，??(x)?134，

18?0.2,?0.2]?[?12,0]

?(x)?[?(?),?(0)]?[?2任取x0?[?取

12*,0]迭代格式收敛于 x2

x0??0.25得

x1??0.215625,x2??0.210025,x3??0.209264

x4??0.209164*??0.209 x2

18

2) x?x?0.2,

3 x?3x?0.2

迭代格式 xk?1?3xk?0.2 ?(x)?3x?0.2 , ??(x)?(x?0.2)31?23?13?3(x?0.2)2

当 x?[1,2]时 ?(x)?[?(1),?(2)]?[31.2,32.2]?[1,2]

??(x)?13?3(1?0.2)2?13?1

*任意 取

x0?[1,2]迭代格式收敛于 x3

x0?1.5计算得x1?1.19348，x2，x4,

?1.11695?1.09031，

x3?1.09612x5?1.08867x6?1.08821* ? x3?1.09

3) x2?1?0.2x

0.2xk x??1?0.2x 迭代格式 xk?1??1? ?(x)??1?12 (III)

0.2x

?12

??(x)??(1?0.2x)(?0.2)x?2?20.1x?1?0.2x

当x?[?1,?13]时

19

?(x)?[?(?1),?(?13)]?[?1?0.2,?1?0.23]

13 ?[?0.8944,?0.8084]?[?1,? g(x)?x21?g?(x)?2x1?0.2x)?]

0.2x,

20.2x)?1?x?12(1?0.2x)?12(?0.2)x?2

?(1? ?(1? 当x?[?1,? g(?13)?13[2x(1?0.2x)?0.1]

0.2x?120.2x12(2x?0.4?0.1)?(2x?0.3)(1?)

13]时，g?(x)?0

1?0.23? 13 当x?[?1,? ??(x)?]时

0.31?0.230.1g(?13)??0.3711

迭代格式(III)对任意x0?[?1,?计算得

x1??0.866025x4??0.87884313]均收敛于x*，取x0??0.8，

,

x2??0.876961,

x3??0.878601

*??0.879 , x15. 已知x??(x)在区间[a,b]内有且只有一个根，而当a

?'(x)?k?1

(1)试问如何将x??(x)化为适用于迭代的形式？

20

2) f(x)?xn?a, f?(x)?nxn?1, f??(x)?n(n?1)xn?2,

n?1?f(x)?nx???f?(x)?xn?a??1，

f??(x)f?(x)?n(n?1)xnxn?1n?2?n?1x

Newton 迭代格式 xk?1n?1?nxk??xk???nx?a?k??1

1nan ?xk?nxk?an?1nxkn?(1?)xk?xk1?n

limk??a?xk?1na?xkaxn??1n?12na?1?n2?na

3) f(x)?1?, f?(x)?anx?(n?1), f??(x)??an(n?1)x?(n?2)

axn

f(x)f?(x)f??(x)f?(x)1??anx?(n?1)?xn?1an?nx,

n?1x??an(n?1)xanx?(n?2)?(n?1)??

Newton 迭代格式

xk?1n?1n?1?xk?xk?xk??xk???nxk??(1?n)xk?f?(xk)an?an?f(xk)

nlimk??a?xk?12(a?xk)n??*f??(x)2f?(x)*?n?12?na

12.试写出求方程?c?0(其中c 为已知正常数)的Newton迭代格式，并证

x1明当初值 x0满足0?x0?算？

解：记 f(x)?c?1x2c时迭代格式收敛。该迭代格式中是否含有除法运

,则求等价于求方程f(x)?0的根.

c126

f?(x)?1x2, f??(x)??2x3

Newton迭代格式为

c??xk?1xk2c21xk?xk(2?cxk)， k?0,1,2,?

xk?1?xk?f(xk)f?(xk)对任意 x0?(0,)，存在充分小的δ(δ<),(δ<1)使得

cx0?[δ

1, ?δ] 现在考虑区间[a,b]=[δ, ?δ]

cc1?1(c??1)?0

221o f(a)?f(?)?c?f(b)?f(2c????)?c?12c???c?c2?c??2c?c??c2?c?2?c(1?c?)2?c??0

f(a)f(b)?0

23o 当 x?[a,b]时 当 x?[a,b]时 ??f(?)f?(?)f?(x)?0

of??(x)?0

4o??(2?c?)?2c??

