2010年高考新课标全国卷_文科数学(含答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{xx≤4，x∈Z}，则A∩B＝( ) A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2} 2．已知复数z＝1A. 4

D．{0,1,2}

3＋i

z是z的共轭复数，则z·z＝( )

1－3i 21 2

C．1

D．2

3．曲线y＝

x

(－1，－1)处的切线方程为( ) x＋2

B．y＝2x－1 D．y＝－2x－2

A．y＝2x＋1

C．y＝－2x－3

4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点

P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )

5．已知命题p1：函数y＝2x－2p2：函数y＝2x＋2

－x

－x

在R为增函数．

在R为减函数．

则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( ) A．q1，q3 C．q1，q4

B．q2，q3 D．q2，q4

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100

B．200

C．300

D

．400

7．如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于( )

5A. 4

4 5

6 5

5 6

8．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( ) A．{x|x<－2或x>4} C．{x|x<0或x>6}

B．{x|x<0或x>4} D．{x|x<－2或x>2}

α1＋tan

24

9．若cosα＝－，α是第三象限的角，则( )

α5

1－tan

21A．－

2

1 2

C．2

D．－2

10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2

7

πa2 3

11

C.a2 3

D．5πa2

|lgx|，0<x≤10，

11．已知函数f(x)＝ 1若a，b，c互不相等，

－＋6，x>10. 2范围是( )

A．(1,10)

B．(5,6)

且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值

C．(10,12) D．(20,24)

12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )

x2y2

A.－1 36

x2y2

B.1

45

x2y2

C.－＝1 63

x2y2

D.－＝1 54

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分

1

f(x)dx.先产生两组(每

组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分

14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)

解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．

15．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．

116．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.

2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n1.

－

1

f(x)dx的近似值为________．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥

的高，E为AD中点．

(1)证明：PE⊥BC；

(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：

n ad－bc 2K＝ a＋b c＋d a＋c b＋d

2

x2y2

20．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，

abB两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ex－1

－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

x＝1＋tcosα， x＝cosθ

已知直线C1： (t为参数)，圆C2： (θ为参数)．

y＝tsinα， y＝sinθ，

π

(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；

3

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x－4|＋1. (1)画出函数y＝f(x)的图象；

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．

2010年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案

一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 （1）D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C 二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。 （13）x2+y2=2 (14)

N1

(15)①②③⑤

N

三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）解：

（1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得

{

a1 2d 5a1 9d 9

解得

{d 2

a1 9

数列{am}的通项公式为an=11-2n。 ……..6分

(2)由(1) 知Sm=na1+

n(n 1)。

d=10n-n2

2

因为Sm=-(n-5)2+25.

所以n=5时，Sm取得最大值。 ……12分

(18)解：

(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以AC PH,又AC BD,PH,BD都在平PHD内,且PH 所以AC 平面PBD.

故平面PAC平面PBD. ……..6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,AC

BD=H.

所以

因为 APB= ADR=600

所以

可得

1

……..9分 2

等腰梯形ABCD的面积为S=

所以四棱锥的体积为V=

（19）解：

1x（

……..12分 3（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为

70

14%. ……4分 500

500 (40 270 30 160)2

9.967 (2) k

200 300 70 430

2

由于9.967 6.635所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分

0）解：

（1）由椭圆定义知 F2 + F2

又2 AB = AF F 得 AB

（2）L的方程式为y=x+c,

其中c 设A(x1，y1),B(x1，y1),则A，B 两点坐标满足方程组

y=x+c

2 yx2 12

2

2

化简得(1 b)x 2cx 1 2b 0.

2c1 2b2

,x1x2 . 则x1 x2

1 b21 b2

因为直线AB的斜率为1

，所以 x2 x1

即

4

x2 x1 . 3

84(1 b2)4(1 2b2)8b42

则 (x1 x2) 4x1x2 9(1 b2)21 b21 b2

解得

b

（21）解： （Ⅰ）a

. 2

112x

时，f(x) x(e 1) x，f'(x) ex 1 xex x (ex 1)(x 1)。 22

当x , 1 时f'(x) ; 当x 1,0 时，f'(x) 0; 当x 0, 时，f'(x) 0。

故f(x)在 , 1 ， 0, 单调增加，在（-1，0）单调减少。 （Ⅱ）f(x) x(xa 1 ax)。

令g(x) xa 1 ax，则g'(x) ex a。

若a 1，则当x 0, 时，g'(x) ，g(x)为减函数，而g(0) 0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0. 若a ，则当x 0,lna 时，g'(x) ，g(x)为减函数，而g(0) 0，从而当x 0,lna 时g(x)＜0，即f(x)＜0. 综合得a的取值范围为 ,1

（22）解: （Ⅰ）因为AC BD, 所以 BCD ABC.

又因为EC与圆相切于点C，故 ACE ABC

所以 ACE BCD. ……5分 （Ⅱ）因为 ECB CDB, EBC BCD, 所以BDC

2

ECB,故

BCCD

. BEBC

即 BC BE

（23）解： （I）当

C. D ……10分

3

时，C1

的普通方程为y x 1)，C2的普通方程为x y 1.

22

联立方程组

yx 1),

1，(, x x2 y2 1,解得C1与C2的交点为（1,0）

2（II）C1的普通方程为xsin ycos sin 0.

A点坐标为(sin2a, cosasina)，故当a变化时，P点轨迹的参数方程为

sin2a x 1

2 y 1

2sinacosa

（a为参数）

P点轨迹的普通方程为(x ) y 故P点是圆心为(,0)，半径为

（24）解：

14

22

1 16

141

的圆 4

（Ⅰ）由于f x =

2x 5,x

2x 3,x 2.则函数y f x 的图像如图所示。

……5分

（Ⅱ）由函数y f x 与函数y ax的图像可知，当且仅当a 2时，函数y f x 与函数y ax的图像有交点。故不等式

1

f x ax的解集非空时，a的取值范围为 , 2 , 。

2

……10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1omm.html