?(2?c?)?2c?? }

{(c??1)(c??2)?0 c?(2?c?)?2?c?f(???f?(2c2c??)?(??)

2c22???)2?c(???cc?)?? ? ?1c?c?(2?c?)??

27

因而 当x20?(0,c)时，Newton迭代格式收敛。

直接证明

xk?1?xk(2?cxk)

1?cx2k?1?cxk(2?cxk)?(1?cxk)

1?cx2?kk?(1?cxk?1)??(1?cx20)

limx12k?0k??k?c?lim(1?cxk??k)?0?lim(1?cxk??0)

?1?cx20?1?x0?(0,c)

用劈因子法解方程x3?3x2?x?9?0(取?20(x)?x?4x?6，算至

r0?0.005，r1?0.005)

解：f(x)?x3?3x2?x?9

取 ?0(x)?x2?4x?6

1+1 1

1?4?6 1?3?1?9 1?4?61?1?0

1?4?6 1?4?6 1?7?9 ?5?6 1?4?6 ?3?3

5?u??v??3 ?u??0.545455 ?6?u??v?3 ?v??0.272727

于是得到 ?1(x)??0(x)??ux??v?x2?4.54546x?5.72727 6.09092?u??v?0.29756

?5.72727?u?1.54546?v?0.14873 ?u?0.0205500，?v?0.172392

?2(x)?x2?4.5249x1?5.89966 228

18.

f(x)??2(x)(x?1.5249)1?0.0004x2?0.0035 5

??2(x)(x?1.52491)

x1,2?2.26246?0.883718i

x3??1.52491

19.用适当的迭代法求下列方程组的根，精确至4位有效数：

?1?x?sin?y?

?2??1x?cos??312?x? ?解： xk?1?sin(yk) yk?1?cos(13xk)

k?0,1,2,?

k 0 1 2 3 4 5 6 xk yk 0 0 0.479426 0.479426 0.473825 0.473825 0.473955 0 1 1 0.987258 0.987258 0.987553 0.987553

k 7 8 9 xk yk 0.473955 0.473952 0.473952 0.987546 0.987546 0.987546

?

x?0.4740*

y*?0.987 529

习题3

1. 设L为单位下三角阵，试写出解方程组的算法。

?1?l?21?l31?????ln11l32?ln21?ln3???x1??d1??????xd??2??2???x3???d3? ????????????1????xn????dn??解：

x1?d1

i?1?lijxjj?1?xi?di，i?2,3,?,n

x1?d1

i?1xi?di??lijxj，i?2,3,?,n

j?12. 为阶的上三角阵，试计算用回代算法解上三角方程组所需的乘除法运算次数。

?r11??解：?????r12r22r13r23????rn?1,n?1r1n??x1??c1??r2n?x2??c2?????????????c3??????rn?1,n?xn?1?????????rn,n???xn??cn?

rn,nxn?cn

n?rijxjj?i?ci，i?n?1,n?2,?,1

xn?cnrn,n

nxi?(ci?n?rijxj)j?i?1rii ， i?n?1,n?2,?,1

12n(n?1)

乘除法运算次数 ??(n?i?1)?1?i?12???n?3. 试用Gauss消去法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：

30

?3.2?1.6???1.0?3.2?1.6???1.0?1.52.54.1?1.52.54.10.50.5??x1??0.90???????1.0x2?1.55

??????1.5????x3????2.08?? 解：

?1.0?1.50.90??1.55

?2.08???1.53.250.5?1.25?1.656250.5?1.250.10096??1.1?1.79875??0.900.90

?3.2???????0???0r2?0.5r1r3-0.3125r1

4.56875?1.53.250?3.2r3-1.40577r2???????0???0??1.1?0.25240??

x3?0.25240

0.10096?2.5

x2?(1.1?1.25?2.5)?3.25?1.3

x1?(0.90?1.5?1.3?0.5?2.5)3.2?0.5 6.用追赶法求解三对角方程组 2.0000M0.3571M0?1.0000M1

?5.5200

20?2.0000M1?0.6429M0.6000M1?2.0000M0.4286M ?4.3144

?0.4000M3

2 ?3.2661

4

2?2.0000M3?0.5714MM3?2.0000M?2.4287?2.1150

1.0000431

解：

?2.0000?0.3571??????0.35712.00000.6000r1r2r3r41.00002.00000.60000.64292.00000.42860.40002.00001.0000?2.0000?0??0??0??01.00001.821450000.64291.78822000.40001.9041300.57142.00005.5200??4.3144?3.2661?

?2.4287?2.1150??5.5200??3.32880?2.16957??1.90870?1.11260??r2?r3?r4?r5? 1.821450.42861.788221.00001.90413

0.57141.69992 等价三角方程组

2.0000M0?1.0000M1 ?5.5200

1.82145M1?0.6429M1.78822M2 ?3.3288 0?0.4000M3

2 ?2.16957

41.90413M3?0.5714M1.69992M?1.90870?1.11260

4 回代得

M4?1.11260M3?M21.69992?0.654501

1.90413?0.80599(1.90870?0.5714?0.654501)(2.1695?0.4000?0.80599)

?1.032971.78822(3.32880?0.6429?1.03297)M1??1.462961.821450?

M?(5.5200?1.0000?1.46296)2.0000?2.02852

?M0?2.0285，M1?1.4630，M2?1.0330，

M3?0.8060,

M4?0.6545

32

试用列主元Gauss消去法解下列方程组：

?121??x?1??3??340????x???2???3? ??2104????x3????10???1213??34

解：A???3403???r?1???r2???12??210410????210r12?r1??3?r?23403???3?3r?1???022?

?31???22??0348??????403??r?2???r3??3?0228?? ?34??2??0312??????r1r3403???3?11??2???022?348?? ???00714??1111?? 等价三角方程组

3x1?4x2

?3

223x2?4x3?8

71411x3?11

x3?2，x2?0，x1?1

33

03?13??410??9. 11. 设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解

下列方程组，并比较所得的结果。 x?592y?437 592x?4308y?2251 解： Gauss消去法

?1A???592r?592r5924308439?0.1000?101??2251?0.592?1030.5920?100.4308?10340.439?10340.2251?10

21?????

?0.1000?101?0??0.1000?101??0??0.1000?101??0?0.5920?1043320.4308?10?(0.5920?10)0.5920?10436? 46?0.2251?10?0.592?0.439?10?0.439?100.439?10330.4308?10?0.3505?100.592?1036? 46?0.2251?10?0.2560?10?3

?0.3462?10?6??0.2574?10?0.439?10

回代

y?(?0.2574?10)?(?0.3462?10)?0.7435?10330660

1x?[0.4390?10?(0.592?10)?(0.7435?10)]?(0.1000?10)

?(0.4390?0.4402)?103??0.1200?101 列主元Gauss消去

?592A???143085922251?? 439??0.5920?103??1?0.1000?100.5390?10????????r2?1r310.4308?100.5920?104340.2251?10? 3?0.4390?10?

34

?0.5920?103?0?0.0000?10?0.4308?1040.4308?1030.5920?10?30.5920?1040.2251?1040.2251?1030.4390?10?30.5390?104????

?0.5920?103??0?0.4308?103410.5920?10?0.7277?10? 31?0.4390?10?0.4176?10?0.2251?104?0.5920?103??0.4308?1040.2251?104??00.5217?1030.4348?103? ?y?0.8334?100

x??0.2262?101

15. 用列主元三角分解法求解方程组。其中

?121?2??A=?253?2????2?235?, ??1323??

解：

?121?24??

A??253?27????2?235?1? ??13230???253?27?? ?121?24????2?235?1?

??13230??35

?4???b??7???1? ??0??

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